【優(yōu)化方案】2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)(必修3)第三章3.3.1課時作業(yè)

[學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練]1．下列關(guān)于幾何概型的說法中，錯誤的是()A．幾何概型是古典概型的一種，基本大事都具有等可能性B．幾何概型中大事發(fā)生的概率與它的位置或外形無關(guān)C．幾何概型在一次試驗中可能毀滅的結(jié)果有無限多個D．幾何概型中每個結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性解析：選A.幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，故選A.2．(2022·高考北京卷)設(shè)不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2，))表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)解析：選D.平面區(qū)域D的面積為4，到原點距離大于2的點位于圖中陰影部分，其面積為4－π，所以所求概率為eq\f(4－π,4).3．在2022年五一勞動節(jié)期間，3路公交車由原來的每15分鐘一班改為現(xiàn)在的每10分鐘一班，在車站停1分鐘，則乘客到達站臺馬上乘上車的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,11) D.eq\f(9,10)解析：選C.記“乘客到達站臺馬上乘上車”為大事A，則A所占時間區(qū)域長度為1分鐘，而整個區(qū)域的時間長度為11分鐘，故由幾何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(1,11).4．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點的概率為()A．1－eq\f(π,8) B．1－eq\f(π,4)C．1－eq\f(π,2) D．1－eq\f(3π,4)解析：選B.函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐標(biāo)系，滿足a2＋b2≥π2的點(a，b)如圖陰影部分所示，所求大事的概率為P＝eq\f(2π×2π－π3,2π×2π)＝eq\f(4π2－π3,4π2)＝1－eq\f(π,4)，故選B.5．(2021·高考湖南卷)已知大事“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析：選D.由于滿足條件的點P發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，且點P在邊CD上運動，依據(jù)圖形的對稱性當(dāng)點P在靠近點D的CD邊的eq\f(1,4)分點時，EB＝AB(當(dāng)點P超過點E向點D運動時，PB>AB)．設(shè)AB＝x，過點E作EF⊥AB交AB于點F，則BF＝eq\f(3,4)x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq\f(7,16)x2，即EF＝eq\f(\r(7),4)x，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).6．(2022·西安質(zhì)檢)在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機取點，則該點落在三棱錐A1－ABC內(nèi)的概率是______．解析：設(shè)正方體的棱長為a，則所求概率P＝eq\f(VA1－ABC,VABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)a2·a,a3)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率為________．解析：記“射線OA落在∠xOT內(nèi)”為大事A.構(gòu)成大事A的區(qū)域最大角度是60°，全部基本大事對應(yīng)的區(qū)域最大角度是360°，所以由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)8．(2021·高考湖北卷)在區(qū)間[－2，4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________．解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m.當(dāng)m≤2時，由題意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，沖突，舍去．當(dāng)2<m<4時，由題意得eq\f(m－（－2）,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.即m的值為3.答案：39．如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB＝8，M，N，P是將半圓圓周四等分的三個分點．(1)從A，B，M，N，P這5個點中任取3個點，求這3個點組成直角三角形的概率；(2)在半圓內(nèi)任取一點S，求△SAB的面積大于8eq\r(2)的概率．解：(1)從A，B，M，N，P這5個點中任取3個點，一共可以組成10個三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP3個，所以組成直角三角形的概率為eq\f(3,10).(2)連接MP，取線段MP的中點D，則OD⊥MP，易求得OD＝2eq\r(2)，當(dāng)S點在線段MP上時，S△ABS＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×8＝8eq\r(2)，所以只有當(dāng)S點落在陰影部分時，△SAB面積才能大于8eq\r(2)，而S陰影＝S扇形MOP－S△OMP＝eq\f(1,2)×eq\f(π,2)×42－eq\f(1,2)×42＝4π－8，所以由幾何概型的概率公式得△SAB的面積大于8eq\r(2)的概率為eq\f(4π－8,8π)＝eq\f(π－2,2π).10．(2022·濰坊高一檢測)設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，(1)若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0，3]上任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]上任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．解：設(shè)大事A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”，當(dāng)a≥0，b≥0時，此方程有實根的條件是a≥b.(1)全集Ω＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)}，其中第一個數(shù)表示a的取值，其次個數(shù)表示b的取值，大事A＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)}，故P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，而構(gòu)成A的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，如圖所示的陰影部分，所以P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).[高考水平訓(xùn)練]1．(2022·鄭州六校聯(lián)考)如圖，扇形AOB的半徑為1，圓心角為90°，點C，D，E將弧AB等分成四份．連接OC，OD，OE，從圖中全部扇形中隨機取出一個，面積恰為eq\f(π,8)的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：選A.題圖中共有10個不同的扇形，分別為扇形AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB，其中面積恰為eq\f(π,8)的扇形(即相應(yīng)圓心角恰為eq\f(π,4)的扇形)共有3個(即扇形AOD、EOC、BOD)，因此所求的概率等于eq\f(3,10).2．如圖，正方形OABC的邊長為2.(1)在其四邊或內(nèi)部取點P(x，y)，且x，y∈Z，則大事“|OP|>1”的概率為________．(2)在其內(nèi)部取點P(x，y)，且x，y∈R，則大事“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面積均大于eq\f(2,3)”的概率是________．解析：(1)在正方形的四邊和內(nèi)部取點P(x，y)，且x，y∈Z，全部可能的大事是(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有n＝9個，其中滿足|OP|>1的大事是(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有m＝6個，所以滿足|OP|>1的概率為P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).(2)在正方形內(nèi)部取點，其總的大事包含的區(qū)域面積為4，由于各邊長為2，所以要使△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面積均大于eq\f(2,3)，應(yīng)當(dāng)三角形的高大于eq\f(2,3)，所以這個區(qū)域為每個邊長從兩端各去掉eq\f(2,3)后剩余的正方形，其面積為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，所以滿足條件的概率為eq\f(\f(4,9),4)＝eq\f(1,9).答案：(1)eq\f(2,3)(2)eq\f(1,9)3．2021年度世界新聞人物——斯諾登，他揭露了美國的監(jiān)聽丑聞．國家平安機關(guān)監(jiān)聽錄音機記錄了兩個間諜的談話，發(fā)覺30min長的磁帶上在開頭錄音的1min內(nèi)從第30s后的某一時刻開頭，有10s長的一段內(nèi)容包含間諜犯罪的信息．后來發(fā)覺，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯了鍵，使從今處起往后的全部內(nèi)容都被擦掉了，那么由于按錯了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？解：記A＝{按錯鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉}，A發(fā)生就是在0到eq\f(2,3)min時間段內(nèi)按錯鍵．P(A)＝eq\f(\f(2,3),30)＝eq\f(1,45).4．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M分別是AB的中點．一只蒼蠅在幾何體ADF-BCE內(nèi)自由飛行，求它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率．解：由