2021高考數(shù)學專題輔導與訓練配套練習：解答題規(guī)范訓練(六)解析幾何

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。解答題規(guī)范訓練(六)解析幾何(建議用時:45分鐘)1.(2022·煙臺模擬)已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F(1,0),C1的中心和C2的頂點都在坐標原點,過點M(4,0)的直線l與拋物線C2分別相交于A,B兩點.(1)如圖所示,若QUOTE=QUOTE,求直線l的方程.(2)若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C2上,直線l與橢圓C1有公共點,求橢圓C1的長軸長的最小值.【解析】由題知拋物線方程為y2=4x,設直線方程為x=my+4,并設A(QUOTE,y1),B(QUOTE,y2).(1)由于QUOTE=QUOTE,所以y1=-QUOTEy2.聯(lián)立QUOTE可得y2-4my-16=0,有QUOTE解得:y1=-2,y2=8,m=QUOTE,所以直線方程為2x-3y-8=0.(2)可求得對稱點P(QUOTE,QUOTE),代入拋物線中可得:m=±1,直線l方程為x=±y+4,考慮到對稱性不妨取x=y+4,橢圓設為QUOTE+QUOTE=1(λ>1).聯(lián)立直線和橢圓并消元整理得(2λ-1)y2+8(λ-1)y-λ2+17λ-16=0,由于橢圓與直線有交點,所以Δ≥0,即64(λ-1)2+4(λ-1)(λ-16)(2λ-1)≥0,解得λ≥QUOTE(λ≤0舍去),即a2≥QUOTE,解得:a≥QUOTE,所以長軸長的最小值為QUOTE.2.(2022·長沙模擬)設直線l:y=k(x+1)(k≠0)與橢圓3x2+y2=a2(a>0)相交于A,B兩個不同的點,與x軸相交于點C,記O為坐標原點.(1)證明:a2>QUOTE.(2)若QUOTE=2QUOTE,求△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程.【解析】(1)由y=k(x+1)得x=QUOTEy-1,將x=QUOTEy-1代入3x2+y2=a2消去x得(QUOTE+1)y2-QUOTEy+3-a2=0.①由直線l與橢圓相交于兩個不同的點得Δ=QUOTE-4(QUOTE+1)(3-a2)>0,整理得QUOTE+1a2>3,即a2>QUOTE.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由①,得y1+y2=QUOTE,由于QUOTE=2QUOTE,而點C(-1,0),所以(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2),得y1=-2y2,代入上式,得y2=QUOTE.于是,△OAB的面積S=QUOTE|OC||y1-y2|=QUOTE|y2|=QUOTE≤QUOTE=QUOTE.其中,上式取等號的條件是k2=3,即k=±QUOTE.由y2=QUOTE,可得y2=±QUOTE.將k=QUOTE,y2=-QUOTE及k=-QUOTE,y2=QUOTE這兩組值分別代入①,均可解出a2=15.所以△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是3x2+y2=15.3.(2022·寧波模擬)如圖,設橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)長軸的右端點為A,短軸端點分別為B,C,另有拋物線y=x2+b.(1)若拋物線上存在點D,使四邊形ABCD為菱形,求橢圓的方程.(2)若a=2,過點B作拋物線的切線,切點為P,直線PB與橢圓相交于另一點Q,求QUOTE的取值范圍.【解析】(1)由四邊形ABCD是菱形,得D(a,a2+b),且QUOTE解得a=QUOTE,b=QUOTE,所以橢圓方程為3x2+9y2=1.(2)不妨設P(t,t2+b)(t≠0),由于y'|x=t=2t,所以PQ的方程為y=2t(x-t)+t2+b,即y=2tx-t2+b.又由于直線PQ過點B,所以-t2+b=-b,即b=QUOTE.所以PQ的方程為y=2tx-QUOTE.聯(lián)立方程組QUOTE消去y,得(t2+64)x2-32tx=0.所以點Q的橫坐標為xQ=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE+1.又t2=2b∈(0,4),所以QUOTE的取值范圍為1,QUOTE.4.已知拋物線C:x2=4y,M為直線l:y=-1上任意一點,過點M作拋物線C的兩條切線MA,MB,切點分別為A,B.(1)當M的坐標為(0,-1)時,求過M,A,B三點的圓的方程.(2)證明:以AB為直徑的圓恒過點M.【解析】(1)當M的坐標為(0,-1)時,設過M點的切線方程為y=kx-1,由QUOTE消去y得x2-4kx+4=0.①令Δ=(-4k)2-4×4=0,解得k=±1.代入方程①,解得A(2,1),B(-2,1).設圓心P的坐標為(0,a),由|PM|=|PB|,解得a=1.故過M,A,B三點的圓的方程為x2+(y-1)2=4.(2)設M(x0,-1),由已知得y=QUOTE,y'=QUOTEx,設切點分別為AQUOTE,BQUOTE,所以kMA=QUOTE,kMB=QUOTE,切線MA的方程為y-QUOTE=QUOTE(x-x1),即y=QUOTEx1x-QUOTE,切線MB的方程為y-QUOTE=QUOTE(x-x2),即y=QUOTEx2x-QUOTE.又由于切線MA過點M(x0,-1),所以得-1=QUOTEx0x1-QUOTE.①又由于切線MB也過點M(x0,-1),所以得-1=QUOTEx0x2-QUOTE.②由①,②可得x1,x2是方程-1=QUOTEx0x-QUOTEx2的兩個實根,由根與系數(shù)的關系得,x1+x2=2x0,x1x2=-4.由于QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=(x1-x0)(x2-x0)+QUOTE=x1x2-x0(x1+x2)+QUOTE+QUOTE+QUOTE(QUOTE+QUOTE)+1