【名師一號】2020-2021學年高中數(shù)學新課標人教A版選修1-1雙基限時練18(第三章)

雙基限時練(十八)1．設f(x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,x)(x<0)，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間為()A．(－∞，－2) B．(－2,0)C．(－∞，－eq\r(2)) D．(－eq\r(2)，0)解析f′(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－2,2x2)＝eq\f(x－\r(2)x＋\r(2),2x2)∵x<0，令f′(x)<0，得－eq\r(2)<x<0.故選D.答案D2．函數(shù)f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()A．是增函數(shù) B．是減函數(shù)C．有最大值 D．有最小值解析f′(x)＝2－cosx>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，故選A.答案A3．若函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,x)(a∈R)，則下列結(jié)論正確的是()A．?a∈R，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．?a∈R，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．?a∈R，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)D．?a∈R，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)解析當a＝1時，函數(shù)f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，A錯；當a＝1時，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，B錯；D選項中的a不存在，故選C.答案C4．函數(shù)f(x)＝eq\f(x,1－x)的單調(diào)增區(qū)間是()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1)，(1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析函數(shù)的定義域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝(eq\f(x,1－x))′＝eq\f(1×1－x－x－1,1－x2)＝eq\f(1,1－x2)>0，∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，1)，(1，＋∞)．答案C5．在R上可導的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式x·f′(x)<0的解集為()A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析從f(x)的圖象可知，f(x)在(－∞，－1)(1，＋∞)是增函數(shù)，在(－1,1)是減函數(shù)，∴當x<－1，或x>1時，f′(x)>0；當－1<x<1時，f′(x)<0，∴x·f′(x)<0的解集為(－∞，－1)∪(0,1)，故選A.答案A6．下列命題中正確的是________．①若f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，則對于任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0；②若在(a，b)內(nèi)f′(x)存在，則f(x)必為單調(diào)函數(shù)；③若在(a，b)內(nèi)的任意x都有f′(x)>0，則f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)；④若x∈(a，b)，總有f′(x)<0，則在(a，b)內(nèi)f(x)<0.解析①y＝x3在x∈(－∞，＋∞)為增函數(shù)，而y′＝2x2≥0，故①錯．②錯．③正確．④由f′(x)<0能推斷f(x)為減函數(shù)，但不能判定f(x)<0.答案③7．已知導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如下圖所示，請依據(jù)圖象寫出原函數(shù)y＝f(x)的遞增區(qū)間是________．解析從圖象可知f′(x)>0的解為－1<x<2或x>5，即f(x)的遞增區(qū)間為(－1,2)，(5，＋∞)．答案(－1,2)，(5，＋∞)8．函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,2)x2的單調(diào)增區(qū)間是________．解析函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－x＝eq\f(1－x2,x)，令f′(x)>0，即eq\f(1－x2,x)>0，解得0<x<1，∴f(x)在(0,1)上為增函數(shù)．答案(0,1)9．函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)，若a＝f(3)，b＝f(4)，c＝f(5)，則a，b，c的大小關(guān)系是________．解析∵f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，∴當x>e時，f′(x)<0，即f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.答案a>b>c10．求證：函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x2－1)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．證明證法1：設x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x\o\al(2,1)－1)－eq\f(x2,x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x1x\o\al(2,2)－1－x2x\o\al(2,1)－1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x2－x1x1x2＋1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1).∵1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，xeq\o\al(2,1)－1>0，xeq\o\al(2,2)－1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)＝eq\f(x,x2－1)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．證法2：∵f(x)＝eq\f(x,x2－1)，∴f′(x)＝eq\f(x2－1－2x2,x2－12)＝eq\f(－x2＋1,x2－12).∵x∈(1，＋∞)，∴f′(x)<0.∴f(x)＝eq\f(x,x2－1)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．11．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù)，在區(qū)間(6，＋∞)上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍．解函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.當a－1≤1即a≤2時，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，不合題意．當a－1>1即a>2時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上為增函數(shù)，在(1，a－1)上為減函數(shù)，在(a－1，＋∞)上為增函數(shù)．依題意應有當x∈(1,4)時，f′(x)<0，當x∈(6，＋∞)時，f′(x)>0.∴4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.∴a的取值范圍是．12．設函數(shù)f(x)＝