66定積分的幾何應(yīng)用1教學(xué)教案

6.6定積分的幾何應(yīng)用6.5.1定積分的微元法用定積分表示的量U必須具備三個特征:一.能用定積分表示的量所必須具備的特征(3)部分量的近似值可表示為二.微元分析法

則U相應(yīng)地分成許多部分量;用定積分表示量U的基本步驟:(1)U是與一個變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;(2)U對于區(qū)間[a,b]具有可加性.即如果把區(qū)間[a,b]分成許多部分區(qū)間,根據(jù)問題的具體情況,選取一個變量(2)在區(qū)間[a,b]內(nèi)任取一個小區(qū)間,求出相應(yīng)于這個小區(qū)間的部分量的近似值.

在處的值與的乘積,就把稱為量U的微元且記作,即如果能近似地表示為[a,b]上的一個連續(xù)函數(shù)例如x為積分變量,并確定其變化區(qū)間[a,b];（2）一般圖形以及兩條直線x=a,x=b之間的圖形的面積微元為如果函數(shù)在[a,b]上連續(xù),且則介于兩條曲線

注意:根據(jù)具體的圖形特點(diǎn),也可以選擇y作為積分變量或者利用圖形的對稱性簡化計算.例1（6.5.3）求橢圓的面積(如圖).解由對稱性,橢圓的面積其中為橢圓在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx則圖形的面積為則例6.5.1

求由所圍圖形面積.解兩拋物線的交點(diǎn)為(0,0)及(1,1).取x為積分變量,其變化區(qū)間為[0,1].由前面討論可知:(1,1)oyx例6.5.2

求由所圍圖形面積.解兩曲線的交點(diǎn)為(2,-2)及(8,4).根據(jù)此圖形特點(diǎn),可以選擇y作為積分變量,其變化區(qū)間為[-2,4].yx(2,-2)(8,4)圖形的面積微元為:從而可得圖形面積2.參數(shù)方程情形

當(dāng)曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方x=(t),y=(t),且

()=a,()=b,在[,]上(t)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),(t)連續(xù),則曲邊梯形面積面積為在例1中,若采用橢圓的參數(shù)方程則補(bǔ)充知識——極坐標(biāo)：xoP(r,q)qryxy(x,y)Ox軸——極軸；q

——極角；r——極徑；直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系：（x=0而y0時，規(guī)定

q=p/2）一些曲線方程的直角坐標(biāo)形式與極坐標(biāo)形式3平面圖形面積的極坐標(biāo)情形（1）曲邊扇形其中r()在[,]上連續(xù),且r()0.相應(yīng)于[,+d]的面積微元為則圖形面積為o

r=r()設(shè)圖形由曲線r=r()及射線

=,=所圍成.取

為積分變量,其變化區(qū)間為[,],（2）一般圖形及射線

=,=所圍圖形的面積微元為則面積為o相應(yīng)于從0到2的一段弧與極軸所圍圖形的面積.

解如圖,可視為

=0,=2及r=a

圍成的曲邊扇形.則其面積為o

由曲線

例4

求阿基米德螺線r=a(a>0)上NoM例5

求r=1與r=1+cos

所圍公共面積.解