專題07 特殊平行四邊形的綜合問題含答案2024年中考復(fù)習(xí)重難點與壓軸題型專項突圍訓(xùn)練

備戰(zhàn)2024年中考復(fù)習(xí)重難點與壓軸題型專項突圍訓(xùn)練

專題07特殊平行四邊形的綜合問題

【典型例題】

1.（2021?廣東?廣州市第二中學(xué)南沙天元學(xué)校八年級期末）在正方形48CD中，點E是CQ邊上任意一點.連

接AE,過點4作于E

圖1圖3

⑴如圖1，過點D作。GSAE于G,求證:朋/硼團(tuán)QG4：

（2）如圖2,點石為CQ的中點，連接QF,求證：FH+FE=丘DF；

（3）如圖3,A4=l,連接石〃，點2為￡，的中點，在點￡從點。運動到點C的過程中，點夕隨之運動，請

直接寫出點尸運動的路徑長.

【專題訓(xùn)練】

一、選擇題

1.（2021?湖南?師大附中梅溪湖中學(xué)二模）如圖，在菱形/IBC。中，點廠在線段C。上，連接EF,^CBE^EFC

=180°,DF=2,FC=3.貝ij04=（）

A.6B.2石C.5D.2x/5

2.（廣西壯族自治區(qū)玉林市2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在AA8C中，點。，E,產(chǎn)分

別是AS,RC,AC的中點，則下列四個判斷中錯誤的是（）

D,

BEC

A.四邊形是平行四邊形

B.若NA=90。，則四邊形AOEE不一定是矩形

C.若四邊形AQE尸是菱形，則AA"?是等腰三角形

D.若四邊形AD四是正方形，則AA8c是等腰直角三角形

3.（2022?重慶南開中學(xué)八年級開學(xué)考試）如圖所示，在長方形A8CO中，A8=2夜，在線段4C上取一點E,

連接人E、ED,將班:沿AE翻折，點3落在點"處，線段EB'交AD于點、F.將.E8沿。E翻折，點

。的對應(yīng)點C'恰好落在線段所'上，且點C'為石B'的中點，則線段EF的長為（）

4.3B.2石C.4D.3yli

4.（2021?廣東凍莞市石龍第二中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，CB=CA,MCB=90。，點D在邊BC上（與B、C不重合），

四邊形AOE尸為正方形，過點尸作尸6c4,交。的延長線于點G,連接FB,交DE于點Q,給出以下結(jié)

2

論：（1）AC=FG；?SAFAB：S^CBFG=\：2；③@AD=FQ^AC,其中正確的是（）

A.①②B.①③④C.①②③D.①②③④

二、填空題

5.1四川省成都市高新區(qū)2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，四邊形4BCO是邊長為不切】的

菱形，其中對角線的長為2cm,則菱形AHCZ）的面積為,病.

DC

6.（2021?廣東南海?二模）如圖，折疊矩形48C。的一邊AO,使點。落在8c邊的點F處，已知8尸=6所,

7.（2021?廣東?佛山市二水區(qū)二水中學(xué)附屬初中二模）如圖，中，QC=90°,AC=3,〃C=4,點/為A"

邊上任一點，過P分別作p由。于E,分I28C于F,則線段E尸的最小值是.

8.12021?廣東東莞?二模汝口圖，已知正方形48CQ邊長為3,點E在AB邊上且8E=1,P,。分別是邊8C,

CO的動點（均不與頂點重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長最小時，四邊形4EP。的面積是.

三、解答題

9.（2021?廣東?一模）如圖，在矩形A8C。中，ADV2A8,點E是AZ）的中點，連接8E,將S48E沿8E折疊

后得到團(tuán)GBE,延長8G交。C于點F,連接E立

（I）求證：^EGF^EDF；

⑵若點尸是CO的中點，8C=8,求CQ的長.

10.（2022?湖南?長沙市湘一立信實驗學(xué)校八年級期末）如圖，平行四邊形4BCO的對角線AC、B。相交于點

O,AHMC,AB=3,8c=5,點P從點4出發(fā)，沿4D以每秒1個單位的速度向終點。運動.連接尸。并

延長交OC于點Q.設(shè)點，的運動時間為，秒.

⑴則CQ的長度為（用含f的式子表示）；

⑵當(dāng)四邊形A8QP是平行四邊形時，求，的值；

⑶當(dāng)點。在線段4P的垂直平分線上時，求，的值.

11.（2022?云南省昆明市第二中學(xué)九年級期末）如圖，在矩形A8CZ）中，對角線AC的垂直平分線與邊AD.BC

分別交于點E、F,連結(jié)Ab、CE.

⑴試判斷四邊形AFCE的形狀，并說明理由;

(2)若A8=5,2AE=3BF,求EF的長:

BF

(3)連結(jié)的，若BE上CE,求二字的值.

AE

12.(2022?成都巾龍泉驛區(qū)四川師范大學(xué)東區(qū)上東學(xué)校九年級期木)如圖，在矩形A4C。中，AB=6cm,BC

=8c”如果點E由點8出發(fā)沿8c方向向點。勻速運動，同時點”由點。出發(fā)沿D4方向向點A勻速運動，

它們的速度分別為2c〃?和1c加，F(xiàn)Q^BC,分別交AC、8c于點P和點Q,連接E尸、EP(s)[0<t<4).

()為何值時四邊形A3E小是矩形？四邊形A5E/能否為正方形？并說明理由.

(2)連接OQ,若四邊形￡QQF為平行四邊形，求/的值.

(3)運動時間/為何值時，EfWAC?

13.(2021?廣東南海?二模)如圖1,已知正方形A4cO,AB=4,以頂點8為直角頂點的等腰R四班牙繞點4

旋轉(zhuǎn)，BE=BF=M,連接AE,CF.

F

(1)求1正；(MBRaaC。產(chǎn).

(2)如圖2,連接。E,當(dāng)。E=8E時，求S/CT的值.(S/CT表示團(tuán)8c產(chǎn)的面枳)

(3)如圖3,當(dāng)R/13BEF旋轉(zhuǎn)到正方形A8C。外部，且線段AE與錢段C/存在交點G時，若M是CD的中點,

P是線段QG上的一個動點，當(dāng)滿足夜MP+PG的值最小時，求MP的值.

14.(2021?廣西?南寧二中九年級開學(xué)考試)⑴感知：如圖①，在正方形A8CO中，E為邊A8上一點(點E不

與點A8重合)，連接OE,過點A作瓶JLOE，交BC于點、F,證明：DE=AF.

(2)探究：如圖②，在正方形ABC。中，E,尸分別為邊AB,CO上的點(點E,尸不與正方形的頂點重合)，

連接七尺作EF的垂線分別交邊A。，BC于點G,H,垂足為0.若E為AB中點,。尸=1,人3=4,求

G〃的長.

(3)應(yīng)用：如圖③，在正方形ABC。中，點E,尸分別在BC,CD±,=B,BF,AE相交于點G.若4?=3,

圖中陰影部分的面積與正方形A8C。的面積之比為2：3,則AAG的面積為,,A4G的周長為.

15.(2022?重慶大渡II?九年級階段練習(xí)汝口圖，四邊形A8C。是菱形，其中N8=60。，點E在對角線AC上,

點F在射線CB上運動，連接EF,作NFEG=60°,交。C延長線于點G.

⑴試判斷比G的形狀，并說明理由；

(2)圖中AB=7,AE=\.

①當(dāng)C/=/0時，以點B為原點，射線BC為正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.平面內(nèi)是否存在一點M,使得以

點M、E、F、G為頂點的四邊形與菱形ABC。相似？若存在，求出點M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；

②記點/關(guān)于直線48的軸對稱點為點N.若點N落在/瓦心的內(nèi)部(不含邊界)，求C尸的取值范圍.

備戰(zhàn)2024年中考復(fù)習(xí)重難點與壓軸題型專項突圍訓(xùn)練

專題07特殊平行四邊形的綜合問題

【典型例題】

1.(2021?廣東?廣州市第二中學(xué)南沙天元學(xué)校八年級期末)在正方形48CD中，點E是CQ邊上任意一點.連

接AE,過點4作于E

圖1圖3

⑴如圖1，過點。作。C泡4石于G,求證：朋FB00OGA；

(2)如圖2,點石為CQ的中點，連接QF,求證：FH+FE=丘DF；

(3)如圖3,A4=l,連接石〃，點2為￡，的中點，在點￡從點。運動到點C的過程中，點夕隨之運動，請

直接寫出點尸運動的路徑長.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

⑴由正方形的性質(zhì)得人(3B人。=90°,證明團(tuán)然后由/VIS證財廠砸1OGA即可；

(2)如圖2,過點。作。于K,。龍8〃交4廠的延長線于J,先證(M班應(yīng)團(tuán)D4￡(4SA),得心再證

^DjmS}DKE(AAS),得D/=OK,."/=EK,則四邊形DKFJ是正方形，得FK=FJ=DK=DJ,則DF=&,FJ,

進(jìn)而得出結(jié)論；

(3)如圖3,取A。的中點Q,連接P。，延長QP交CO于R,過點P作P70CO于丁，〃皿4。于K,設(shè)尸T=

b,由(2)得團(tuán)48H012D4E(ASA),則AH=OE,再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得PD=P”=PE,然后由等

腰三角形的性質(zhì)得。”=2DK=2A,DE=2DT,則A”=OE=1-24證出尸K=QK,最后證點尸在線段Q?

上運動，進(jìn)而由等腰直角三角形的性質(zhì)得QR=五DQ=也.

(1)

證明：團(tuán)四邊形ABC。是正方形，

^AB=AD,^BAD=90°

團(tuán)。宛AE,

回剛尸B=(3/XM=90°

00Mfi+0D/\G=9O°,(3OAG+aAOG=90°

00Z?AF=(MDG

在酎所和團(tuán)。GA中

&FB=2DGA

0-ZBAF=ZADG

AB=AD

團(tuán)財產(chǎn)選睛Z)GA(AAS).

(2)

證明：如圖2,過點。作。電3￡于K,D/04尸交8廠的延長線于./

圖2

由題意知團(tuán)84”=EL4OE=90°,AB=AD=CD

團(tuán)B/HME

團(tuán)財13=90°

□0D/1E+{3EAB=9O\團(tuán)EA3+lM3〃=9(r

^DAE=^ABH

在(L48H和WME中

/BAH=NADE

中AB=AD

/ABH=ZDAE

00/.?fflEIDA^(ASA)

^AH=DE

回點￡為C。的中點

0DE=EC=yCD

^AH=DH

^DE=DH

團(tuán)。/04，，DK^AE

W=^DKE=^KFJ=90°

團(tuán)四邊形OKE/是矩形

MOK=(MOC=90°

m)DH=^KDE

在&Q〃7和0。KE中

ZJ=NDKE

^\^JDH=AKDE

DH=DE

^DjmDKE(AAS)

^DJ=DK,JH=EK

團(tuán)四邊形。KE/是正方形

^FK=FJ=DK=DJ

0DF=夜FJ

中6DF=2FJ

^FH+FE=FJ-HJ+FK+KE=2FJ=拒DF.

(3)

解：如圖3,取4。的中點Q,連接PQ,延長QP交。。于R,過點。作P70C。于。。也4。于K,設(shè)PT

=b

圖3

由(2)得0A班也回DAE(ASA)

\^AH=DE

^EDH=90。，點尸為E”的中點

由PD=2EH=PH=PE

團(tuán)戶依。"，PT^DE

^PKD=^KDT=0P7'D=9O°

回四邊形P77)K是矩形

?PT=DK=b,PK=DT

⑦PH=PD=PE,PK^DH,Pl^DE

13PT是的中位線

⑦DH=2DK=2b,DE=2DT

^AH=DE=\-2b

團(tuán)PK=；DE=g-b,QK=DQ-DK=^-b

^PK=QK

回回PKQ=90°

防尸KQ是等腰直角三角形

釀KQP=45°

回點P在線段QR上運動，（3OQR是等腰直角三角形

團(tuán)QR=V2DQ=—

2

團(tuán)點夕的運動軌跡的長為史.

2

【點睛】

本題考查了三角形全等，正方形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線，等腰三角形的性質(zhì)等知識.解題

的關(guān)鍵在于對知識的綜合靈活運用.

【專題訓(xùn)練】

二、選擇題

1.(2021?湖南?師大附中梅溪湖中學(xué)二模)如圖，在菱形A8C。中，點尸在線段CD1-.,連接EF,E0C5E+0EFC

=180°,DF=2,FC=3.則。B=()

4.6B.2x/3C.5D.2石

【答案】。

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BC=CD=5,從而得到I3CBE=[3C/)B,再由mC8E+(3EFC=180。，可得

田CBER1CDB里DFE,從而得到國OE鹿OC8,可得到匹解得。后二行，即可求解.

BC2DE

【詳解】

解：在菱形A3c。中，BD=2DE,BC=CD=DF+FC=2+3=5,

^CBE^CDB,

^\CBE^EFC=180°,^DFE^EFC=180°,

00CBE=0DFE,

^CBE=^CDB=^DFE,

00CD?=0EDF,

^BDEF^DCB,

DEDF

（3----=-----,

DCBD

DEDF

回---=-----,

BCIDE

回華=彳之，解得：DE=45，

52DE

田DB=2DE=2后.

故選：D

【點睛】

本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理，菱形的

性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

2.（廣西壯族自治區(qū)玉林市2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題妝口圖，在A43c中，點D,E,尸分

別是人3,BC,AC的中點，則下列四個判斷中錯誤的是（）

A.四邊形4。律是平行四邊形

B.若N4=90。，則四邊形AO律不一定是矩形

C.若四邊形是菱形，則AA3C是等腰三角形

D.若四邊形AO即是正方形，則AA8C是等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正方形的性質(zhì)，矩形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，等腰直角三角形的判定進(jìn)行依次推理,

可求解.

【詳解】

解：.點。，E,r分別是八8,BC,AC的中點，

:.EF=AD=DB=-AB,DE=AF=FC=-AC,EF//AB,DEI/AC,

22

???四邊形八。加'是平行四邊形，

故A正確;

若乙4=90。，

二四邊形4。即是矩形，

故B錯誤；

若四邊形AOE/7是菱形，則4）=A尸，

AB=/AC,

??.AA8C是等腰三角形，

故C正確，

若四邊形4。瓦'是正方形，則ZA=90°,

：.AB=AC,ZA=90°,

??.AA8C是等腰直角三角形，

故D正確，

故選：B.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，等腰直角三角形的判定，熟練

運用這些性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

3.（2022?重慶南開中學(xué)八年級開學(xué)考試）如圖所示，在長方形ABC力中，A8=2夜，在線段3c上取一點E，

連接AE、ED,將ASBE沿翻折，點8落在點8'處，線段EB'交AD于點F.將.皮力沿。E翻折，點

C的對應(yīng)點C恰好落在線段的上，且點C為用的中點，則線段瓦'的長為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)8了長為工，根據(jù)圖形沿著某條邊折疊所得的兩個圖形全等，得出A8'=4B=CO=C'。,

ZAB,E=ZABE=ZB,CD=ZC^O°,利用AAS再證AA8N三ADCF,/即是A。的中點，已知人4=2拉再根

據(jù)邊之間的長度關(guān)系列出等式8七=8￡=4工=8。-E。=247-2]=2>/8+?-21，解方程即可.

【詳解】

解：設(shè)夕F長為K

(3AA班:沿AE翻折，點8落在9處，反7)沿。石翻折，使點C的對應(yīng)點。'落在線段￡力上，

,,,

^AB=AI3=CD=CDfZAffE=ZABE=ZBCD=ZC=9(r,

在A/14戶和△OC戶中

NB，=/DCF

-ZB'FA=ZCFD,

AB'=DC

^^F^ADCF(AAS),

^BF=CF=x,AF=DF,

團(tuán)AD=2AF=2JAB。*尸=2.20+x"=2^8+f，

回點C'為a’的中點，

^BE=BE=4x=BC-EC=2AF-2x=2Vs+x2-2x^

04.r=278+?-2.r?

團(tuán)上甘=36'尸=3x=3.

故選:A.

【點睛】

本題考查圖形折疊問題，矩形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾投定理等知識，掌握以上知識是解題關(guān)鍵.

4.（2021?廣東?東莞市石龍第二中學(xué)模擬預(yù)測）如圖,CB=CA,0ACB=9O。，點。在邊BC上（與&C不重合），

四邊形人。石尸為正方形，過點尸作/G0CA,交。的延長線于點G,連接FB,交。E于點Q,給出以下結(jié)

論：?AC=FG；②SJAB：S四公形CBFG=1：2：③固48C=0ABF；@AD2=FQ?AC,其中正確的是(

A.①②B.①③④C.①②③D.①②③④

【答案】。

【解析】

【分析】

由正方形的性質(zhì)得出回用0=90°,AD=AF=EF,證出團(tuán)C4O=朋FG,由A4S證明回FG4雕L4CQ,得出AC=R7,

①正確；證明四邊形。8/七是矩形，得出SAFAB=GFB?FG=；S.^CBFG,②正確；由等腰直角三角形的

性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出西4。=助9'=45。，③正確；證出(MCD0團(tuán)FEQ,得出對應(yīng)邊成比例，得出

AD-FEuAgFQMC,④正確.

【詳解】

解：但四邊形AQEF為正方形，

回團(tuán)用0=90°.AD=AF=EF.

00C>4D+{3MG=9OO,

0FG0C4,

(3ZG=90°=ZACB,

00CAD=0AFG,

ZG=ZC

在(2FG4和0AC7)中，<ZAFG=ZC4D,

AF=AD

^FGAmACD(AAS),

BAC=FG,故①正確;

0BC=AC,

0FG=BC,

13NAC8=9O。，raacA,

□H7//BC,

團(tuán)四邊形CBFG是矩形，

回C8尸=90°,

=

S5FB.FG=5S四邊形C8FG?故②正確；

團(tuán)CA=C4,ZC=ZCBF=90°,

121NA8C'=〃4b=43。，故③正確；

⑦NFQE=/DQB="DC,ZE=ZC=90°,

^CD^FEQ,

0AC：AD=FE：FQ,

^AD^E=AD2=FQMC,故④正確；

回正確的有①②③④.

故選：D.

【點睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)等知識.利

用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題

5.1四川省成都市高新區(qū)2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題汝口圖，四邊形ABCO是邊長為石cm的

菱形，其中對角線BD的長為2c//.',則菱形ABCD的面積為cm2.

【答案】4

【解析】

【分析】

首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BO=DO,AC^DB,AO=CO,然后再根據(jù)勾股定理計算出AO長，進(jìn)而得到答案.

【詳解】

解：團(tuán)四邊形ABC。是菱形，

魴。=。。，AC^DB,AO=CO,

^BD=2cm,

\^BO=\crn,

(MB=岳cm,

^O=^AB2-BO2

=J5-1=2(c〃?),

^AC=2AO=4cm.

(35堂形ABCD=1/1C-BD=1x4x2=4(c7n2).

故答案為:4.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理；解題的關(guān)鍵是熟悉菱形的面積公式和直角三角形三邊之間的關(guān)系.

6.(2021?廣東南海?二模)如圖，折疊矩形A8C。的一邊AQ,使點。落在8c邊的點尸處，已知8/=6。機,

3

且ian^BAF=-,則折痕AE長是.

51----------T(

【答案】5石cm

【解析】

【分析】

由折疊的性質(zhì)得4"=4。，EF=DE,由矩形的性質(zhì)得A~=4O=BC,DC=AB,^=00=00=90%再由

3BF

=1=解得A8的值，由勾股定理得A凡知AO,。尸的值，設(shè)E/=OE=xc〃?，WCE=AB-

4AB

。石=(8■力cm,然后在Rt^EFC中，由勾股定理求出x的值，在Rt^ADE中，由勾股定理得AE=VAD2+DE2，

計算求解即可.

【詳解】

解：由折疊的性質(zhì)得：AF=AD,EF=DE

團(tuán)四邊形A8C。為矩形

^AF=AD=BC,DC=AB,05=0C=0D=9O°

3BF

0tanZBAF=-=—

4AB

團(tuán)4B=8

由勾股定理得AF=\lAB2+BF2=10?")

^AD=13C=\()(cm)

^CF=BC-BF=4(cm)

設(shè)EF=DE=xcm,則C￡=(8-x)cm

在R/HER;中，由勾股定理得x2=42+(8-A)2

解得：x=5

^DE=5cm

在Rl^ADE中,由勾股定理得4E一siAD1+DE2-5&(?！?)

故答案為：545cm.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，正切.解題的關(guān)鍵在于找出線段的數(shù)量關(guān)系，多次運用

勾股定理求解.

7.(2021?廣東?佛山市三水區(qū)三水中學(xué)附屬初中二模)如圖，R/SABC中，0C=9O°,AC=3,8c=4,點P為AB

邊上任一點，過P分別作于E,。距8C于F,則線段EF的最小值是.

A

CFB

12

【答案】y

【解析】

【分析】

證四邊形PEC尸是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EF=C尸，根據(jù)垂線段最短得出。甩48時，CP最短，然后根

據(jù)三角形的面積公式求出此時CP值即可.

【詳解】

解：連接CP，

的4C8=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理得：AB=5,

團(tuán)。￡HAC,P他BC,

（30PEC=0PFC=a4CB=9O<<,

團(tuán)四邊形EPFC是矩形，

⑦EF=CP,

當(dāng)CEB時，C尸最小，即E尸最小，

根據(jù)二角形面積公式得：；ACx8C=gA3xCP.

0CP=y.

12

故答案為:y.

【點睛】

本題考查了勾股定理，三角形的面積，矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識點；能求出最短時尸點的

位置是解此題的關(guān)鍵.

8.（2021?廣東東莞?二模）如圖，已知正方形ABC。邊長為3,點E在邊上且BE=1,P、Q分別是邊BC,

的動點（均不與頂點重合），當(dāng)四邊形4EPQ的周長最小時，四邊形4EPQ的面積是.

91

【答案】-##4.5##4-

22

【解析】

【分^析】

根據(jù)最短路徑的求法，先確定點E關(guān)于8C的對稱點E,再確定點4關(guān)于。。的對稱點A',連接4E即可得

出P,Q的位置.；再根據(jù)相似得出相應(yīng)的線段長從而可求得四邊形AEPQ的面積.

【詳解】

解：如圖所示：

作E關(guān)于8C的對稱點￡，點4關(guān)于ZX?的對稱點A,此時四邊形AEPQ的周長最小,

IW)=AD=3,BE=BE=1,

0A4'=6,人E=4.

團(tuán)。04￡,。是AA的中點,

回Z4'DQ=NAA￡,Z/VQQ=NA￡A,AAr=2AD,

團(tuán)△"￡)-△AAE'

ADDQ1

0

~A；A~~AE'~2

@D2=yA￡*=2,

回BRWV,

^BE'P^AE^V,

eBPBEBPI3

0一7=-7，即Hn丁=一，8尸=7,

AAAE642

S旗形AEPQ=S正方影ABCD-S^ADQ-SAPCQ-S^BEP

=9--x3x2--x-xl-lxlx-

22222

=9-3-冷

9

9

故答案為：—

【點睛】

此題考查軸對稱、相似三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，利用軸對稱作出輔助線確定得出P、Q

的位置是解題關(guān)鍵.

三、解答題

9.(2021?廣東?一模)如圖，在矩形"C。中，入OV2A用點E是AD的中點，連接8E,將沿8E折疊

后得到團(tuán)GBE,延長BG交QC于點凡連接七￡

(1)求證：^EGF^EDF,

⑵若點”足。的中點，3c=8,求C。的K.

【答案】(I)見解析

(2)4血

【解析】

【分析】

⑴由翻折和矩形的性質(zhì)可知由EGF=Q=90。，EG=E。，可通過證明R/QEG脫R/HEOR

⑵根據(jù)點尸是CQ的中點知：CF=3CD,BF=：CD,在R/0BC尸中，利用勾股定理即可列出方程.

(1)

證明：團(tuán)將沿BE折疊后得至I?GBE,

00^GE=04,AE=GE,

回四邊形A8c。是矩形，

釀仁團(tuán)。=90°,

雕］EG"=回。=90。，

0點E是A。的中點，

^EA=ED,

^EG=ED,

EF=EF

在Ri^EGF與Ri^EDF中，〈廣八「八

EG=ED

國RTEG楣R電EDF(HL).

⑵

由(1)知R佃EGF13R冠EDF,

^GF=DF,

回點尸是C。的中點，

0GF-DF-CF--CD,

2

在矩形ABC。中，回C=90。，AB=CD,又由折疊可知A8=GB,

團(tuán)GB=CO,

3

⑦BF=GB+GF=-CD,

2

在R/aBCQ中，由勾股定理得：

八1

a(^CD)2=82+(-CD)2.

0CDX),

團(tuán)。=472.

【點睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，明確翻折前后對應(yīng)邊相等是解

題的關(guān)鍵.

10.(2022?湖南?長沙市湘一立信實驗學(xué)校八年級期末)如圖，平行四邊形A8CO的對角線AC、B。相交于點

O,AB0AC,AB=3,8C=5,點P從點4出發(fā)，沿4)以每秒I個單位的速度向終點。運動.連接P。并

延長交〃。于點Q.設(shè)點P的運動時間為/秒.

(1)則CQ的長度為(用含r的式子表示)；

(2)當(dāng)四邊形A8QP是平行四邊形時，求，的值；

⑶當(dāng)點O在線段AP的垂直平分線上時，求才的值.

【答案】(1)5T;

⑵當(dāng)尸羨秒時，四邊形A8QP是平行四邊形；

【解析】

【分析】

⑴利用平行四邊形的性質(zhì)可證mP6I3CQ0,貝I"P=CQ,再利用8Q=8C-CQ即可得出答案；

⑵由平行四邊形性質(zhì)可知AP08Q,當(dāng)AP=3Q時，四邊形43QP是平行四邊形，建立一個關(guān)于/的方程，

解方程即可求出/的值；

⑶在/?儂8。中，由勾股定理求出AC的長度，進(jìn)而求出A0的長度，然后利用工48c的面積求出E小的長度,

進(jìn)而求出。E的長度，而AE可以用含，的代數(shù)式表示出來，最后在用AOE中利用勾股定理即可求值.

(1)

團(tuán)四邊形ABCD是平行四邊形，

WA=OC,AD^BC,

團(tuán)團(tuán)護(hù)10=團(tuán)QCO,

00ZOP=0CO(2，

團(tuán)財P3團(tuán)CQO(ASA),

^AP=CQ=tf

團(tuán)8C=5,

^BQ=BC-CQ=5-n

故答案為：5-f；

⑵

當(dāng)。時，四邊形A8QP是平行四邊形，

即；=5-r,

5

t=2'

回當(dāng)/為1秒時，四邊形48QP是平行四邊形；

(3)

16

1~~5'

如圖，

在R旭ABC中，

財8=3,BC=5,

財C=JBC'AC2=5/52-32=4

^A()=CO=^AC=2,

5-/lxortr=-2AB>AC=-2BC>EF

.?.AB?AC=BC?EF

03x4=5xEF,

0EF=y,

0OE=-,

5

團(tuán)OE是AP的垂直平分線，

^AE=^AP=^t,MEO=90。，

由勾股定理得：AE1^OE1=AO2,

??.(/+號>=2?

16T.16..,.

.」=三或1二-7(舍去)

JJ

回當(dāng)，=?秒時，點0在線段AP的垂直平分線上.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)以及動點問題，掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，以及勾股定理是

解題的關(guān)鍵.

11.(2022?云南省昆明市第二中學(xué)九年級期末妝口圖，在矩形A8CO中，對角線AC的垂直平分線與邊A。、BC

分別交于點E、F,連結(jié)A尸、CE.

A

⑴試判斷四邊形A尸CE的形狀，并說明理由；

(2)若AB=5,2AE=3BF,求EF的長；

HF

(3)連結(jié)班:，若BE1.CE,求二1的值.

AE

【答案】⑴四邊形MCE是菱形.理由見解析

(2)EF=>/30

/々\BFV5-1

(3)----=--------

AE2

【解析】

【分析】

⑴由矩形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得△AEOg/XCFO,從而得即可證得四邊形AFCE

是平行四邊形，進(jìn)而可得四邊形4FCE是菱形；

⑵設(shè)AE=3/〃，BF=2m,由四邊形AECF是菱形及勾股定理可求得加，從而可得BC的長，由勾股定理可

求得AC的長，從而可得OC的長，再由勾股定理求得。尸的長，最后求得E尸的長；

(3)設(shè)AE=a,BF=b,由矩形的性質(zhì)及3座CE,易得ACDEs^BEC,由相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于。、

人的方程，即可求得的值，從而求得結(jié)果.

a

(1)

四邊形是菱形.

理由如下：

團(tuán)四邊形A4C。是矩形，

團(tuán)AD〃8C,AD=BC,

團(tuán)ZE4O=N尸CO,

團(tuán)火是人。的垂直平分線，

團(tuán)AO=CO,ZEOA=ZFOC=90°f

NEAO=NFCO

在△AEO和△CAO中，lAO=CO

/EOA=AFOC

(3AAEO^ACFO(ASA),

0AE=CF,

團(tuán)四邊形4R主是平行四邊形,

又歷AC_L杯，

回四邊形AACE是菱形;

(2)

02AE=3BF,

(3設(shè)4石=3〃?，BF=2m,

團(tuán)四邊形AEC廠是菱形，

^AF=AE=3m,EF=2OE=2OF,OC=-AC,AC^EF,

2

在K/A3產(chǎn)中，AB2+13F2=AF2>

025+4"尸=9m2,

07H=5/5，

0AF=FC=3>/5,BF=2卡,

團(tuán)8c=5后

回四邊形ABC。是矩形，

0ZABC=9O°,

^AC=^AB2+BC2=A/25+125=5^，

0OC=1八C=5",

22

在R周。C尸中，由勾股定理得：

⑶

設(shè)AE=a,BF=b,則AF=CF=EC=a,BC=a+b,BF=DE=b.

團(tuán)四邊形ABC。是矩形，

^AD//CB,

⑦ZDEC=NBCE,

^BELCE,

團(tuán)4EC=N￡>=90。，

田ACDESABEC,

「DEEC

團(tuán)---=----,

ECBC

cba

0—=------

aa+b

22

0Z?+ab-a=Of

團(tuán)(士)+々_1=0，

心=包二！或長!(舍去)，

a22

瘠￡.

AE2

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，解方程等知識，熟練運用這些知識是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)問題的特點設(shè)元是本題的特點.

12.(2022?成都市龍泉驛區(qū)四川師范大學(xué)東區(qū)上東學(xué)校九年級期末)如圖，在矩形ABC。中，AB=6cmtBC

=8(7〃.如果點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，同時點尸由點。出發(fā)沿OA方向向點八勻速運動，

它們的速度分別為2c/n和1。麓,FQ^BC,分別交AC、8C于點尸和點Q,連接E/、￡P(guān)(.s)(0</<4).

(1)，為何值時四邊形ABM是矩形？四邊形A8E/能否為正方形？并說明理由.

(2)連接。Q,若四邊形EQD/為平行四邊形，求/的值.

(3)運動時間，為何值時，EHMC?

【答案】(I)/：]時，四邊形ABE尸是矩形；四邊形ABE尸不能為正方形，理由見解析.

⑵r值為2；

(3)運動時間/為時，EF^AC.

6

【解析】

【分析】

⑴由四邊形A8E”是矩形，可得：AF=BE,然后分別用含有，的式子表示A與即可求/的值；若四邊形

ABEF為正方形,則A8=8￡=AF,即可判斷；

⑵由四邊形EQ。尸為平行四邊形，可得：DF=EQ,然后分別用含有，的式子表示。/與EQ即可求f的值;

⑶先確定出AC=10,進(jìn)而得出朋C8的余弦值，利用三角函數(shù)得出CP,CG,即可得出PG,再判斷出

△PF曲EFQ,建立方程即可得出結(jié)論，

(1)

解：在矩形48co中，AB=6cm,BC=8cm,

回點E由點B出發(fā)沿BC方向向點。勻速運動，同時點尸由點。出發(fā)沿DA方向向點人勻速運動，它們的速

度分別為Icm/s和1cm/s,

即秒后，BE=2t,AF=AD-DF=S-t,

團(tuán)四邊形48E尸是矩形，

回BE=AF,即2/=8”，

解得吟

Q

故時，四邊形月的是矩形；

四邊形八8石廠不能為正方形.

理由：當(dāng)時，BE=AF=—^6=AB

33t

故四邊形A3E”不能為正方形.

⑵

解：在矩形4BCZ)中，AB=6cm,BC=Scm,

a4B=CO=6c/〃，4O=8C=8C7〃，(3B4O=0AQC=[3OCB=[3B=9O°,

由勾股定理得：AC=10,

回尸208C,

團(tuán)團(tuán)FQC=90°,

回四邊形COFQ是矩形，

0DF=QC,DC=FQ=6cm,

，秒后，BE=Z,DF=QC=t,

(3EQ=BC-BE-QC=8-31,

回四邊形石0。”為平行四邊形，

^FD=EQ,

即：8-3z=r,

解得：f=2,

故[值為2；

⑶

解：在矩形/WC。中，AB=6cm,BC=8cm,根據(jù)勾股定理得，AC=\Ocm,

團(tuán)團(tuán)B=[3O=[3BCO=90°,于Q,

團(tuán)四邊形COFQ是矩形，

^CQ=DF,

由運動知，BE=2i,DF=t,

團(tuán)CQ=1,CE=BC-BE=8-2i,AF=8-Z,

^EQ=CE-CQ=S-3t,

BC4

在Rt^ABC中，cos^ACB=-----=-,

AC5

在.RfACPQ中,cos^ACB=-=—=-,

5

4

0CP=-r,

0E/13AC,

釀CG￡=90°=財8C,

回0AC8+回FEQ=90°,

回0AC8+[3B4C=9O°,

團(tuán)團(tuán)FEQ=(3BAC,

^BC^EQF.

ABBC68

團(tuán)反=而，即tIi瓦=不，

9

同項=-，

9

回8-31=一,

2

7

解得：

0

7

故運動時間，為一5時，EF^AC.

6

【點睛】

此題是四邊形的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，動點問題，相似三角形的判定與性

質(zhì)，綜合性較強，難度適中.

13.(2021?廣東南海?二模)如圖1,已知正方形ABC。，AB=4,以頂點8為直角頂點的等腰R/0BE/繞點B

旋轉(zhuǎn)，BE=BF=M,連接AE,CF.

(1)求證：^ABE^CBF.

⑵如圖2,連接CE.當(dāng)?！辏?區(qū)后時，求S/C廠的值.(SaBC尸表示(2BC尸的面積)

(3)如圖3,當(dāng)R/0BEF旋轉(zhuǎn)到正方形A8CD外部，且線段AE與錢段C尸存在交點G時，若M是C。的中點，

產(chǎn)是線段。G上的一個動點，當(dāng)滿足夜MP+PG的值最小時，求MP的值.

【答案】(I)見解析

(2)2或6

(3)而了

【解析】

【分析】

(1)由“SAS”可證(M8E0團(tuán)C8/；

(2)rtTSSS”可證團(tuán)4。以狙48E,可得用D4E=(3B4E=45。，可證由勾股定理可求8E的長，即可求解；

(3)先確定點P的位置，過點8作尸于Q,由勾股定理可求CE的長，由平行線分線段成比例可求解.

(1)

證明：團(tuán)四邊形A8CO是正方形,

0AB=8C,lMBC=90o,

00EBF=9OO=0ABC,

^ABE=^CBF,

又RBE=BF,AB=BC,

在(LABE和正如'中，

AB=CB

-NABE=NCBF,

BE=BF

00AB￡00CBF(S/1S)；

⑵

解：如圖2,過點E作日徹48于從

^S^BE=SACBF,

\hAD—A3JAE=AEfDE=BE,

^DE^ABE(SSS),

^DAE=^BAE=45°,

0E//EL4Z?,

^EAB=^AEH=45°,

^AH=EH,

222

^BE=BH+EHf

01O=E/^+(4-EH)2,

0E//=i或3,

當(dāng)EH=1時

⑦S屈BE=SABCF=^ABXEH=gx4x|=2,

當(dāng)EH=3時

^S^ABE=SABCF=^ABXEH=；>4x3=6,

的值是2或6；

⑶

解：如圖3,過點「作燈?記于K,

由⑴同理可得0AB的C8F,

00￡AB=0BCF,

^BAE+^CAE+^ACB=900,

WCF+^CAE+BACB=90°,

00AGC=9O0,

00AGC=a4DC=9O%

團(tuán)點A,點G,點C,點D四點共同，

豳4C7)=a4GO=45°,

(3PMMG,

團(tuán)團(tuán)PGK=E1GPK=45°,

^PK=GK=-PG,

2

gMP+旦PG=MP+PK,

2

B當(dāng)點M,點P,點K三點共線時，且點E,點G重合時，MP+孝尸G值最小，即&MP+PG最小,

如圖4,過點8作88c/于。,

團(tuán)4七=4"=如，團(tuán)上〃"=9(廣，上”,

國E/=26，BQ=EQ=FQ=4^,

^CQ=yjBC2-BQ2=V16-5=而，

^CE=CQ-EQ=y/\\-y/5，

(WK?4E,CE^AE,

（W?CE,

DMMP

0-----=------，

DCCE

乂EM是CO的中點，

團(tuán)。C=2QM,

團(tuán)MP=gCE=舊飛.

【點睛】

本題主要考查勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)，熟練掌握勾股定理、

全等三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?廣西?南寧二中九年級開學(xué)考試）（1）感知：如圖①，在正方形/WCO中，E為邊/W上一點（點E不

與點A8重合），連接。E,過點A作AFJ_DE，交RC于點F,證明：DE=AF.

⑵探究：如圖②，在正方形A3CO中，E,尸分別為邊4從CQ上的點（點E,產(chǎn)不與正方形的頂點重合），

連接EP,作的垂線分別交邊AQ,BC于點G,H,垂足為0.若E為A3中點，OF=I,AB=4,求

GH的長.

⑶應(yīng)用：如圖③，在正方形A8C。中，點E,尸分別在BC,CO上，=3RA￡相交于點G.若A〃=3,

圖中陰影部分的面枳與正方形ABC。的面枳之比為2：3,則MG的面積為…ABG的周長為.

圖①圖②圖③

3

【答案】（1）見解析；（2）G”=>//；（3）萬，而+3

【解析】

【分析】

感知：由正方形的性質(zhì)得出4。=/^,隗乂七=團(tuán)48/=90°,證得財/）￡：=084尸,由ASA證得（3D4Em48aAs4）,

即可得出結(jié)論；

探究：分別過點小力作AN〃G〃,OM〃曰"分別交8C、AB于點N、M,由正方形的性質(zhì)得出A8〃C。，

AB=CD,團(tuán)。43=團(tuán)8=90。，推出四邊形。ME/是平行四邊形，M￡=￡>/；=1,DM=EF,證出。M0G“，同

理，四邊形AGMV是平行四邊形，GH=AN,4M3QM,證得a4OM=（3ZMN,由AS'A證得財ZM施BAN,得

出DM=AN,推出DM=GH,由E為4B中點，得出AE=gA8=2,則AM=AE?ME=1,由勾股定理得

出DM=JA￡/+AA/，=J萬，即可得出結(jié)果；

應(yīng)用：S正方形ABCD=9,由陰影部分的面枳與正方形4BCD的面積之比為2：3,得出陰影部分的面枳為6,

3

艱形

空白部分的面積為3,由SAS證得財4函8CF,得出團(tuán)4￡4=團(tuán)4戶C,S^ABG=SCEGF,WOSAABG=-,

13

團(tuán);超。+團(tuán)8￡4=90。，則勖GE=90。，（?L4GB=90o,設(shè)AG=a,BG=b,則5。/?=；,2ab=6,由勾股定理得出

a2^b2=AB2=32,a2+2ab+扶=15,即（〃+/?尸=15,得出“+〃=Ji5,即可得出結(jié)果.

【詳解】

證明：團(tuán)四邊形A0CO是正方形,

圖①

^AD=AB,NDAE=ZABF=9()。,

回AF1QE，0ZDAF+ZBAF=9O°,ZDAF+ZADE=90°,

0/4DE=N84產(chǎn)，

ZADE=^BAF