經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課件：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1《高等數(shù)學(xué)》

微分中值定理

與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3本章主要內(nèi)容§3.1微分中值定理§3.2羅比達(dá)法則§3.3泰勒公式§3.4函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值§3.5曲線的凹凸性、拐點及函數(shù)作圖4學(xué)習(xí)目標(biāo)1、熟悉微分中值定理2、熟練掌握羅必達(dá)法則，并能夠解決相應(yīng)的問題3、了解函數(shù)單調(diào)性的判別方法4、了解函數(shù)的極值、最值、凹凸點、拐點5、了解函數(shù)圖象的描繪5中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理推廣泰勒公式

(第三節(jié))應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題、微分中值定理

與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用6§3．1微分中值定理一、羅爾(Rolle)定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)f(a)=f(b)在(a,b

)內(nèi)至少存在一點使證:故在[a,b]上取得最大值M

和最小值m7若M=m,則因此若M>

m,則M和m

中至少有一個與端點值不等,不妨設(shè)則至少存在一點使

又因8注意:2)定理條件條件不全具備,結(jié)論不一定成立1)幾何意義：兩端點等高的連續(xù)可導(dǎo)曲線，至少存在一條水平切線例1.證明方程有且僅有一個小于1的正實根。.證:1)存在性.設(shè)則在[0,1]連續(xù)由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.若另有在以為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件,之間至少存在一點但矛盾,故假設(shè)不真!10二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點使證:問題轉(zhuǎn)化為證作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),11且由羅爾定理知至少存在一點即定理結(jié)論成立.拉格朗日中值定理的有限增量形式:令則12推論:

若函數(shù)在區(qū)間I

上滿足則在

I上必為常數(shù).證:在

I上任取兩點上用拉格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I上為常數(shù).例2.證明等式證:

設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得故所證等式在定義域上成立.自證:時例3.證明不等式證:

設(shè)拉格朗日中值定理條件,即因為故因此應(yīng)有三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使?jié)M足:問題轉(zhuǎn)化為證柯西構(gòu)造輔助函數(shù)證:

作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結(jié)論.柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率例4.設(shè)至少存在一點使證:

問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)則在[0,1]上滿足柯西中值定理條件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點

,使即證明內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應(yīng)用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論費馬引理關(guān)鍵:利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件,則中值2)設(shè)有個根,它們分別在區(qū)間上.方程費馬(1601–1665)費馬法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛好數(shù)論,他提出的費馬大定理:歷經(jīng)358年,直到1993年才由美國普林斯頓大學(xué)的安德魯.懷爾斯教授經(jīng)過十年的潛心研究才得到解決.引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來的.拉格朗日(1736–1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都可直接或間接地追溯到他的工作,他是對分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,廣泛而深遠(yuǎn).對數(shù)學(xué)的影響他是經(jīng)典分析的奠基人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析數(shù)學(xué)的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,三、其他未定式二、型未定式一、

型未定式第二節(jié)洛必達(dá)法則

微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限

轉(zhuǎn)化(或型)本節(jié)研究:洛必達(dá)法則洛必達(dá)定義例如,一、存在(或為)定理1.型未定式(洛必達(dá)法則)

推論1.定理1中換為下列過程之一:推論2.

理1的條件,則

條件2)作相應(yīng)的修改,定理1仍然成立.洛必達(dá)法則定理1例1.求解:原式注意:不是未定式不能用洛必達(dá)法則!洛洛例2.求解:原式洛練習(xí)1.2.3.

在利用洛必達(dá)法則求極限時1.我們還可以結(jié)合連續(xù)函數(shù)求極限代入法以及等量無窮小代換，這樣可以大大簡化求極限。2.在分子或分母出現(xiàn)分式的時候，我們先將其化簡，分子分母中都變成沒有分式，這樣可以簡化運算。二、型未定式存在(或為∞)定理2.(洛必達(dá)法則)時,結(jié)論仍然成(證明略)說明:

定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.定理2例3.求解:原式例4.

求解:

(1)為正整數(shù)n的情形.原式洛洛洛例4.求(2)

不為正整數(shù)的情形.從而由(1)用夾逼準(zhǔn)則存在正整數(shù)

k,使當(dāng)x>1時,注意例如,事實上用洛必達(dá)法則1、

在滿足定理條件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決計算問題.2、

例如,極限不存在不能用洛必達(dá)法則!即注意練習(xí)解:原式5.練習(xí)6.求原式

解:注意到：～三、其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例7.求解:原式洛練習(xí)解:原式解法二:原式8、解:原式例9.求通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化洛練習(xí)解:原式例7.

求解:

例5通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化練習(xí)解:又原式例8.求解:

注意到原式洛內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則思考與練習(xí)1.設(shè)是未定式極限,如果是否的極限也不存在?舉例說明.極限不存在,說明3)原式分析:作業(yè)P1041(偶數(shù)號)預(yù)習(xí)第四節(jié)第三節(jié)洛必達(dá)(1661–1704)法國數(shù)學(xué)家,他著有《無窮小分析》(1696),并在該書中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為“洛必線難題,以后又解出了伯努利提出的“最速降線”問題,在他去世后的1720年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書.達(dá)法則”.他在15歲時就解決了帕斯卡提出的擺52

ooabab從導(dǎo)數(shù)的幾何意義考察函數(shù)的單調(diào)性：§3.3函數(shù)單調(diào)性、極值、最值一、函數(shù)的單調(diào)性(1)若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增證:

無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),(2)若則在I

內(nèi)單調(diào)遞減54（1）該定理反映導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)增減的關(guān)系（2)該判定定理只是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增（減少）的充分而非必要條件。因為在區(qū)間(a,b)內(nèi)的個別點處可能有，但并不影響函數(shù)的單調(diào)性。駐點：的點。尖點：不存在的點。55例1判定函數(shù)的單調(diào)性。

解函數(shù)的定義域為令，解得駐點除這些孤立的駐點外，因此，函數(shù)

在單調(diào)增加。例2.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為

說明:

例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.58二、函數(shù)的極值由于函數(shù)在不同的區(qū)間的單調(diào)性不同，因而在圖像上會出現(xiàn)“峰”與“谷”，使函數(shù)值在局部范圍內(nèi)出現(xiàn)“最大”、“最小”，稱之為函數(shù)的極大值、極小值。峰峰谷谷定義

設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任何異于x0的x都有

(1)成立，則稱為f(x)的極大值，稱為f(x)的極大值點；(2)成立，則稱為f(x)的極小值，稱為f(x)的極小值點.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.說明函數(shù)極值是一個局部概念，對于定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，極值往往有多個，極大值可能小于極小值。極小值極大值定理3.8(極值的必要條件)（費馬定理）

設(shè)f(x)在點x0處可導(dǎo)，且x0為f(x)的極值點，則.1、可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是它的駐點.但函數(shù)的駐點并不一定是函數(shù)的極值點.

例如為其駐點，但是x=0不是的極值點.2、有些函數(shù)的不可導(dǎo)的點也可能是其極值點如在x=0取得極小值，但在x=0處不可導(dǎo)定理3.9(判定極值的第一充分條件)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0連續(xù)，且在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)(點x0可除外).如果在該鄰域內(nèi)(3)

在x0的兩側(cè)保持相同符號，則x0不是f(x)的極值點.(3)判定駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號，判定xi是否為f(x)的極值點.求定函數(shù)極值一般步驟為：

（4）求極值令，得函數(shù)的兩個駐點：x1=–1，x2=2.

內(nèi)存在，函數(shù)的兩個駐點x1=–1，x2=2把分成

三個子區(qū)間.例3所給函數(shù)的定義域為.解x–1(–1,2)2+0–0+y極大值極小值–10例4所給的函數(shù)定義域為.解x–1(–1,0)0(0,1)1–0+不存在–0+y極小值極大值０極小值定理3.10(判定極值的第二充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且則證明在情形(1)

由于f

(x0)0

按二階導(dǎo)數(shù)的定義有

證明(1)

由于

二階導(dǎo)數(shù)的定義有由函數(shù)極限的局部保號性

在x0的某一去心鄰域內(nèi)有從而在該鄰域內(nèi)

當(dāng)x

x0時

f

(x)

0

f

(x0)

0

f

(x0)

0當(dāng)x

x0時

f

(x)

0

根據(jù)第一充分條件

f(x)在點x0處取得極大值

例5所給的函數(shù)定義域為.解極小值點：極大值點：極小值點：三、函數(shù)的最大值與最小值

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中

常會遇到這樣一類問題

在一定條件下

怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題

這類問題在數(shù)學(xué)上有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題

70極值與最值的關(guān)系

設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

則函數(shù)的最大、小值一定存在

函數(shù)的最大、小值有可能在區(qū)間的端點取得

如果最大值不在區(qū)間的端點取得

則必在(a

b)內(nèi)取得

此時

最大值一定是極大值

因此

函數(shù)在閉區(qū)間[a

b]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最大者

同理

函數(shù)在閉區(qū)間[a

b]上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最小者

求[a,b]上連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值的步驟：(1)求出f(x)的所有位于(a,b)內(nèi)的駐點(2)求出f(x)在(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)不存在的點(3)比較駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點的y值及f(a)和f(b).其中最大的值即為最大值，最小的值即為最小值，相應(yīng)的點為最大值點和最小值點.例6由于所給函數(shù)為[–1,2]上的連續(xù)函數(shù).解73四、課堂小結(jié)1、函數(shù)單調(diào)性的判別法拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用2、極值：函數(shù)的局部概念，極大值可能小于極小值必要條件第一充分條件第二充分條件3、最值：函數(shù)的整體概念駐點、尖點駐點尖點端點定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱拐點：連續(xù)曲線的凹凸分界點圖形是凸的.§3.5曲線的凹凸性

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3.11(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.機(jī)動目錄