經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課件：二次型_第1頁
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文檔簡介

二次型一、二次型的概念及其矩陣稱為二次型.定義4.4.1只含有平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(法式).例如都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.如果標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)只在1，0，-1三個數(shù)中取，即稱為二次型的規(guī)范型.系數(shù)為實數(shù)的二次型稱為實二次型；系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次型稱為復(fù)二次型.注：若沒有特別說明，本節(jié)中所討論的為實二次型.1.用和號表示對二次型二次型的表示方法2.用矩陣表示記：則二次型可記為：在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型。這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系。對稱矩陣A叫做二次型f的矩陣；f叫做對稱矩陣A的二次型；對稱矩陣A的秩叫做二次型f的秩。解例設(shè)二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。證明即B為對稱矩陣.定理4.4.1注意：稱這樣的矩陣與合同。要使二次型f經(jīng)可逆變換X=CY變成標(biāo)準(zhǔn)型，就是要使定理4.4.2推論4.4.1用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟1.寫出二次型的矩陣解1.寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例1將二次型通過正交變換x=Py

，使其化為標(biāo)準(zhǔn)形。接下來利用例4.3.2的結(jié)果，求出正交矩陣于是有正交變換x=Py，使f化為標(biāo)準(zhǔn)形如果要把二次型f化為規(guī)范形，只需令即得f的規(guī)范形三、慣性定理一個實二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩。下面我們限定所用的變

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