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線性空間本節(jié)內(nèi)容線性空間的定義線性空間的性質(zhì)子空間一.線性空間的定義那么，就稱(chēng)為（實(shí)數(shù)域上的）向量空間（或線性空間）．注1．凡滿(mǎn)足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，稱(chēng)為線性運(yùn)算．2．向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組．3．判別線性空間的方法：一個(gè)集合，對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿(mǎn)足八條性質(zhì)的某一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．例1.實(shí)數(shù)域?qū)τ谕ǔ?shù)的加法與乘法(作為數(shù)乘)運(yùn)算，容易驗(yàn)證構(gòu)成上的線性空間．

例2.實(shí)數(shù)域上的維列向量的全體構(gòu)成的集合記為，于是它對(duì)于向量加法、數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間．

例3.僅含維零向量的集合按照向量的加法和數(shù)與向量的乘法構(gòu)成線性空間.這是只有一個(gè)元素的線性空間.稱(chēng)之為零空間.

練習(xí).

實(shí)數(shù)域上的全體矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作．

例4.閉區(qū)間上的連續(xù)實(shí)函數(shù)的全體，按照函數(shù)的加法和函數(shù)與數(shù)的乘法作為數(shù)乘構(gòu)成實(shí)線性空間，記作.二、線性空間的性質(zhì)定理設(shè)是實(shí)數(shù)域上的線性空間，則

1.中零元素唯一；

2.中任一元素的負(fù)元素惟一；4．如果，則或

.三、子空間定義2設(shè)是一個(gè)線性空間，是的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱(chēng)為的子空間．注意：子空間是線性空間的一部分而其本身又構(gòu)成一個(gè)線性空間.

例5.例6.函數(shù)集合是線性空間的子空間.是的子空間.線性空間的元素統(tǒng)稱(chēng)為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等.

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