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向量組及其線性組合3.2.1、向量組與矩陣定義3.2.1

n個(gè)有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為n維向量.記為：或

n維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用等表示。

n維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示。注意

１.行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量；

２.行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；

３.當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量。

若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組。例如是一個(gè)三維向量組。是一個(gè)四維向量組。向量組與矩陣的關(guān)系向量組稱為矩陣的列向量組。記為：向量組

：這時(shí)，矩陣也可記為：向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組。3.2.2線性組合與線性表示定義3.2.4（1）線性組合就是向量組A的一個(gè)線性組合。例如定義3.2.4（2）給定向量組和另一個(gè)向量，如果存在一組數(shù)，使則稱向量可由向量組線性表示。顯然，零向量可由任何向量組線性表示。定理3.2.1：向量可由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩。例3.2.5設(shè)判斷：能否由向量組線性表示，若能求出線性表達(dá)式解：由于，所以能由線性表示。設(shè)同解方程組為取為自由未知量，得令取任意常數(shù)，因此有練習(xí)1設(shè)證明：可由線性表示，并求表達(dá)式而不可由線性表示。答案：練習(xí)2設(shè)且可由線性表示，求解：因此3.2.3向量組的等價(jià)設(shè)有兩個(gè)向量組和若向量組中的每一個(gè)向量都可由向量組線性表示，則稱向量組能由向量組線性表示。定理3.2.3向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是定義3.2.5若向量組和向量組能夠相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。向量組等價(jià)也有以下三個(gè)性質(zhì)：（1）反身性；（2）對(duì)稱性；（3）傳遞性推論：3.2.1向量組和向量組等價(jià)的充分必要條件是例3.2.6設(shè)證明：與等價(jià)證：顯然，又故所以，和等價(jià)。四、小結(jié)（1）可由線性表示向量方程有解（2）向量組可由向量組

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