備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第十章-§10-2-排列與組合

第十章

計(jì)數(shù)原理§10.2

排列與組合考試要求1.理解排列、組合的概念.2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用排列、組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.排列與組合的概念名稱定義排列一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照____________排成一列組合合成一組一定的順序2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有__________的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)___表示.(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有_________的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)___表示.不同排列不同組合3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)

＝_______________________＝________(n，m∈N*，且m≤n).

＝____________(n，m∈N*，且m≤n).特別地，

＝1性質(zhì)(1)0?。絖_；

＝___.(2)_________n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！2.解決排列、組合問(wèn)題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排.(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.(3)排列、組合混合問(wèn)題要先選后排.(4)相鄰問(wèn)題捆綁處理.(5)不相鄰問(wèn)題插空處理.(6)定序問(wèn)題倍縮法處理.(7)分排問(wèn)題直排處理.(8)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部.(9)構(gòu)造模型.(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.(

)(2)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(

)(3)若組合式

，則x＝m成立.(

)(4)＝n(n－1)(n－2)…(n－m).(

)×√××√2.從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男、女生都有的選法種數(shù)是A.18 B.24 C.30 D.36√3.將4名學(xué)生分別安排到甲、乙、丙三地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)地方至少安排一名學(xué)生參加，則不同的安排方案共有___種.36探究核心題型第二部分例1

(1)中國(guó)國(guó)家滑雪隊(duì)將開(kāi)展自由式滑雪項(xiàng)目中的空中技巧、雪上技巧、障礙追逐和U型場(chǎng)地技巧四個(gè)項(xiàng)目表演，現(xiàn)安排兩名男隊(duì)員和兩名女隊(duì)員組隊(duì)參演，參演選手每人展示其中一個(gè)不同的項(xiàng)目，雪上技巧項(xiàng)目必須由女隊(duì)員展示，則所有不同出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案種數(shù)為A.576 B.288 C.144 D.48√題型一排列問(wèn)題(2)用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成_____個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù).288對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題時(shí)，有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)，一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過(guò)多的問(wèn)題可以采用間接法.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·武漢模擬)源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀(jì)獲得了長(zhǎng)足的發(fā)展.太空中的環(huán)境為某些科學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn).在某次太空旅行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過(guò)5道程序，其中A，B兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有A.18種

B.36種

C.72種

D.108種√(2)8人站成前后兩排，每排4人，其中甲、乙兩人必須在前排，丙在后排，則共有______種排法.5760題型二組合問(wèn)題例2

(1)從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則下列說(shuō)法中正確的有①如果4人全部為男生，那么有30種不同的選法；②如果4人中男生、女生各有2人，那么有30種不同的選法；③如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有28種不同的選法；④如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有140種不同的選法.A.①② B.②③ C.③④ D.①②④√故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)的選法有210－70＝140(種)，故④正確.(2)在某場(chǎng)新聞發(fā)布會(huì)上，主持人要從5名國(guó)內(nèi)記者與4名國(guó)外記者中依次選出3名來(lái)提問(wèn)，要求3人中既有國(guó)內(nèi)記者又有國(guó)外記者，且不能連續(xù)選國(guó)內(nèi)記者，則不同的選法有A.80種

B.180種

C.260種

D.420種√根據(jù)題意，分2種情況討論，①選出的3人中有1名國(guó)外記者、2名國(guó)內(nèi)記者，②選出的3人中有2名國(guó)外記者、1名國(guó)內(nèi)記者，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有80＋180＝260(種)選法.組合問(wèn)題常有以下兩類題型(1)“含有”或“不含有”問(wèn)題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.(2)“至少”或“最多”問(wèn)題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)從4名男生和3名女生中選派4人去參加課外活動(dòng)，要求至少有一名女生參加，則不同的選派種數(shù)為A.12 B.24 C.34 D.60√(2)如圖，從上往下讀(不能跳讀，即念完標(biāo)號(hào)為②的國(guó)字后只能念下一行標(biāo)號(hào)為③或④的榮字，又如標(biāo)號(hào)為⑤的校字只能接在標(biāo)號(hào)為④的榮字后念)，構(gòu)成句子“愛(ài)國(guó)榮校做市西卓越學(xué)生”的不同讀法總數(shù)為_(kāi)____.252排列與組合的綜合問(wèn)題例3

已知有3名男生，4名女生，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.全體站成一排，女生必須站在一起有144種排法B.全體站成一排，男生互不相鄰有1440種排法C.任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有

70種D.全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種排法√題型三命題點(diǎn)1相鄰、相間問(wèn)題例4

有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列(不一定相鄰)，不同的排法共有____種.

命題點(diǎn)2定序問(wèn)題840例5

(1)(2023·岳陽(yáng)模擬)中國(guó)書(shū)法歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，書(shū)法作為一門(mén)藝術(shù)，以文字為載體，不斷地反映著和豐富著華夏民族的自然觀、宇宙觀和人生觀，談到書(shū)法藝術(shù)，就離不開(kāi)漢字，漢字是書(shū)法藝術(shù)的精髓，漢字本身具有豐富的意象和可塑的規(guī)律性，使?jié)h字書(shū)寫(xiě)成為一門(mén)獨(dú)特的藝術(shù)，我國(guó)書(shū)法大體可分為篆、隸、楷、行、草五種書(shū)體，如圖，以“國(guó)”字為例，現(xiàn)有5張分別寫(xiě)有一種書(shū)體的臨摹紙，將其全部分給3名書(shū)法愛(ài)好者，每人至少1張，則不同的分法種數(shù)為A.60 B.90 C.120 D.150命題點(diǎn)3分組、分配問(wèn)題√滿足條件的分法可分為兩類，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的不同分法種數(shù)為150.(2)中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國(guó)空間站要安排6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中每個(gè)艙安排2人.若甲、乙兩人不被安排在同一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有A.20種

B.36種C.72種

D.84種√求解排列、組合應(yīng)用問(wèn)題的常用方法思維升華捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)于不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問(wèn)題對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知A，B，C，D，E五個(gè)人并排站在一起，則下列說(shuō)法不正確的是A.若A，B不相鄰，有72種排法B.若A不站在最左邊，B不站在最右邊，有72種排法C.若A在B右邊，有60種排法D.若A，B兩人站在一起，有48種排法√(2)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A.72 B.120 C.144 D.168√先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品，小品，相聲”、“小品，相聲，小品”和“相聲，小品，小品”.對(duì)于第一種情況，形式為“□小品歌舞小品□相聲□”，有

＝36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法；對(duì)于第二種情況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“□小品□相聲□小品□”，有

＝48(種)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(種)安排方法.(3)將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區(qū)公益活動(dòng)，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有______種.(用數(shù)字作答)1680課時(shí)精練第三部分基礎(chǔ)保分練1234567891011121314√2.將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的安排方法的種數(shù)為A.10 B.20 C.30 D.40√1234567891011121314將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么必然是一個(gè)宿舍2名，而另一個(gè)宿舍3名，共有

＝20(種).3.(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有A.12種

B.24種

C.36種

D.48種√123456789101112131412345678910111213144.由0,1,2,3,4,5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，是5的倍數(shù)的有A.120個(gè)

B.30個(gè)

C.36個(gè)

D.48個(gè)√因?yàn)?的倍數(shù)的特征是個(gè)位數(shù)字為5或0，所以按照個(gè)位數(shù)字分為兩類：當(dāng)個(gè)位數(shù)字為5時(shí)，首位數(shù)字從1,2,3,4中選一個(gè)，十位數(shù)字從0及余下的3個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，所以有4×4＝16(個(gè))；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，前面兩位數(shù)字從1,2,3,4,5中選2個(gè)排列，所以有

＝5×4＝20(個(gè))，所以所求的三位數(shù)共有16＋20＝36(個(gè)).5.將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個(gè)籃球，且標(biāo)號(hào)為1,2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小朋友，則不同的分法種數(shù)為A.15 B.20 C.30 D.42√123456789101112131412345678910111213146.(2023·濟(jì)寧模擬)2022年7月19日，亞奧理事會(huì)宣布將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦第19屆亞運(yùn)會(huì)，為了辦好這屆體育文化盛會(huì)，杭州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)決定進(jìn)行賽前志愿者招募，此舉得到在杭大學(xué)生的積極參與.某高校3位男同學(xué)和2位女同學(xué)通過(guò)篩選加入志愿者服務(wù)，通過(guò)培訓(xùn)，擬安排在游泳、籃球、射擊、體操四個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，這四個(gè)項(xiàng)目都有人參加，要求2位女同學(xué)不安排在一起，且男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅由于專業(yè)需要必須分開(kāi)，則不同的安排方法種數(shù)為A.144 B.150 C.168 D.192√1234567891011121314由題可得，參與志愿者服務(wù)的項(xiàng)目人數(shù)為2,1,1,1，所以按題設(shè)要求不同的安排方法種數(shù)為240－24－24＝192.12345678910111213147.如圖是由6個(gè)正方形拼成的矩形圖案，從圖中的12個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)作為一組.其中可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為A.208 B.204 C.200 D.196√12345678910111213148.現(xiàn)有4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的不同的球和4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi).則下列說(shuō)法中正確的有①恰有1個(gè)盒子不放球，共有72種放法；②每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，且球的編號(hào)和盒子的編號(hào)不同的放法有9種；③有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，另外2個(gè)盒子內(nèi)各放2個(gè)球的放法有36種；④恰有2個(gè)盒子不放球，共有84種放法.A.①②

B.①③C.①②③

D.②③④√1234567891011121314對(duì)于①，恰有1個(gè)盒子不放球，先選1個(gè)空盒子，再選一個(gè)盒子放兩個(gè)球，即共有3×3＝9(種)放法，故②正確；12345678910111213149.(2022·大同模擬)在5G，AI，MR等技術(shù)的支持下，新聞媒體推出諸多創(chuàng)新融媒產(chǎn)品，將5G技術(shù)引入新聞生產(chǎn)，有效擴(kuò)展了新聞的應(yīng)用場(chǎng)景，云采訪、云訪談、云直播等云端對(duì)話成為報(bào)道的新常態(tài).現(xiàn)有4名新聞媒體記者采用云采訪、云訪談、云直播三種方式進(jìn)行報(bào)道，每種方式至少有一名記者采用，則不同的安排方法種數(shù)為_(kāi)___.1234567891011121314361234567891011121314123456789101112131410.某小區(qū)共有3個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行檢測(cè)，有6名志愿者被分配到這3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)參加服務(wù)，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進(jìn)行檢測(cè)工作的傳授，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，則不同的分配方案種數(shù)是_____.2161234567891011121314123456789101112131411.(2023·蘇州模擬)陽(yáng)春三月，草長(zhǎng)鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉.三個(gè)家庭的3位媽媽帶著3名女孩和2名男孩共8人踏春.在沿行一條小溪時(shí)，為了安全起見(jiàn)，他們排隊(duì)前進(jìn)，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女孩相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男孩打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法共有A.144種

B.216種C.288種

D.432種√綜合提升練1234567891011121314123456789101112131412.把座位編號(hào)為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為_(kāi)____(用數(shù)字作答).961234567891011121314先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人2張，且分得的票必須是連號(hào)，相當(dāng)于將1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)用3個(gè)板子隔開(kāi)，分為四部分且不存在三連號(hào).在4個(gè)空位插3個(gè)板子，共有

＝4(種)分法，再對(duì)應(yīng)到4個(gè)人，有＝24(種)分法，則共有4×24＝96(種)分法.123456789101112131413.(2022·濟(jì)南模擬)某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行A，B，C，D，E，F(xiàn)六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B，C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有A.36種

B.44種

C.48種

D.54種√拓展沖刺練1234567891011121314由題意知任務(wù)A，E必須相鄰，且只能安排為AE，由此分三類完成：(1)當(dāng)AE排第一、二位置時(shí)，用○表示其他任務(wù)，則順序?yàn)锳E○○○○，余下四項(xiàng)任務(wù)，先全排D，F(xiàn)兩項(xiàng)任務(wù)，然后將任務(wù)B，C插入D，F(xiàn)兩項(xiàng)任務(wù)形成的三個(gè)空隙中，有

種