專題2-2-直線的方程(一)：直線方程的幾種形式【八大題型】(舉一反三)(原卷版)

專題2.2直線的方程（一）：直線方程的幾種形式【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直線的點(diǎn)斜式方程及辨析】 2【題型2直線的斜截式方程及辨析】 2【題型3直線的兩點(diǎn)式方程及辨析】 3【題型4直線的截距式方程及辨析】 4【題型5直線的一般式方程及辨析】 5【題型6直線一般式方程與其他形式之間的互化】 6【題型7求直線的方向向量】 7【題型8根據(jù)直線的方向向量求直線方程】 7【知識(shí)點(diǎn)1直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程】1．直線的點(diǎn)斜式方程(1)直線的點(diǎn)斜式方程的定義：

設(shè)直線l經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，斜率為k，則方程叫作直線l的點(diǎn)斜式方程.

(2)點(diǎn)斜式方程的使用方法：

①已知直線的斜率并且經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.②當(dāng)已知直線的傾斜角時(shí)，若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點(diǎn)斜式表示，但因?yàn)閘上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以直線方程為x=x1；若直線的傾斜角，則直線的斜率，直線的方程為.2．直線的斜截式方程(1)直線的斜截式方程的定義：

設(shè)直線l的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為y=kx+b，這個(gè)方程叫作直線l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：

已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.【題型1直線的點(diǎn)斜式方程及辨析】【例1】（2023春·江西九江·高二?？计谥校┻^(guò)兩點(diǎn)0,3,2,1的直線方程為()A．x?y?3=0 B．x+y?3=0C．x+y+3=0 D．x?y+3=0【變式1-1】（2023·上海·高二專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(?5,7)，傾斜角為135°的直線方程為（

）A．x?y+12=0 B．x+y?2=0C．x+y?12=0 D．x?y+2=0【變式1-2】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┙?jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，且斜率為2的直線方程是（

）A．2x?y=0 B．2x+y=0 C．x?2y+1=0 D．x+2y?3=0【變式1-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）方程y=kx?2表示（

A．通過(guò)點(diǎn)2,0的所有直線 B．通過(guò)點(diǎn)2,0且不垂直于y軸的所有直線C．通過(guò)點(diǎn)2,0且不垂直于x軸的所有直線 D．通過(guò)點(diǎn)2,0且除去x軸的所有直線【題型2直線的斜截式方程及辨析】【例2】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線2x+y?3=0用斜截式表示，下列表達(dá)式中，最合理的是（

）A．x32+C．y?3=?2(x?0) D．x=?【變式2-1】（2022秋·高二校考課時(shí)練習(xí)）與直線y=?x+2垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（）.A．y=x+2 B．y=x?2C．y=?x+2 D．y=?x+4【變式2-2】（2022秋·重慶南岸·高二校考期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,3，且傾斜角為π4的直線的斜截式方程為（A．y=x+1 B．y=x?1 C．y=?x?1【變式2-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期中）與直線2x?y?1=0垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是（

）A．y=?B．y=?12C．y=D．y=12【知識(shí)點(diǎn)2直線的兩點(diǎn)式、截距式方程】1．直線的兩點(diǎn)式方程(1)直線的兩點(diǎn)式方程的定義：設(shè)直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)()，則方程叫作直線l的兩點(diǎn)式方程.

(2)兩點(diǎn)式方程的使用方法：

①已知直線上的兩個(gè)點(diǎn)，且時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.

②當(dāng)時(shí)，直線方程為(或).

③當(dāng)時(shí)，直線方程為(或).2．直線的截距式方程(1)直線的截距式方程的定義：設(shè)直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a≠0，b≠0，則方程叫作直線l的截距式方程.

(2)直線的截距式方程的適用范圍：

選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線l在兩條坐標(biāo)軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線，也不能表示與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.

②已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時(shí)，可設(shè)直線方程為y=kx，利用直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)求解k，得到直線方程.【題型3直線的兩點(diǎn)式方程及辨析】【例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l過(guò)點(diǎn)G1,?3，H?2,1，則直線l的方程為（A．4x+y+7=0 B．2x?3y?11=0 C．4x+3y+5=0 D．4x+3y?13=0【變式3-1】（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）過(guò)兩點(diǎn)A3,?5，B?5,5的直線在y軸上的截距為（A．?54 B．54 C．?【變式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知直線l過(guò)點(diǎn)G(1，?3)，H(2，1)，則直線l的方程為（

）A．4x+y+7=0 B．4x?y?7=0C．2x?3y?11=0 D．4x?y+7=0【變式3-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)?2,?2、2,4兩點(diǎn)，點(diǎn)1348,m在直線l上，則m的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【題型4直線的截距式方程及辨析】【例4】（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A5,2，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l有（

A．0 B．1 C．2 D．3【變式4-1】（2023秋·吉林·高二校聯(lián)考期末）過(guò)點(diǎn)(3,?6)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是（

）A．2x+y=0 B．x+y+3=0C．x?y+3=0 D．x+y+3=0或2x+y=0【變式4-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線l過(guò)點(diǎn)A(?2,0),B(0,3)，則直線l的方程為（

）A．3x?2y+6=0 B．2x?3y+6=0 C．3x?2y?6=0 D．3x+2y?6=0【變式4-3】（2023秋·安徽六安·高二?？计谀┮阎本€l過(guò)A?2,1，且在兩坐標(biāo)軸上的截距為相反數(shù)，那么直線l的方程是（

A．x+2y=0或x?yC．x?y?1=0或x+y【知識(shí)點(diǎn)3直線的一般式方程】1．直線的一般式方程(1)直線的一般式方程的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時(shí)為0)叫作直線的一般式方程.

對(duì)于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)：當(dāng)B≠0時(shí)，方程Ax+By+C=0可以寫成y=x，它表示斜率為，在y軸上的截距為的直線.特別地，當(dāng)A=0時(shí)，它表示垂直于y軸的直線.

當(dāng)B=0時(shí)，A≠0，方程Ax+By+C=0可以寫成x=，它表示垂直于x軸的直線.

(2)一般式方程的使用方法：

直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達(dá)式，它適用于任何一條直線.2．辨析直線方程的五種形式方程形式直線方程局限性選擇條件點(diǎn)斜式不能表示與x軸垂直的直線①已知斜率；②已知

一點(diǎn)斜截式y(tǒng)=kx+b不能表示與x軸垂直的直線①已知在y軸上的截距；②已知斜率兩點(diǎn)式不能表示與x軸、

y軸垂直的直線①已知兩個(gè)定點(diǎn)；②已知兩個(gè)截距截距式不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過(guò)原點(diǎn)的直線①已知兩個(gè)截距；②已知直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積一般式Ax+By+C=0

(A,B不全為0)表示所有的直線求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程【題型5直線的一般式方程及辨析】【例5】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,?1)，且傾斜角為60°的直線的一般式方程為（

）A．3x?y?1=0 B．3x?y+1=0 C．x?3【變式5-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，直線x?2y+3=0經(jīng)過(guò)（

）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限C．一、三、四象限 D．二、三、四象限【變式5-2】（2023秋·北京西城·高二?？计谀┮阎本€l過(guò)點(diǎn)A(?3,1)，且與直線x?2y+3=0垂直，則直線l的一般式方程為（

）A．2x+y+3=0 B．2x+y+5=0 C．2x+y?1=0 D．2x+y?2=0【變式5-3】（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）直線Ax+By+C=0（A,B不同時(shí)為0），則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．無(wú)論A,B取任何值，直線都存在斜率 B．當(dāng)A=0，且B≠0時(shí)，直線只與x軸相交C．當(dāng)A≠0，或B≠0時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交 D．當(dāng)A≠0，且B=0，且C=0時(shí)，直線是y軸所在直線【題型6直線一般式方程與其他形式之間的互化】【例6】（2023秋·河南商丘·高二?？计谀┙?jīng)過(guò)點(diǎn)(0,?1)且斜率為?23的直線方程為（A．2x+3y+3=0 B．2x+3y?3=0 C．2x+3y+2=0 D．3x?2y?2=0【變式6-1】（2023秋·江蘇鹽城·高二?？计谀┤绻鸄B<0，BC<0，那么直線Ax+By+C=0不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式6-2】（2023秋·四川雅安·高二統(tǒng)考期末）若直線x+ay?1=0的傾斜角為3π4，則實(shí)數(shù)a的值為（A．1 B．?1 C．2 D．?2【變式6-3】（2023秋·甘肅蘭州·高二?？计谀┮阎本€l過(guò)點(diǎn)(2,4)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為（

）A．x+2y?10=0 B．x+2y+10=0C．2x?y=0或x+2y?4=0 D．2x?y=0或x【知識(shí)點(diǎn)4方向向量與直線的參數(shù)方程】1．方向向量與直線的參數(shù)方程除了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯(lián)系，它由一個(gè)定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的.如圖1，設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，=(m,n)是它的一個(gè)方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點(diǎn)，則向量與共線.根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一的實(shí)數(shù)t，使=t，即()=t(m,n)，所以

①.

在①中，實(shí)數(shù)t是對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).

由上可知，對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P(x,y)，存在唯一實(shí)數(shù)t使①成立；反之，對(duì)于參數(shù)t的每一個(gè)確定的值，由①可以確定直線l上的一個(gè)點(diǎn)P(x,y).我們把①稱為直線的參數(shù)方程.【題型7求直線的方向向量】【例7】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）直線x?2y+1=0的一個(gè)方向向量是（

）A．2,1 B．1,2 C．2,?1 D．1,?2【變式7-1】（2023秋·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）直線2mx+my?3=0的一個(gè)方向向量是（

）A．1,2 B．2,?1 C．2,1 D．1,?2【變式7-2】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）已知經(jīng)過(guò)A0,2，B1,0兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為1,k，那么k=（A．?2 B．?1 C．?12【變式7-3】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l:mx+2y+6=0，且向量1?m,1是直線l的一個(gè)方向向量，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．?1 B．1 C．2 D．?1或2【題型8根據(jù)直線的方向向量求直線方程】【例8】（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知直線l的一個(gè)方向向量為2,?1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,0，則直線l的方程為（

A．x?y?1=0 B．x+y?1=0C．x?2y?1=0 D．x+2y?1=0【變式8-1】（2022秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期中）直線l的方向向量為2,3，直線m過(guò)點(diǎn)1,1且與l垂直，則直線m的方程為（

）A．2x+3y?5=0 B．2x?3y+1=0C．3x+2y?5=0 D．3x?2y?1=0【變式8