2023屆北京市文江中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，，.則這個數(shù)列的前7項和等于（）A．12 B．21 C．24 D．364．i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．155．拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線與雙曲線C:x28A．8 B．6 C．4 D．26．若的展開式中的系數(shù)之和為，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．17．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．8．如圖所示的程序框圖，當(dāng)其運行結(jié)果為31時，則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若方程恰有兩個不同實根，則正數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．10．已知集合，，則（）A． B．C．或 D．11．已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，若不等式有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．12．已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，．若，則_________．14．在中，，點是邊的中點，則__________，________.15．下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧，兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù)，人數(shù)如下表所示：不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取個人做進(jìn)一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人，則的值為______.16．記實數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知實數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長，若，則的取值范圍是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，（Ⅰ）求的大?。唬á颍┤?，求面積的最大值．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin.（1）求曲線C的普通方程；（2）求曲線l和曲線C的公共點的極坐標(biāo).19．（12分）已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點.（1）若a，且a≠0，證明：函數(shù)有局部對稱點；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)c的取值范圍；（3）若函數(shù)在R上有局部對稱點，求實數(shù)m的取值范圍.20．（12分）已知拋物線，直線與交于，兩點，且.（1）求的值；（2）如圖，過原點的直線與拋物線交于點，與直線交于點，過點作軸的垂線交拋物線于點，證明：直線過定點.21．（12分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質(zhì)數(shù)）的焦點為F，過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點E，拋物線C在點A，B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點G的軌跡方程；（2）當(dāng)點G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時，S是否為整數(shù)？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線C交于點A（不同于極點O），與直線l交于點B，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由題可知，設(shè)函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)，，因為，所以，或，因為時，，或時，，，其圖象如下：當(dāng)時，至多一個整數(shù)根；當(dāng)時，在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需，，所以.故選：C.【點睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.2、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時單調(diào)遞減，對選項逐一驗證即可得到正確答案.【詳解】因為，所以，所以是減函數(shù)，又因為，所以，，所以，，所以A,B兩項均錯；又，所以，所以C錯；對于D，，所以，故選D.【點睛】這個題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對函數(shù)的單調(diào)性比較大小，兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系，有時可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值，進(jìn)而得到大小關(guān)系.3、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，，所以，即，又，所以，，故故選：B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，性質(zhì)，等差數(shù)列的和，屬于中檔題.4、B【解析】，∴，選B．5、A【解析】

求得拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程，解得兩交點，由三角形的面積公式，計算即可得到所求值．【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線為x=-a4，雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法，注意運用拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

由，進(jìn)而分別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù)，令二者之和等于，可求出實數(shù)的值.【詳解】由，則展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，二者的系數(shù)之和為，得.故選：B.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合，由補集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】，，，.故選：.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算問題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)程序框圖的運行，循環(huán)算出當(dāng)時，結(jié)束運行，總結(jié)分析即可得出答案.【詳解】由題可知，程序框圖的運行結(jié)果為31，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.此時輸出.故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，已知輸出結(jié)果求條件框，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

當(dāng)時，函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個不同實根，即函數(shù)和有圖像兩個交點，計算，，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時，，故函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：方程，即，即函數(shù)和有兩個交點.，，故，，，，.根據(jù)圖像知：.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.10、D【解析】

首先求出集合，再根據(jù)補集的定義計算可得；【詳解】解：∵，解得∴，∴.故選：D【點睛】本題考查補集的概念及運算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

先求導(dǎo)得（），由于函數(shù)有兩個不同的極值點，，轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正實數(shù)根，根據(jù)，，，求出的取值范圍，而有解，通過分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù)，通過利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得：（），因為函數(shù)有兩個不同的極值點，，所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根，于是有解得.若不等式有解，所以因為.設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來求參數(shù)取值范圍，以及運用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法，還考查分析和計算能力，有一定的難度.12、B【解析】

由題意建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點坐標(biāo)后，利用即可得解.【詳解】平面，底面是邊長為2的正方形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意：，，，，，為的中點，.，，，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.【點睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：首先設(shè)出相應(yīng)的直角邊長，利用余弦勾股定理得到相應(yīng)的斜邊長，之后應(yīng)用余弦定理得到直角邊長之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正切函數(shù)的定義，對邊比臨邊，求得對應(yīng)角的正切值，即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，設(shè)，則，根據(jù)，得，由勾股定理可得，根據(jù)余弦定理可得，化簡整理得，即，解得，所以，故答案是.點睛：該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，在解題的過程中，注意分析要求對應(yīng)角的正切值，需要求誰，而題中所給的條件與對應(yīng)的結(jié)果之間有什么樣的連線，設(shè)出直角邊長，利用所給的角的余弦值，利用余弦定理得到相應(yīng)的等量關(guān)系，求得最后的結(jié)果.14、2【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出，利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中，，，可得因為點是邊的中點，所以故答案為：；.【點睛】本題主要考查了三角形的解法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.15、32【解析】

由已知可得抽取的比例，計算出所有被調(diào)查的人數(shù)，再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知，抽取的比例為，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為：32【點睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】試題分析：顯然，又，①當(dāng)時，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是（1，1）和，從而②當(dāng)時，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是（1，1）和，從而綜上所述，的取值范圍是．考點：不等式、簡單線性規(guī)劃.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及誘導(dǎo)公式與和角公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，求得角C；(2)運用向量的平方就是向量模的平方，以及向量數(shù)量積的定義，結(jié)合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面積公式計算即可得到所求的值.詳解：（1）∵，，（Ⅱ）取中點，則，在中，，（注：也可將兩邊平方）即，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．此時，其最大值為.點睛：該題考查的是有關(guān)三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理，誘導(dǎo)公式，和角公式，向量的平方即為向量模的平方，基本不等式，三角形的面積公式，在解題的過程中，需要正確使用相關(guān)的公式進(jìn)行運算即可求得結(jié)果.18、（1）（2）(2，)．【解析】

（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式求解.（2）先把兩個方程均化為普通方程，求解公共點的直角坐標(biāo)，然后化為極坐標(biāo)即可.【詳解】（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為，∴，則,即.（2），∴，聯(lián)立可得，（舍）或，公共點(，3)，化為極坐標(biāo)(2，)．【點睛】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化及交點的求解，熟記極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式是求解的關(guān)鍵，交點問題一般是統(tǒng)一一種坐標(biāo)形式求解后再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).19、（1）見解析（2）（3）【解析】

（1）若函數(shù)有局部對稱點,則,即有解,即可求證；（2）由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍；（3）由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）證明:由得,代入得,則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對稱點（2）解:由題,因為函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對稱點所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設(shè),則,所以令,則,當(dāng)時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,因為,,所以,所以,所以（3）解:由題,,由于,所以,所以（*）在R上有解,令,則,所以方程（*）變?yōu)樵趨^(qū)間內(nèi)有解,需滿足條件：,即,得【點睛】本題考查函數(shù)的局部對稱點的理解,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題,考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力.20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）聯(lián)立直線和拋物線，消去可得，求出，，再代入弦長公式計算即可.（2）由（1）可得，設(shè)，計算直線的方程為，代入求出，即可求出，再代入拋物線方程，求出，最后計算直線的斜率，求出直線的方程，化簡可得到恒過的定點.【詳解】（1）由，消去可得，設(shè)，，則，.，解得或(舍去)，.（2）證明：由（1）可得，設(shè)，所以直線的方程為，當(dāng)時，，則，代入拋物線方程，可得，，所以直線的斜率，直線的方程為，整理可得，故直線過定點.【點睛】本題第一問考查直線與拋物線相交的弦長問題，需熟記弦長公式.第二問考查直線方程和直線恒過定點問題，需有較強的計算能力，屬于難題.21、（1）（2）當(dāng)G點橫坐標(biāo)為整數(shù)時，S不是整數(shù)．【解析】

（1）先求解導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，聯(lián)立方程得出交點G的軌跡方程；（2）先求解弦長，再分別求解點到直線的距離，表示出四邊形的面積，結(jié)合點G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行判斷.【詳解】（1）設(shè)，則，拋物線C的方程可化為，則，所以曲線C在點A處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩切線均過點G，所以，所以A，B兩點均在直線上，所以