中考數(shù)學(xué)第十四講二次函數(shù)的應(yīng)用課件

第十四講

二次函數(shù)的應(yīng)用考點(diǎn)一應(yīng)用二次函數(shù)解決拋物線型實(shí)際問題【主干必備】應(yīng)用二次函數(shù)解決拋物線型實(shí)際問題的思路1.結(jié)合題意,建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.2.數(shù)形結(jié)合,根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo).3.求出拋物線解析式,應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)或點(diǎn)的坐標(biāo)的意義解決問題.【核心突破】例1(2018·衢州中考)某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池,噴水池的周邊有一圈噴水頭,噴出的水柱為拋物線,在距水池中心3米處達(dá)到最高,高度為5米,且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合.如圖所示,以水平方向為x軸,噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)解析式.(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間,噴水管意外噴水,為了不被淋濕,身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)?(3)經(jīng)檢修評估,游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進(jìn):在噴出水柱的形狀不變的前提下,把水池的直徑擴(kuò)大到32米,各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合,請?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式,代入點(diǎn)(8,0),求出系數(shù)的值,此題得解.(2)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,求出當(dāng)y=1.8時x的值,由此即可得出結(jié)論.(3)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),由拋物線的形狀不變可設(shè)改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)解析式為y=-x2+bx+,代入點(diǎn)(16,0)可求出b值,再利用配方法將二次函數(shù)解析式變形為頂點(diǎn)式,即可得出結(jié)論.15

【自主解答】(1)設(shè)水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)解析式為y=a(x-3)2+5(a≠0),將(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得:25a+5=0,解得:a=-,∴水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)解析式為y=-(x-3)2+5(0<x<8).(2)當(dāng)y=1.8時,有-(x-3)2+5=1.8,解得:x1=-1(舍去),x2=7,∴為了不被淋濕,身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內(nèi).(3)當(dāng)x=0時,y=-(x-3)2+5=.設(shè)改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)解析式為y=-x2+bx+,∵該函數(shù)圖象過點(diǎn)(16,0),∴0=-×162+16b+,解得:b=3,∴改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)解析式為y=-x2+3x+=-(x-)2+.∴擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為米.【明·技法】拋物線型實(shí)際問題解題的關(guān)鍵、技巧及注意問題(1)解題的關(guān)鍵:進(jìn)行二次函數(shù)建模,依據(jù)題意,建立合適的平面直角坐標(biāo)系,并利用拋物線的性質(zhì)解決問題.(2)解題技巧:所建立的坐標(biāo)系能使所設(shè)的解析式形式最簡.(3)注意問題:①題意分析不透,不能建立符合題意的函數(shù)模型或所建立的函數(shù)模型不正確,導(dǎo)致解題錯誤;②忽視了自變量的取值范圍,造成錯解;③由幾何圖形中的線段的長轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)時,忽視了線段所在的象限,造成符號錯誤.【題組過關(guān)】1.(2019·臨沂中考)從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度h(單位:m)與小球運(yùn)動時間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列結(jié)論:①小球在空中經(jīng)過的路程是40m;②小球拋出3秒后,速度越來越快;③小球拋出3秒時速度為0;④小球的高度h=30m時,t=1.5s.其中正確的是 (

)A.①④

B.①②

C.②③④

D.②③D2.(2019·山西中考)北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋(如圖1),它由五個高度不同,跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊橋,拉鎖與主梁相連,最高的鋼拱如圖2所示,此鋼拱(近似看成二次函數(shù)的圖象——拋物線)在同一豎直平面內(nèi),與拱腳所在的水平面相交于A,B兩點(diǎn),拱高為78米(即最高點(diǎn)O到AB的距離為78米),跨徑為90米(即AB=90米),以最高點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則此拋物線型鋼拱的函數(shù)表達(dá)式為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(

)BA.y=x2 B.y=-x2C.y=x2 D.y=-x23.(2019·山東東營區(qū)月考)如圖,隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成,長方形的長是12m,寬是4m.按照圖中所示的直角坐標(biāo)系,拋物線最高點(diǎn)D到墻面OB的水平距離為6m時,隧道最高點(diǎn)D距離地面10m.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.(2)一輛貨運(yùn)汽車載一長方體集裝箱后寬為4m,高為6m,如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道,那么這輛貨車能否安全通過?(3)在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈,使它們離地面的高度相等,如果燈離地面的高度不超過8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米?【解析】(1)根據(jù)題意,該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(6,10),設(shè)拋物線解析式為y=a(x-6)2+10,將點(diǎn)B(0,4)代入,得:36a+10=4,解得:a=-,故該拋物線解析式為y=-(x-6)2+10.(2)由題意得貨運(yùn)汽車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為(2,0)或(10,0),當(dāng)x=2或x=10時,y=>6,所以這輛貨車能安全通過.(3)令y=8,則-(x-6)2+10=8,解得x1=6+2,x2=6-2,則x1-x2=4,所以兩排燈的水平距離最小是4m.考點(diǎn)二利潤最大化問題【主干必備】應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)解決最優(yōu)化問題思路1.分析題中數(shù)量關(guān)系,確定變量.2.根據(jù)等量關(guān)系,構(gòu)建二次函數(shù)模型.3.根據(jù)函數(shù)性質(zhì),確定最值.【核心突破】例2(2019·成都中考)隨著5G技術(shù)的發(fā)展,人們對各類5G產(chǎn)品的使用充滿期待,某公司計劃在某地區(qū)銷售一款5G產(chǎn)品,根據(jù)市場分析,該產(chǎn)品的銷售價格將隨銷售周期的變化而變化.設(shè)該產(chǎn)品在第x(x為正整數(shù))個銷售周期每臺的銷售價格為y元,y與x之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.(1)求y與x之間的關(guān)系式.(2)設(shè)該產(chǎn)品在第x個銷售周期的銷售數(shù)量為p(萬臺),p與x的關(guān)系可以用p=x+來描述.根據(jù)以上信息,試問:哪個銷售周期的銷售收入最大?此時該產(chǎn)品每臺的銷售價格是多少元?【自主解答】(1)設(shè)函數(shù)的關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),由圖象可得,解得∴y與x之間的關(guān)系式為y=-500x+7500.(2)設(shè)銷售收入為w萬元,根據(jù)題意得,w=yp=(-500x+7500),即w=-250(x-7)2+16000,∴當(dāng)x=7時,w有最大值為16000,此時y=-500×7+7500=4000(元).答:第7個銷售周期的銷售收入最大,此時該產(chǎn)品每臺的銷售價格是4000元.【明·技法】二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用步驟①讀懂題意,借助銷售問題中的利潤等公式尋找等量關(guān)系;②確定函數(shù)解析式;③確定二次函數(shù)的最值,解決實(shí)際問題.【易錯提示】在求二次函數(shù)最值時,要注意實(shí)際問題中自變量的取值的限制對最值的影響.【題組過關(guān)】1.(2019·內(nèi)蒙古呼和浩特期中)某商品的銷售利潤與銷售單價存在二次函數(shù)關(guān)系,且二次項系數(shù)a=-1,當(dāng)商品單價為160元和200元時,能獲得同樣多的利潤,要使銷售商品利潤最大,銷售單價應(yīng)定為__________元.

1802.(2019·黑龍江哈爾濱道外區(qū)期末)某商場經(jīng)調(diào)研得出某種商品每天的利潤y(元)與銷售單價x(元)之間滿足關(guān)系:y=ax2+bx-75,其圖象如圖所示.(1)求a與b的值.(2)銷售單價為多少元時,該種商品每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?(參考公式:當(dāng)x=-時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)有最小(大)值)(3)銷售單價定在多少時,該種商品每天的銷售利潤為21元?結(jié)合圖象,直接寫出銷售單價定在什么范圍時,該種商品每天的銷售利潤不低于21元?【解析】(1)y=ax2+bx-75圖象過點(diǎn)(5,0),(7,16),∴

解得:(2)∵y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,∴當(dāng)x=10時,y最大=25.答:銷售單價為10元時,該種商品每天的銷售利潤最大,最大利潤為25元.(3)根據(jù)題意,當(dāng)y=21時,得:-x2+20x-75=21,解得:x1=8,x2=12,∴x=8或x=12,即銷售單價定在8元或12元時,該種商品每天的銷售利潤為21元;故銷售單價在8≤x≤12時,銷售利潤不低于21元.3.(2019·南通二模)A廠一月份產(chǎn)值為16萬元,因管理不善,二、三月份產(chǎn)值的月平均下降率為x(0<x<1).B廠一月份產(chǎn)值為12萬元,二月份產(chǎn)值下降率為x,經(jīng)過技術(shù)革新,三月份產(chǎn)值增長,增長率為2x.三月份A,B兩廠產(chǎn)值分別為yA,yB(單位:萬元). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)分別寫出yA,yB與x的函數(shù)表達(dá)式.(2)當(dāng)yA=yB時,求x的值.(3)當(dāng)x為何值時,三月份A,B兩廠產(chǎn)值的差距最大?最大值是多少萬元?【解析】(1)根據(jù)題意可得:yA=16(1-x)2,yB=12(1-x)(1+2x).(2)由題意得16(1-x)2=12(1-x)(1+2x),解得:x1=,x2=1.∵0<x<1,∴x=.(3)當(dāng)0<x<時,yA>yB,yA-yB=16(1-x)2-12(1-x)(1+2x)=40∵x<時,yA-yB的值隨x的增大而減小,且0<x<,∴當(dāng)x=0時,yA-yB取得最大值,最大值為4;當(dāng)<x<1時,yB>yA,yB-yA=12(1-x)(1+2x)-16(1-x)2=4(1-x)(10x-1)=-40∵-40<0,<x<1,∴當(dāng)x=時,yB-yA取最大值,最大值為8.1.∵8.1>4,∴當(dāng)x=時,三月份A,B兩廠產(chǎn)值的差距最大,最大值是8.1萬元.考點(diǎn)三面積最大化問題【核心突破】例3(2018·福建中考)如圖,在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄.(1)若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長.(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)AB=xm,則BC=(100-2x)m,利用矩形的面積公式得到x(100-2x)=450,解方程得x1=5,x2=45,然后計算100-2x后與20進(jìn)行大小比較即可得到AD的長.(2)設(shè)AD=ym,利用矩形面積得到S=y(100-y),然后配方,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得S的最大值.【自主解答】(1)設(shè)AB=xm,則BC=(100-2x)m,根據(jù)題意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45,當(dāng)x=5時,100-2x=90>20,不合題意舍去;當(dāng)x=45時,100-2x=10,∴AD的長為10m.(2)設(shè)AD=ym,∴S=y(100-y)=-(y-50)2+1250,當(dāng)a≥50時,則y=50時,S的最大值為1250;當(dāng)0<a<50時,則當(dāng)0<y≤a時,S隨y的增大而增大,當(dāng)y=a時,S的最大值為50a-a2,綜上所述,當(dāng)a≥50時,S的最大值為1250;當(dāng)0<a<50時,S的最大值為50a-a2.【明·技法】二次函數(shù)在面積問題中的應(yīng)用步驟①根據(jù)幾何知識探求圖形的面積關(guān)系式;②根據(jù)面積關(guān)系式確定函數(shù)解析式;③確定二次函數(shù)的最值,解決問題.【題組過關(guān)】1.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動,同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B停止),在運(yùn)動過程中,四邊形PABQ的面積的最小值為 (

)DA.19cm2

B.16cm2

C.12