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*第九節(jié)一、二元函數(shù)泰勒公式二、極值充分條件的證明機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二元函數(shù)的泰勒公式第八章1/12/2025多元函數(shù)一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式:推廣多元函數(shù)泰勒公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/12/2025多元函數(shù)記號(設(shè)下面涉及的偏導數(shù)連續(xù)):
一般地,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束
表示表示1/12/2025多元函數(shù)證:令則利用多元復合函數(shù)求導法則可得:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/12/2025多元函數(shù)一般地,由的麥克勞林公式,得將前述導數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/12/2025多元函數(shù)說明:(1)余項估計式.因f的各n+1階偏導數(shù)連續(xù),在某閉鄰域其絕對值必有上界
M,則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/12/2025多元函數(shù)(2)當n=0時,得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:(3)若函數(shù)在區(qū)域D上的兩個一階偏導數(shù)恒為零,由中值公式可知在該區(qū)域上機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/12/2025多元函數(shù)例1.求函數(shù)解:的三階泰勒公式.因此,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/12/2025多元函數(shù)其中機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/12/2025多元函數(shù)時,具有極值二、極值充分條件的證明的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)定理2
(充分條件)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/12/2025多元函數(shù)證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/12/2025多元函數(shù)其中
,
,
是當h→0,k→0時的無窮小量,于是(1)當AC－B2＞0時,必有A≠0,且A與C同號,可見,從而△z＞0,因此機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/12/2025多元函數(shù)從而△z＜0,(2)當AC－B2＜0時,若A,C不全為零,無妨設(shè)A≠0,則時,有異號;同號.可見△z在(x0,y0)鄰近有正有負,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/12/2025多元函數(shù)++－若A＝C
＝0,則必有B≠0,不妨設(shè)B＞0,此時可見△z在(x0,y0)鄰近有正有負,(3)當AC－B2＝0時,若A≠0,則若A＝0,則B＝0,為零或非零機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/12/2025多元函數(shù)此時因此作業(yè)P671,3,4
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