深圳大學附屬實驗中學2023-2024學年高一上學期期末數(shù)學（有答案）

第21頁/共21頁深大實驗2023—2024學年第一學期高一期末考試（數(shù)學）試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要2.函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.3.已知，則（）A. B.C. D.4.已知集合，，則（）A. B.C. D.5.已知，且，則（）A. B. C. D.6.三個數(shù)的大小順序是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)則方程有四個實根的充要條件為（）A. B.C. D.8.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信通帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，帶寬W在原來的基礎上增加20%，信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（）(附：A.23% B.37% C.48% D.55%二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9已知，若，則（）A.的最大值為 B.的最小值為1C.的最小值為8 D.的最小值為10.下列化簡正確的是（）A. B.C. D.11.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）AB.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象12.已知函數(shù)，則（

）A.的定義域為B.當時，C.D.對定義域內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)，，恒成立.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若命題，則命題否定是_________14.已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式___________．15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是______.16.設函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，都有.當時，，則函數(shù)在區(qū)間上有__________個零點.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17化簡求值（1）；（2）.18.已知集合．（1）若，求；（2）若“”是“”必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．19.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式解集為，求實數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式.20.進口博覽會是一個展示各國商品和服務的盛會,也是一個促進全球貿(mào)易和交流的重要平臺.某汽車生產(chǎn)企業(yè)想利用2023年上海進口博覽會這個平臺,計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設備,通過市場分析,全年需投入固定成本3000萬元,每生產(chǎn)(百輛),需投入流動成本(萬元),且其中.由市場調(diào)研知道,每輛車售價25萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.（1）寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(百輛)的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少百輛時,企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.(總利潤總銷售收入-固定成本-流動成本)21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程;（2）解關(guān)于x的不等式;（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，求函數(shù)在上的值域.22.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值，并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在實數(shù)使得不等式能成立，求實數(shù)的取值范圍.深大實驗2023—2024學年第一學期高一期末考試（數(shù)學）試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系進行判斷即可.【詳解】充分性：若，則，故充分性成立；必要性：若，則，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A2.函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合奇函數(shù)的圖象性質(zhì)及特殊函數(shù)值判斷即可.【詳解】解：由，得函數(shù)為奇函數(shù)，排除B項，由，得，則排除C、D兩項.故選：A.3.已知，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可結(jié)合換底公式求解.【詳解】，故選:B.4.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)定義域求法解不等式可求得集合，再利用交集運算法則可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，即，解得或，即或；易知，解得或，即或；可得或，因此.故選：D5.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)及誘導公式即可求解.【詳解】由，，得，則，故.故選：A6.三個數(shù)的大小順序是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由，即可得到結(jié)果.【詳解】由三個數(shù)，可知其大小關(guān)系為.故選：A7.已知函數(shù)則方程有四個實根的充要條件為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意求分段函數(shù)的極值，作出函數(shù)簡圖，進而求解.【詳解】當時，，當且僅當，即時，等號成立；當時，，則的圖象如圖所示，要使方程有四個實根，需滿足.故選：D.8.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信通帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，帶寬W在原來的基礎上增加20%，信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（）(附：A.23% B.37% C.48% D.55%【答案】C【解析】【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計算信噪比為1000和5000時C的比值即可求解.【詳解】解：依題意得，當時，，當時，，∴，∴增長率約為.故選：C二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知，若，則（）A.最大值為 B.的最小值為1C.的最小值為8 D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】AD選項，由基本不等式求出最值；B選項，化為，求出最小值；C選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】對于，由，即，當且僅當，且，即時，取等號，所以A正確；對于，因為，當且僅當時，取到最小值，所以B錯誤；對于C，因為，所以，當且僅當，且，即，時，取等號，所以C正確；對于，當且僅當，且，即時，取等號，所以正確.故選：ACD.10.下列化簡正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、兩角和的正弦公式進行求解即可.【詳解】A：因為，所以本選項不正確；B：因為，所以本選項正確；C：因為所以本選項正確；D：因為，所以本選項正確，故選：BCD11.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象【答案】ABC【解析】【分析】借助圖象周期求出、再由定點結(jié)合范圍求出，得出解析式后結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)可得A、B、C，結(jié)合函數(shù)圖象的平移可得D．【詳解】對于選項A:由題意可得，故，則，，即，解得，又，即，故A正確；對于選項B:即，當時，有，故的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；對于選項C:令，則，當時，，而在單調(diào)遞增，故C正確；對于選項D:將函數(shù)的圖象向由右平移個單位得到，故D錯誤．故選：ABC．12.已知函數(shù)，則（

）A.的定義域為B.當時，C.D.對定義域內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)，，恒成立.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)可判斷選項A；根據(jù)的單調(diào)性，判斷的單調(diào)性可判斷選項B；根據(jù)的奇偶性可判斷選項C；由復合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性可判斷選項D.【詳解】對于A，由，得，即恒成立，故A正確；對于B，令，易知在單調(diào)遞減，且，則在單調(diào)遞減，且，故B錯誤；對于C，令，則，，為上的奇函數(shù)，，，故C正確；對于D，由B選項知，在單調(diào)遞減，且，在單調(diào)遞減，且，為上的奇函數(shù)，在單調(diào)遞減，且，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，對定義域內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)，，恒成立，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若命題，則命題的否定是_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接求解即可.【詳解】由題意，根據(jù)全稱量詞命題的否定的定義有，命題p的否定是：.故答案：.14.已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)滿足求解即可.【詳解】依題意，當時，，故在區(qū)間上的解析式.故答案為：15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用一次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)及分段函數(shù)單調(diào)性解決即可.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，一次函數(shù)是增函數(shù)，得出，即；當時，對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，得出；又因為，解得；取交集得；故答案為：16.設函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，都有.當時，，則函數(shù)在區(qū)間上有__________個零點.【答案】6【解析】【分析】由函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，結(jié)合的條件可得函數(shù)的一個周期為4，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理可得零點個數(shù).【詳解】如圖，因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，且.又，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，所以，所以4是函數(shù)的一個周期，所以.易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在區(qū)間上僅有1個零點，且零點在區(qū)間上.由對稱性，知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個零點.因為是定義域為的奇函數(shù)且是4是它的一個周期，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個零點.因為函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，所以函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.結(jié)合，得函數(shù)在區(qū)間上有6個零點.故答案為：6.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.化簡求值（1）；（2）.【答案】（1）29（2）1【解析】【分析】（1）利用指數(shù)的運算法則計算即可；（2）利用對數(shù)的運算法則計算即可.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式.18.已知集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，進而根據(jù)并集的運算求解，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可推得A，分以及，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，求解即可得出答案.【小問1詳解】解可得，或，所以，或.當時，，所以或.【小問2詳解】由“”是“”的必要不充分條件，所以，.又或，.當，有，即，顯然滿足；當時，有，即.要使A，則有或，解得或.綜上所述，或.19.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式解集為，求實數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，令解出即可；（2）由判別式確定a的范圍，分類再解不等式即可.【小問1詳解】由題意，可得，；【小問2詳解】①當時，即時，原不等式的解集為；②當時，即或時，當時，，原不等式的解集為，當時，，原不等式的解集為；③時，即或時，，解得或，原不等式的解集為.20.進口博覽會是一個展示各國商品和服務的盛會,也是一個促進全球貿(mào)易和交流的重要平臺.某汽車生產(chǎn)企業(yè)想利用2023年上海進口博覽會這個平臺,計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設備,通過市場分析,全年需投入固定成本3000萬元,每生產(chǎn)(百輛),需投入流動成本(萬元),且其中.由市場調(diào)研知道,每輛車售價25萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.（1）寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(百輛)的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少百輛時,企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.(總利潤總銷售收入-固定成本-流動成本)【答案】20.21.當年產(chǎn)量為25百輛時,企業(yè)所獲利潤最大,最大利潤為3250萬元【解析】【分析】(1)根據(jù)總利潤總銷售收入-固定成本-流動成本,代入相關(guān)數(shù)據(jù)運算化簡即可.(2)當時,利用一元二次函數(shù)知識,在對稱軸處取得最值;當時,利用基本不等式知識,通過變形得再求最值即可.然后通過比較得到利潤最大值.【小問1詳解】當時,.當時,.綜上,【小問2詳解】當時,，當時,萬元.當時,,當且僅當時,等號成立.所以當年產(chǎn)量為25百輛時,企業(yè)所獲利潤最大,最大利潤為3250萬元.21已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程;（2）解關(guān)于x的不等式;（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，求函數(shù)在上的值域.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為；對稱軸（2）（3）【解析】【分析】（1）應用兩角和的正弦公式及二倍角公式化簡得，應用整體代入法即可求解單調(diào)區(qū)間與對稱軸；（2）結(jié)合函數(shù)圖像解不等式；（3）應用換元法求值域;【小問1詳解】，函數(shù)的最小正周期.令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.令，解得，所以的對稱軸方程為.【小問2詳解】即，所以，解得.【小問3詳解】由題知，則，令，則，當時，;當時，.綜上可知所求值域為.22.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值，并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存