安徽省蚌埠二中2024屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題

安徽省蚌埠二中2023屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，異面直線SC與OE所成角的正切值為（）A． B． C． D．2．已知實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．3．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．4．函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．5．已知甲盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，乙盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為.則（）A． B．C． D．6．已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．197．已知數(shù)列an滿足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．198．一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是（）A． B． C． D．9．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．10．已知f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a>0，則（）A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)11．高三珠海一模中，經(jīng)抽樣分析，全市理科數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布，且．從中隨機(jī)抽取參加此次考試的學(xué)生500名，估計(jì)理科數(shù)學(xué)成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為（）A．40 B．60 C．80 D．10012．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)，且，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的最小值為2，則_________．14．已知函數(shù)，若方程的解為，（），則_______；_______．15．在的二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)的和為________16．某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生900人，高三年級(jí)有學(xué)生1500人，現(xiàn)按年級(jí)用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究，則應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取_____人．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐的底面是菱形，底面，，分別是的中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（III）在邊上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.18．（12分）已知數(shù)列滿足,，數(shù)列滿足.（Ⅰ）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號(hào)再到公共繳費(fèi)，日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普索合作，調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶，從中隨機(jī)抽取了60名，統(tǒng)計(jì)他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元）如莖葉圖如示，規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下（不含100元）的為“手機(jī)支付族”，其他為“非手機(jī)支付族”.（1）根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機(jī)抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機(jī)支付族”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望和方差；（3）某商場為了推廣手機(jī)支付，特推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可直減100元；方案二：手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可抽獎(jiǎng)2次，每次中獎(jiǎng)的概率同為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打9折，中獎(jiǎng)兩次打8.5折.如果你打算用手機(jī)支付購買某樣價(jià)值1200元的商品，請從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82820．（12分）如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，，為線段上一點(diǎn)，滿足，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形沿折疊（如圖2），使平面平面.（1）求證：平面平面；（2）能否在線段上找到一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．22．（10分）已知函數(shù)（1）若，求證：（2）若，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

可過點(diǎn)S作SF∥OE，交AB于點(diǎn)F，并連接CF，從而可得出∠CSF（或補(bǔ)角）為異面直線SC與OE所成的角，根據(jù)條件即可求出，這樣即可得出tan∠CSF的值.【詳解】如圖，過點(diǎn)S作SF∥OE，交AB于點(diǎn)F，連接CF，則∠CSF（或補(bǔ)角）即為異面直線SC與OE所成的角，∵，∴，又OB＝3，∴，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴，∴等腰△SCF中，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法，直角三角形的邊角的關(guān)系，平行線分線段成比例的定理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

利用不等式性質(zhì)可判斷，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解：對于實(shí)數(shù)，，不成立對于不成立．對于．利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì)，即可得出．對于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì)，因此不成立．故選：．【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．3．C【解析】

函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.4．C【解析】

判斷函數(shù)的性質(zhì)，和特殊值的正負(fù)，以及值域，逐一排除選項(xiàng).【詳解】，函數(shù)是奇函數(shù)，排除，時(shí)，，時(shí)，，排除，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，排除，符合條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題型，一般根據(jù)選項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性，零點(diǎn)，特殊值的正負(fù)，以及單調(diào)性，極值點(diǎn)等排除選項(xiàng).5．A【解析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù)，對應(yīng)的事件有哪些結(jié)果，從而得到對應(yīng)的概率的大小，再者就是對隨機(jī)變量的值要分清，對應(yīng)的概率要算對，利用公式求得其期望.詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個(gè)球，有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球，紅球的個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)三種情況；如果交換的是兩個(gè)球，有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán)，對應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是五種情況，所以分析可以求得，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對應(yīng)的期望的問題，在解題的過程中，需要對其對應(yīng)的事件弄明白，對應(yīng)的概率會(huì)算，以及變量的可取值會(huì)分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果.6．B【解析】

計(jì)算，故，解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，且.故，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.7．B【解析】

由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【詳解】解：an即a1=an?6時(shí)，a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時(shí)，要使得a1則ak+1則k=17，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，從而可簡化與數(shù)列相關(guān)的方程，本題屬于難題.8．D【解析】

設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,進(jìn)而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.9．A【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得和的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得，由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，.由題意知，所以，.因?yàn)?所以,所以.所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.10．A【解析】試題分析：由題意得，F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a)，∵a>0，∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)>F(a)，若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)≥F(a)，若f(a)<g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2f(a)，∴F(-a)=F(a)，綜上可知F(-a)≥F(a)，同理可知F(1+a)≥F(1-a)，故選A.考點(diǎn)：1.函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點(diǎn)睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì)，避免了由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1-a與1+a大小不明確的討論，從而使解題過程得以優(yōu)化，另外，不要忘記定義域，如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題，通常先在原點(diǎn)一側(cè)的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮，然后推廣到整個(gè)定義域上.11．D【解析】

由正態(tài)分布的性質(zhì)，根據(jù)題意，得到，求出概率，再由題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，成績X近似服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布曲線的對稱軸為，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，求得，所以該市某校有500人中，估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績不低于110分的人數(shù)為人，故選:.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的圖象和性質(zhì),考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.12．B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式，通過變形求解出的周期，進(jìn)而算出.【詳解】為上的奇函數(shù)，，而函數(shù)是上的偶函數(shù)，，，故為周期函數(shù)，且周期為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

首先利用絕對值的意義去掉絕對值符號(hào)，之后再結(jié)合后邊的函數(shù)解析式，對照函數(shù)值等于2的時(shí)候?qū)?yīng)的自變量的值，從而得到分段函數(shù)的分界點(diǎn)，從而得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，求得參數(shù)的值.【詳解】根據(jù)題意可知，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)或時(shí)是分界點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的解析式，可以判斷0不可能，所以只能是是分界點(diǎn)，故，解得，故答案是.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)最值的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14．【解析】

求出在上的對稱軸，依據(jù)對稱性可得的值;由可得，依據(jù)可求出的值.【詳解】解：令，解得因?yàn)?，所以關(guān)于對稱.則.由，則由可知，，又因?yàn)?，所以，則，即故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸，考查了誘導(dǎo)公式，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于沒有正確判斷的取值范圍，導(dǎo)致求出.在求的對稱軸時(shí)，常用整體代入法，即令進(jìn)行求解.15．1【解析】

設(shè)，令，的值即為所有項(xiàng)的系數(shù)之和?！驹斀狻吭O(shè)，令，所有項(xiàng)的系數(shù)的和為。【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開式所有項(xiàng)的系數(shù)的和的求法─賦值法。一般地，對于，展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為，注意與“二項(xiàng)式系數(shù)之和”區(qū)分。16．1．【解析】

先求得高三學(xué)生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學(xué)生占的比例為，所以應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面，據(jù)此證明題中的結(jié)論即可；(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量與平面的一個(gè)法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(Ⅲ)假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在，設(shè)，由直線與的方向向量得到關(guān)于的方程，解方程即可確定點(diǎn)F的位置.【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得：，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知：，故，底面，底面，故，且，故平面，平面，(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知，，，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則：，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，而，設(shè)直線與平面所成角為，則.(Ⅲ)由題意可得：，假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在，設(shè)，，據(jù)此可得：，即：,從而點(diǎn)F的坐標(biāo)為，據(jù)此可得：,，結(jié)合題意有：，解得：.故點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)滿足題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，線面角的向量求法，立體幾何中的探索性問題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18．（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合得出數(shù)列是等比數(shù)列（Ⅱ）數(shù)列是“等比-等差”的類型，利用分組求和即可得出前項(xiàng)和.【詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，故.當(dāng)時(shí)，，則，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，.【點(diǎn)睛】（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列可利用定義法得出（Ⅱ）采用分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列．19．（1）列聯(lián)表見解析，99%；（2），；（3）第二種優(yōu)惠方案更劃算.【解析】

（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)得出結(jié)論；（2）有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機(jī)支付族”的概率為，知服從二項(xiàng)分布，即，可求得其期望和方差；（3）若選方案一，則需付款元，若選方案二，設(shè)實(shí)際付款元，，則的取值為1200，1080，1020，求出實(shí)際付款的期望，再比較兩個(gè)方案中的付款的金額的大小，可得出選擇的方案.【詳解】（1）由已知得出聯(lián)列表：，所以，有99%的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)；（2）有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機(jī)支付族”的概率為，，；（3）若選方案一，則需付款元若選方案二，設(shè)實(shí)際付款元，，則的取值為1200，1080，1020，，，，選擇第二種優(yōu)惠方案更劃算【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，二項(xiàng)分布的期望和方差，以及由期望值確定決策方案，屬于中檔題.20．（1）證明見解析；（2）存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.【解析】

（1）在直角梯形中，根據(jù)，，得為等邊三角形，再由余弦定理求得，滿足，得到，再根據(jù)平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系：假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為，且，，求得平面的一個(gè)法向量，再利用線面角公式求解.【詳解】（1）證明：在直角梯形中，，，因此為等邊三角形，從而，又，由余弦定理得：，∴，即，且折疊后與位置關(guān)系不變，又∵平面平面，且平面平面.∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，從而，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，則，假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為，且，，∵，∴，故，∴，又，該平面的法向量為，，令得，∴，解得或（舍），綜上可知，存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理和向量法研究線面角問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21．（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【解析】試題分析：（1）由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個(gè)復(fù)合角的三角函數(shù)式，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計(jì)算公式，即可求得函數(shù)的最小正周期