2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬卷（遼寧北師大版全冊(cè)）全解全析

2023-2024學(xué)年八年級(jí)期末模擬卷01

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.下列各式：—+1,少，中，,中，是分式的共有（）.

3兀a-bn

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】本題主要考查分式的定義，在解答此題時(shí)要注意分式是形式定義，只要是分母中含有未知數(shù)的式

子即為分式.判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是

分式，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：各式中是分式的有空共2個(gè)，

a-bn

故選：B.

2.篆書起源于西周末年，距今已有三千年歷史，是傳世最早的可識(shí)文字，下列用篆書描繪的體育圖標(biāo)中,

是中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的定義，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能

夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心，掌握中心對(duì)稱圖形的

定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由中心對(duì)稱圖形的定義可知，只有C選項(xiàng)是中心對(duì)稱圖形.

故選：c.

3.下列各式由左到右的變形中，屬于因式分解的是（）

A.lOx?-5x=5無(wú)（2x-l）B.a^m+ri）=am+an

C.（a+b）2=a2+2ab+b2D.x?-16+6x=（x+4）（x-4）+6x

【答案】A

【分析】本題考查因式分解的概念，根據(jù)因式分解的定義（把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種

變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式）逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、10f_5尤=5x（2無(wú)一1）屬于因式分解，符合題意；

B、。（加+”）=刖+加屬于整式的乘法運(yùn)算，不符合題意；

C、（4+6）2=/+2必+。2屬于整式的乘法運(yùn)算，不符合題意；

D、X2-16+6X=%2+6X+9-25=（^+3）2-52=（^+8）（^-2）,D項(xiàng)分解錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：A.

4.如圖，ZG4B=25°,CA,CB是等腰，ABC的兩腰，將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到VADE.當(dāng)

點(diǎn)B恰好在DE的延長(zhǎng)線時(shí)，則NE45的度數(shù)為（）

A.155°B.130°C.105°D.75°

【答案】C

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，屬于?？碱}型，熟

練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=NBAC=NEAD=25。,ZADE=ZABC=25°,

由等腰三角形的性質(zhì)可得ZM>3=NAB￡>=25。，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出/ZMC的度數(shù)，再根

據(jù)角的和差計(jì)算即可.

【詳解】解：=

ZCAB=ZCBA=25°,

?..將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到△血>,

/.AD^AB,ZBAC=NEAD=25°,ZADE=ZABC=2.5°,

ZADB=ZABD=25°,

：.ZDAB=180°-2x25°=130°,

ZEAB=ZDAB-ZDAE=130°-25°=105°,

故選：C.

5.下列不等式的變形正確的是（）

A.若a>b,貝!Jc+“<c+/?B.若a<b,且crO,貝！Jac<6c

C.若。>b,貝!D.若ac2Vbe2,貝!Ja<8

【答案】D

【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一

個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等

號(hào)的方向不變，不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：A、若a>b,貝h+a>c+5,故原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、若a<b,且c>0,則ac<6c,故原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、若a>b,當(dāng)cwO時(shí)，貝卜。2>歷2,故原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、若pc?〈歷2,由題分析得,2>0,不等式兩邊同時(shí)除以正數(shù)°2,則。<6,原變形正確，故此選項(xiàng)符合題

故選：D.

6.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若式子又沒有意義，則x的取值范圍是尸-1

B.分式蟲中的x、y都擴(kuò)大原來(lái)的2倍，那么分式的值擴(kuò)大2倍

X

x+2

C.分式干的值不可能等于0

3

D.若一；表示一個(gè)整數(shù)，則整數(shù)元可取值的個(gè)數(shù)是4個(gè)

x+1

【答案】B

【分析】本題考查分式的定義，性質(zhì)，分式有意義和分式的值為0,直接利用分式的定義以及分式的性質(zhì)、

分式有意義的條件分別分析得出答案即可.

Y—1

【詳解】解：A.若式子一；沒有意義，則x+l=0,即廣-1,故不符合題意；

B.分式少中的x、y都擴(kuò)大原來(lái)的2倍，即豈±包=2"+.）=葉2,所以分式的值不變，故符合題意；

x2xlxx

C.當(dāng)x+2=0,即x=—2時(shí)，卜|-2=0,所以分式的值不可能等于0,故不符合題意；

3

D.若一；表示一個(gè)整數(shù)，則整數(shù)元可取值是-4、-2、0、2,共有4個(gè)，故不符合題意；

故選：B.

7.如圖，DE是ABC的中位線，尸是DE的中點(diǎn)，C尸的延長(zhǎng)線交A3于點(diǎn)G,若△DG尸的面積為2,則

△CEF的面積為（）

【答案】B

【分析】本題考查的是三角形中位線定理、三角形全等的判定、三角形的面積計(jì)算，正確作出輔助線、證

明，PGO也是解題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)E作EH〃河交GC于修，證明&PGO紀(jì)根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得到S^PGF=S/^EHF，計(jì)算即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作交GC于H,

則NFGD=NFHE,

在=網(wǎng)五>和_切￡■中，

ZFGD=ZFHE

<ZGFD=NHFE,

DF=EF

:..FGD^..FHE（AAS）,

FG=FH,S^DGF=S&￡HF

EH〃AB,E是AC的中點(diǎn),

：.CH=HG,

:.FC=3GF,

DGb的面積為2

CEF的面積為6,

故選：B.

A

8.如圖，在ABC中，ZC=90°,ZB=30°,以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交A3、AC于點(diǎn)〃和N,

再分別以〃、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，連接AP并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)。，以下結(jié)

論錯(cuò)誤的是（）

A.AD是/BAC的平分線B.ZADC=60°

C.點(diǎn)。在線段A3的垂直平分線上D.^^ABD'S^ABC=1：2

【答案】D

【分析】本題考查的是角平分線的含義，線段的垂直平分線的判定，含30。的直角三角形的性質(zhì)，A根據(jù)作

圖的過(guò)程可以判定AD是,54C的角平分線；B利用角平分線的定義可以推知NC4D=30。，則由直角三角

形的性質(zhì)來(lái)求上WC的度數(shù)；C利用等角對(duì)等邊可以證得=由線段垂直平分線的判定可以證明點(diǎn)

。在的垂直平分線上；D利用30。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求出CD=gAD=gz）B,進(jìn)而可得

S/\DAC?^/\ABD=1?2，貝US7ABD'^NABC=2,3?

【詳解】解：根據(jù)作圖方法可得AO是NB4C的平分線，故A正確，不符合題意；

VZC=90°,ZB=30°,

ZG4B=60°,

AD是的平分線，

JZDAC=ZDAB=3Q°,

：.ZADC=60°,故B正確，不符合題意;

,ZB=30°,ZDAB=30°,

?AD=DB，

.點(diǎn)。在AB的垂直平分線上，故C正確，不符合題意;

9ZCAD=3Q°,

,CD=-AD,

2

*AD=DB,

,CD=-DB,

2

Q-V—1-7

?°ADAC?u^ABD—1?f

則5枷0：?枷=2：3,故D錯(cuò)誤，符合題意,

故選：D.

9.如圖，在YABCD中，AEL8C于點(diǎn)E,AFLDC交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)/，若AE=4,AF=6,且YABCD的

周長(zhǎng)為40,則YASCD的面積為()

A.24B.36C.40D.48

【答案】D

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)與面積得到關(guān)于3C、8的兩個(gè)方程并求

出8的值是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)求出BC+CDnZO,再用面積法求出BC=1cr>,然后求

出8的值，再根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算即可得解.

【詳解】解：4JCD的周長(zhǎng)=2(BC+CD)=40,

:.BC+CD=20①,

AE1.BC于E,AF_LCD于F,AE=4,AF=6,

S.co=4BC=6CD,

3

整理得，BC=-CD?,

聯(lián)立①②解得，CD=8,

ABCD的面積=AF-CD=6CD=6x8=48.

故選：D

10.如圖所示，一次函數(shù)丁=履+人（左涉是常數(shù)，kwO）與正比例函數(shù)y=s（小是常數(shù)，機(jī)。0）的圖象

相交于點(diǎn)知（1，2）,下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.關(guān)于龍的方程〃穴=入+6的解是x=l

B.關(guān)于x的不等式優(yōu)x<"+人的解集是x>l

c.當(dāng)x<o時(shí)，函數(shù)丫=五+6的值比函數(shù)>=力比的值大

[y-mx=O[X=1L

D.關(guān)于尤，y的方程組.,人的解是.

[y—kx-b[y=2

【答案】B

【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組），一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的性質(zhì).方程

組的解就是使方程組中兩個(gè)方程同時(shí)成立的一對(duì)未知數(shù)的值，而這一對(duì)未知數(shù)的值也同時(shí)滿足兩個(gè)相應(yīng)的

一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件結(jié)合圖象對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行

判斷即可.

【詳解】解：；一次函數(shù)丫=履+>（％,6是常數(shù)，左wo）與正比例函數(shù)'=痛（"是常數(shù)，mwo）的圖象

相交于點(diǎn)川（1,2）,

關(guān)于尤的方程=的解是x=l,選項(xiàng)A判斷正確，不符合題意；

關(guān)于x的不等式儂（去+b的解集是x<l,選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤，符合題意；

當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)>=乙+萬(wàn)的值比函數(shù)>=〃式的值大，選項(xiàng)C判斷正確，不符合題意；

關(guān)于蒼y的方程組

[y-mx=Qfx=l_

■,J的解是c，選項(xiàng)D判斷正確，不符合題意；

[y-kx=b口=2

故選：B.

第n卷

二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11.若代數(shù)式正亙有意義，則實(shí)數(shù)尤的取值范圍是_______.

x-2

【答案】xN-1且中2

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件.根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于等于0,分

式的分母不等于0列不等式求解即可.

【詳解】解：由題意得，x+120且%—2W0,

解得x2—1且xw2.

故答案為：xN-1且x/2.

12.若多項(xiàng)式尤2一6一1可分解為(x-2)(無(wú)+力，則的值為.

【答案】2

【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則.先將

(x-2)(x+E的括號(hào)展開，求出a和6的值，代入求解即可.

【詳解】解：(-v-2)(%+/?)=x2-2x+bx-2b-x1+(b-2^x-2b,

???多項(xiàng)式f一翻一1可分解為。-2)(彳+萬(wàn))，

b—2=—a,=2b=—1,

解得：a=^3,b=\1,

22

/.a+b=--\—=2,

22

故答案為：2.

13.如圖，在三角形ABC中，AD1BC,垂足為DAD=5,將三角形ABC沿射線的方向向右平移后，

得到三角形A'3'C',連接AC,若BC'=12,B'C=4,則三角形ACC'的面積為.

【分析】本題考查平移的性質(zhì)，線段的和與差，三角形的面積計(jì)算，由平移的性質(zhì)結(jié)合線段的和與差可求

出CC'=4,再根據(jù)三角形面積公式求解即可，掌握平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：由平移可知3。=8'仁，

?/B'C=BC+B'C'-BC,即4=3C+B'C'—12,

BC=B'C'=8,

：.CC'=B'C'-B'C=4,

：.S,,=-CC,-AD=-X4X5=10,

ACC22

故答案為：10.

14.關(guān)于x的分式方程3+;二=上二的解為整數(shù)，且關(guān)于y的不等式組卜+有且僅有3個(gè)整數(shù)

2-xx-2[a-5y<-4

解，則所有滿足條件的整數(shù)”的值之和為.

【答案】-2

【分析】本題主要考查解分式方程和一元一次不等式方程組，首先解得不等式方程組的解，根據(jù)題意找到。

的范圍，再解的分式方程的解，結(jié)合分式方程的解和。的范圍求得。的可能值即可.

【詳解】解:”）

[a-5y<-4

由y+522（y+l）,解得yW3,

由。一5y4-4,解得”早，

則不等式方程組的解為，亨a+4

:關(guān)于y的不等式組P+5j2（y：1）有且僅有3個(gè)整數(shù)解，

[a-5y<-4

〃+4

0<———?1,解得~4Va?1,

去分母得，3（x-2）-（?-l）=x,

去括號(hào)、移項(xiàng)得，2犬=5+a,

系數(shù)化為1得，x=手，

：x=2為分式方程的增根，

解得aw_i,

2

???關(guān)于X的分式方程3+U的解為整數(shù)，

2-xx-2

???當(dāng)a=-3時(shí)，x=l；

3

當(dāng)Q=-2時(shí)，x=舍去；

當(dāng)a=-1時(shí)，舍去;

當(dāng)。=1時(shí)，x=3；

則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和為-3+1=-2.

故答案為：-2.

15.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC=4cm,E是BC的中點(diǎn)，在斜邊AB上有一動(dòng)點(diǎn)。.從點(diǎn)

B出發(fā)，沿著3fA的方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，停止運(yùn)動(dòng).設(shè)動(dòng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為、，連接DE,若△3DE為等腰直角三角形，則/的值為.

【答案】應(yīng)或2a/20或四

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理.分/及出=90。和/血=90。，兩種情況進(jìn)行討論即可.

【詳解】解：：NC=90。，AC=BC=4cm,E是的中點(diǎn)，

ZB=45°,BE=-BC=2cm,

2

由題意，得：BD=t,

當(dāng)△3DE為等腰直角三角形時(shí)，分兩種情況：

①當(dāng)/班氏=90。時(shí)，

,/ZB=45°,BE=2,

：./BED=45。=NB,

DE-BD-t,

由勾股定理，得：產(chǎn)+產(chǎn)=2?,

=0（負(fù)值舍去）；

②當(dāng)/3即=90。時(shí)，

則：NEDB=45。=ZB,

DE=BE=2,

由勾股定理，得：22+22=?,

解得：”2后（負(fù)值已舍掉）；

綜上：t=-\/2或/=25/2>

故答案為：立或2點(diǎn).

三、解答題(本大題共8個(gè)小題，第16、17、18、19題每題8分，第20題9分，第21題10

分，第22、23每題12分，共75分)

16.解方程或不等式組：

⑴1-23

6x-21-3尤2

2x>x-2

(2)解不等式組x-1x，并把解集表示在數(shù)軸上.

----<—

[23

【答案】(1)》=一《2

(2)-2<x<3,數(shù)軸見詳解

【分析】本題主要考查分式方程的解法及一元一次不等式組的解法，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵;

(1)根據(jù)分式方程的解法可進(jìn)行求解;

(2)先對(duì)不等式組進(jìn)行求解，然后在數(shù)軸上表示出解集即可.

123

【詳解】⑴解:

6x-2l-3x2

l=^-3(3x-l)

5=-9x+3

2

X=——

9

2一

經(jīng)檢驗(yàn)：x=是原方程的解;

2x>x-2①

(2)解：<x-1x

------<-(2)

[23

由①可得：x>-2,

由②可得：x<3,

/.原不等式組的解集為-2<x<3;

在數(shù)軸上表示如圖所示:

------i-----1-------1-----*------1------1------6------1-

-3-2-101234

17.計(jì)算：

(1)分解因式

①a，-ab1;

②(〃+4『-16〃2；

(2)先化簡(jiǎn)，再求值：r-1+士!]+王號(hào)，其中，_3<X<3,且x為整數(shù)，請(qǐng)選取一個(gè)你認(rèn)為合適的尤

IX+1)X-1

的值，代入求值.

【答案】⑴①。(。+6)(。-6)；0+2)2(4-2)2；

(2)1^_il-,x=2時(shí)，原式=；.

X2

【分析】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值、因式分解的應(yīng)用：

(1)①先提公因式，再進(jìn)行平方差公式分解因式，即可作答.

②先進(jìn)行平方差公式分解因式，再進(jìn)行完全平方公式分解因式，即可作答.

(2)先通分括號(hào)內(nèi)，再進(jìn)行除法，化簡(jiǎn)得(龍一了,結(jié)合-3<x<3,且x為整數(shù)，以及分式有意義，即可

X

作答.

【詳解】(1)①解：原式

②解：原式=(a~+4。+4)(/-4a+4)=(a+2)(a—2)；

1+3x2+2x

(2)解:

x+1

--1+x-1x2+2x

、X+lX+l十^r

f+x—2—1

=-----------X-7-----

%+1x+2x

"+2)(1)Jx+l)(l)

x+1x(x+2)

_(1)2

X

因?yàn)椋?3<x<3,且x為整數(shù),

所以犬可取-2,—1,0,1,2,

由題意知x~2,-1,0,1,

所以，當(dāng)x=2時(shí)，原式」2T).

22

18.如圖，ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(l，l),8(4,2),C(3,4).

(1)請(qǐng)畫出ABC關(guān)于原點(diǎn)。成中心對(duì)稱的圖形△ABC],并寫出點(diǎn)4，烏，C；的坐標(biāo);

(2)畫出將ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的△4鳥Q,并寫出a的坐標(biāo)；

(3)請(qǐng)描述△通過(guò)怎樣的運(yùn)動(dòng)變化可以得到△4AG.

【答案】(1)見解析，A(T，T)，用(T，—2),Cj-3,-4)

(2)見解析，點(diǎn)&的坐標(biāo)為(-U)

(3)AAB1C1繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)作圖、原點(diǎn)對(duì)稱作圖、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)作圖方法是解題的關(guān)

鍵.

(1)先作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可完成作圖，然后直接寫出點(diǎn)4,用，G的坐

標(biāo)即可；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義作出三個(gè)頂點(diǎn)繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可完成作圖，

然后直接寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)即可；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可解答.

【詳解】(1)解：如圖：4G即為所求，A(T，T)，片(-4，-2),G(-3，-4).

(2)解：如圖，△&與G即為所求?點(diǎn)4的坐標(biāo)為

(3)解：由圖形可得出△ABG繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到

19.如圖，在ABC中，/ABC和—AC3的平分線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作E尸〃BC,交AB于點(diǎn)、E,交AC

于點(diǎn)F.

(1)求證：點(diǎn)E在。3的垂直平分線上；

(2)過(guò)點(diǎn)。作0H13C于點(diǎn)H,連接。4,若0C=6O。，求/BA。的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)Z&4<9=30°

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定，垂直平分線的判定，平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì).掌

握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

(1)證明NEO3=NCBO得到￡B=EO,即可證明點(diǎn)E在。8的垂直平分線上；

(2)過(guò)。點(diǎn)作OGLAB于G,OQ_LAC于Q,如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到明=OG,OH=OQ,則

OG=OQ,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷Q4平分/B4C,即可求得N84O==/A4C=30。.

【詳解】(1)證明：YOB平分/ABC,

???ZCBO=ZABO,

EF//BC,

:?/EOB=/CBO,

:,ZEOB=ZABO,

：.EB=EO,

???點(diǎn)E在05的垂直平分線上；

(2)解：過(guò)。點(diǎn)作OGLAB于G,OQLAC于。，如圖,

〈OB平分/ABC,OHIBC,OG±AB,

：?OH=OG,

?:0C平分/ACB,

：.OH=OQ,

OG—OQ,

???Q4平分/B4C,

又丁44c=60。，

ZBAO--ZBAC=30°,

2

20.為了更好應(yīng)用多媒體，提高課堂教學(xué)效率，某實(shí)驗(yàn)學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買A,3兩種型號(hào)教學(xué)設(shè)備，已知A型設(shè)

備價(jià)格比8型設(shè)備價(jià)格每臺(tái)高20%,用30000元購(gòu)買A型設(shè)備的數(shù)量比用15000元購(gòu)買B型設(shè)備的數(shù)量多4

臺(tái).

(1)求A,B型設(shè)備單價(jià)分別是多少元；

(2)該校計(jì)劃購(gòu)買兩種設(shè)備共30臺(tái)，要求A型設(shè)備數(shù)量不少于B型設(shè)備數(shù)量的1.設(shè)購(gòu)買。臺(tái)A型設(shè)備，購(gòu)

買總費(fèi)用為W元，求W與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出最少購(gòu)買費(fèi)用.

【答案】(1)每臺(tái)8型設(shè)備的價(jià)格為2500元，則每臺(tái)A型號(hào)設(shè)備的價(jià)格為3000元

(2)w=500a+75000,78000元

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)每臺(tái)8型設(shè)備的價(jià)格為x元，則每臺(tái)A型號(hào)設(shè)備的價(jià)格為1.2x元，根據(jù)“用30000元購(gòu)買A型設(shè)備的

數(shù)量比用15000元購(gòu)買B型設(shè)備的數(shù)量多4臺(tái)”建立方程，解方程即可.

(2)根據(jù)總費(fèi)用=購(gòu)買A型設(shè)備的費(fèi)用+購(gòu)買8型設(shè)備的費(fèi)用，可得出w與。的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)兩種

設(shè)備的數(shù)量關(guān)系得出。的取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：設(shè)每臺(tái)8型設(shè)備的價(jià)格為x元，則每臺(tái)A型號(hào)設(shè)備的價(jià)格為L(zhǎng)2x元，

‘口用"*/口3000015000,

根據(jù)題意得，——=-----+4,

1.2xx

解得：x=2500.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2500是原方程的解.

1.2%=3000,

每臺(tái)B型設(shè)備的價(jià)格為2500元，則每臺(tái)A型號(hào)設(shè)備的價(jià)格為3000元.

(2)解：設(shè)購(gòu)買。臺(tái)A型設(shè)備，

aN—(30—ci),

4

:.a>6,

w=3000?+2500(30-a)=500a+75000,

500>0,

???w隨。的增大而增大，

.,.當(dāng)a=6時(shí)，W的最小值為500x6+75000=78000(元).

答：最少購(gòu)買費(fèi)用為78000元.

21.我們把二次三項(xiàng)式依2+法+c恒等變形為分(左+〃)2+左(從左為常數(shù))的形式叫做配方.巧妙地運(yùn)用配

方法不僅可以將一個(gè)的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，也能求一個(gè)二次三項(xiàng)式的最值，還能結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解

決一些實(shí)際問(wèn)題.例如，分解因式：V+4X-5.

解：尤2+4尤一5=x?+4x+4-9=(x+2)--3?=(%+5卜(%-1).

請(qǐng)用配方法解答下列問(wèn)題：

(1)分解因式：?x2+2x-3,@a2+4ab-5b2;

(2)求多項(xiàng)式2/-4》+5的最小值；

(3)已知a、b、的三邊長(zhǎng)，+b~+c2=ab+bc+ca-判斷.ABC的形狀.

【答案】⑴①(x+3)(x-D；②答+56)3-6)

(2)3

(3)等邊三角形

【分析】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是配方法的靈活運(yùn)用.

(1)根據(jù)題意進(jìn)行分解即可；

(2)分解因式再根據(jù)平方的非負(fù)性即可得到答案；

(3)分解因式進(jìn)行判定.

【詳解】(1)解：①原式=/+2無(wú)+1-4

=0+1)2—4

=(x+1+2)(x+1—2)

=(x+3)(x-l)；

②原式=/+4"+4/-9/

=(a+2bf-9b2

=(a+2〃+3b)(a+2b—3b)

=+?

(2)解：原式=2(%2—2x+l)-2+5

=2(1)2+3,

?(%-1)2NO,

故多項(xiàng)式2%2—4%+5的最小值為3；

(3)解：a1+1^+C1=ab+bc+ca

"+b2+c2—cib—he—cci=0，

.*.2a2+2〃+2c2—2ab—2bc—2ca=0,

a?+—2QZ?+Z?2+—2bc+a2+c2—2ca=0,

(a-力2+s—c)2+a—a)2=o,

:.a—b=O,b—c=O,c—a=Of

：.a=b=c,

即cABC的形狀為等邊三角形.

22.如圖，E是平行四邊形A3CQ內(nèi)一點(diǎn)，ED上CD,EBYBC,ZAED=135°.

H

⑴求證：ZADE^ZABE；

(2)求證：8CE是為等腰直角三角形；

(3)判斷AB、DE、AE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見解析

⑵見解析

⑶AB=DE+近AE，理由見解析

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，通過(guò)添

加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)由平行四邊形中對(duì)角相等可得/ADC=/ABC,結(jié)合￡D，CD,EB1BC,即可證明NADE=Z45E；

(2)延長(zhǎng)DE交A3于凡連接CE,先證AAEF是等腰直角三角形，再證，ADF^EBF(AAS),推出

AD=BE=BC,即可證明3CE是為等腰直角三角形；

(3)根據(jù)△AEF是等腰直角三角形，可得AF=EF,AE=0￡F，根據(jù)ADR烏EBF(AAS)可得〃尸=8尸，

通過(guò)等量代換可得AB=DE+y/2AE.

【詳解】(1)證明：；四邊形ABCD是平行四邊形，

?*.ZADC=ZABC,

VEDLCD,EB1BC,

：.ZCDE=ZCBE=90°,

：.ZADC-ZCDE=ZABC-ZCBE,

：.ZADE=ZABE；

(2)證明：如圖，延長(zhǎng)OE交AB于R連接CE,

,/四邊形ABCD是平行四邊形,

CD//AB,AD=BC,

???ED1CD,

:.DF±AB,

9：ZAED=135°,

：.ZAEF=45°,

???△AEF是等腰直角三角形，

AF=EF,

在ZVI。尸與△￡?尸中，

ZADF=ZEBF

<ZAFD=ZBFE,

AF=EF

：._APF^EBF（AAS）,

:.AD=BE,

,:AD=BC,

：.BE=BC,

又「ZCBE=90°,

???ESC是等腰直角三角形；

（3）解：AB=DE+啦AE，

理由如下：由（2）可得AAEF是等腰直角三角形，

AAF=EF,AE=y/2EF,

由（2）可得，ADF.EBF（AAS）,

DF=BF,

,:AB=AF+BF,

?*-AB=AF+DF=AF+DE+EF=DE+2EF=DE+y/2AE-

23.在一ABC中，ABAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。為5。邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接A。，將AD繞著。點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)90。得到。￡,連接AE.

⑴如圖1,點(diǎn)。為CH中點(diǎn)，AE與BC交于點(diǎn)G,若AB=4,求AE的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,DE與AB交于點(diǎn)P,連接8E,在54延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)P,"C4=NEAS,求證：AB=AP+y/2BD;

(3)如圖3,DE與AB交于點(diǎn)F,且A3平分NR4D,點(diǎn)/為線段■上一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AD上一點(diǎn)，連接

DM，陰V,點(diǎn)K為ZMf延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將“3DK沿直線BK翻折至，BDK所在平面內(nèi)得到△BQK,連接DQ,

在N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)DM+MN取得最小值，且ZDKQ=45。時(shí)，請(qǐng)直接寫出空的值.

【答案】(1)275

(2)見詳解

【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求得AO的長(zhǎng)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得"