2022年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：尺規(guī)作圖

第38章尺規(guī)作圖

一、選擇題

1.〔2022浙江紹興，8,4分〕如圖，在A45C中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)5為圓心，大于工A3的

2

長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,N，作直線,交3C于點(diǎn)。，連接AD.假設(shè)AADC

的周長為10,AB=7,那么AABC的周長為U

A.7B.14C.17D.20

〔第8題圖〕

【答案】C

填空題

三、解答題

（2022江蘇揚(yáng)州,26,10分），如圖，在RtZkABC中,ZC=90°,ZBAC的角平分線AD

交BC邊于D。

（1）以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A,D兩點(diǎn)作。O（不寫作法，保存作圖痕跡），再

判斷直線BC與。O的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）假設(shè)（1）中的。。與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E,AB=6,BD=2A/3,求線段BD、

BE與劣弧DE所圍成的圖形面積。（結(jié)果保存根號和萬）

【答案】（1）如圖，作AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)O,O為圓心，OA為半徑作圓。

判斷結(jié)果：BC是。O的切線。連結(jié)OD。

：AD平分NBACZDAC=ZDAB

VOA=OD.?.ZODA=ZDAB

.?.ZDAC=ZODA.?.OD/7ACZODB=ZC

：ZC=90°Z.ZODB=90°即：ODXBC

：OD是。O的半徑BC是。O的切線。

（2）如圖，連結(jié)DE。

設(shè)。O的半徑為r,那么0B=6-r,

在Rt^ODB中，ZODB=90°,

...OB2=OD2+BD2即：（6寸）2=於+（2方下

???r=2JOB=4I.ZOBD=30°,ZDOB=60°

VAODB的面積為4x2百x2=2百，扇形ODE的面積為幽x?x2?=-71

23603

陰影局部的面積為2B一2乃。

3

2.12022山東濱州，23,9分〕根據(jù)給出的以下兩種情況，請用直尺和圓規(guī)找到一條直線,

把△ABC恰好分割成兩個(gè)等腰三角形〔不寫做法，但需保存作圖痕跡)；并根據(jù)每種情

況分別猜想：ZA與有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)才能完成以上作圖并舉例驗(yàn)證猜想所得結(jié)

論。

m如圖①△ABC中，/C=90°,ZA=24°

①作圖：

②猜想：

③驗(yàn)證：

(2)如圖②△A3C中，ZC=84°,ZA=24°.

(第23題圖②)

①作圖：

②猜想：

③驗(yàn)證：

【答案】

(1)①作圖：痕跡能表達(dá)作線段AB(或AC、或BC)的垂直平分線，或作NACD=NA(或

/BCD=/B)兩類方法均可，

在邊AB上找出所需要的點(diǎn)D,那么直線CD即為所求............2分

②猜想：ZA+ZB=90°,........................4分

③驗(yàn)證：如在AABC中，ZA=30°,/B=60。時(shí)，有NA+/B=90。，此時(shí)就能找到一條

把AABC恰好分割成兩個(gè)等腰三角形的直線。...........5分

⑵答：①作圖：痕跡能表達(dá)作線段AB(或AC、或BC)的垂直平分線，或作NACD=NA

或在線段CA上截取CD=CB三種方法均可。

在邊AB上找出所需要的點(diǎn)D,那么直線CD即為所求............6分

②猜想：ZB=3ZA.......................8分

③驗(yàn)證：如在AABC中，ZA=32°,ZB=96,有/B=3/A,此時(shí)就能找到一條把AABC

恰好分割成兩個(gè)等腰三角形的直線。...........9分

3.(2022山東威海，20,8分)我們學(xué)習(xí)過：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿著某一

個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心.

⑴如圖①，AABC2DEF,△。歷能否由AABC通過一次旋轉(zhuǎn)得到假設(shè)能，請用直尺

和圓規(guī)畫出旋轉(zhuǎn)中心，假設(shè)不能，試簡要說明理由.圖①

(2)如圖②，AABgAMNK,AMNK能否由AABC通過一次旋轉(zhuǎn)得到假設(shè)能，請用直尺

和圓規(guī)畫出旋轉(zhuǎn)中心，假設(shè)不能，試簡要說明理由.

〔保存必要的作圖痕跡〕

圖①圖②

【答案】解：(1)能，點(diǎn)。就是所求作的旋轉(zhuǎn)中心.

圖①圖②

(1)能，點(diǎn)。2就是所求作的旋轉(zhuǎn)中心.

4.12022浙江杭州，18,6)四條線段a,b,c,4如圖,a：b-.c：4=1：2：3：4.

(1)選擇其中的三條線段為邊作一個(gè)三角形(尺規(guī)作圖，要求保存作圖痕跡，不必寫出作

法)；

(2)任取三條線段，求以它們?yōu)檫吥茏鞒鋈切蔚母怕?

【答案】(1)只能取6cd三條線段，作圖略

(2)四條線段中任取三條共有四種等可性結(jié)果：(a,b,c),10,b,d),

[a,c,d},[b,c,d),其中能組成三角形的只有[b,c,d),所以

以它們?yōu)檫吥茏鞒鋈切蔚母怕适枪?

4

5.（2022四川重慶，20,6分）為進(jìn)一步打造“宜居重慶〃，某區(qū)擬在新竣工的矩形廣場的

內(nèi)部修建一個(gè)音樂噴泉，要求音樂噴泉M到廣場的兩個(gè)入口42的距離相等，且到

廣場管理處C的距離等于A和8之間距離的一半，A、B、C的位置如下列圖.請?jiān)诖?/p>

題卷的原圖上利用尺規(guī)作出音樂噴泉M、位置.（要求：不寫、求作、作法和結(jié)論，保

存作圖痕跡，必須用鉛筆作圖）

【答案】

6.12022甘肅蘭州，25,9分〕如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)

格的交點(diǎn)A、B、Co

（1）請完成如下操作：

①以點(diǎn)0為原點(diǎn)、豎直和水平方向所在的直線為坐標(biāo)軸、網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面

直角坐標(biāo)系；②用直尺和圓規(guī)畫出該圓弧所在圓的圓心D的位置〔不用寫作法，保存作圖

痕跡），并連結(jié)AD、CD。

[2）請?jiān)冢?）的根底上，完成以下問題：

①寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：C、D；

②。D的半徑=[結(jié)果保存根號）；

③假設(shè)扇形ADC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，那么該圓錐的底面面積為（結(jié)果保存捫；

④假設(shè)E[7,0）,試判斷直線EC與OD的位置關(guān)系并說明你的理由。

【答案】m

4

④相切。

理由：：CD=2百，CE=V5,DE=5

.?.CD2+CE2=25=DE2

.?./DCE=90°即CEXCD

；.CE與。D相切。

7.(2022重慶江津，23,10分)A、B兩所學(xué)校在一條東西走向公路的同旁，以公路所在

直線為x軸建立如下列圖的平面直角坐標(biāo)系，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(7,3).

(1)一輛汽車由西向行駛，在行駛過程中是否存在一點(diǎn)C,使C點(diǎn)到A、B兩校的距離相

等,如果有請用尺規(guī)作圖找出該點(diǎn),保存作圖痕跡，不求該點(diǎn)坐標(biāo).

(2)假設(shè)在公路邊建一游樂場P,使游樂場到兩校距離之各最小，通過作圖在圖中找出建

游樂場的位置，并求出它的坐標(biāo).

y八

,B(7,3)

【答案】(1)存在滿足條件的點(diǎn)C:作出圖形，如下列圖，作圖略；

A(22)

⑵作出點(diǎn)A關(guān)于x軸為對稱，點(diǎn)Az(2,-2),連接AB,與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.

設(shè)AB所在的直線的解療式為：y=kx+b,把A(2K2),B(7,3)分別代入得：

所以：y=x-4-

當(dāng)y=0時(shí),x=4,所以交點(diǎn)P為［4,0）?

8.（2022重慶泰江，19,6分）為了推進(jìn)農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革，準(zhǔn)備在某鎮(zhèn)新建一個(gè)醫(yī)療

點(diǎn)尸，使P到該鎮(zhèn)所屬A村、8村、C村的村委會所在地的距離都相等（A、B、C不在

同一直線上，地理位置如以下列圖〕，請你用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)P的位置.

要求：寫出、求作；不寫作法，保存作圖痕跡.

解：：

求作：B村

【答案】：解：：A、B、C三點(diǎn)不在同-1a村

?C村

求作：一點(diǎn)P,使PA=P8=PC.?

（或經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的外接圓圓心P）

正確作出任意兩條線段的垂直平分線，并標(biāo)出交點(diǎn)尸

9.（2022江蘇南京，27,9分）如圖①，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC,在△PAB、

△PBC和APAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相

似點(diǎn).

⑴如圖②，R3ABC中，ZACB=90°,ZACB>ZA,CD是AB上的中線，過點(diǎn)B

作BELCD,垂足為E,試說明E是△ABC的自相似點(diǎn).

⑵在△ABC中，ZA<ZB<ZC.

①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P1寫出作法并保存作圖痕跡）；

②假設(shè)△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

①②③

（第27題）

【答案】解：⑴在RtAABC中，NACB=90。，CD是AB上的中線,

:.CD=-AB,:.CD=BD.

2

.*.ZBCE=ZABC.VBEXCD,.*.ZBEC=90°,

.*.ZBEC=ZACB..,.△BCE^AABC.

二￡是4ABC的自相似點(diǎn).

⑵①作圖略.

作法如下：⑴在NABC內(nèi)，作NCBD=NA；

（ii）在NACB內(nèi)，作NBCE=NABC；BD交CE于點(diǎn)P.

那么P為△ABC的自相似點(diǎn).

②連接PB、PC.；P為△ABC的內(nèi)心，AZPBC=-ZABC，ZPCB=-ZACB.

22

?.?P為△ABC的自相似點(diǎn)，/.ABCP^AABC.

；.NPBC=NA,ZBCP=ZABC=2ZPBC=2ZA,

ZACB=2ZBCP=4ZA.,:ZA+ZABC+ZACB=180°.

:.ZA+2ZA+4ZA=180°.

???/4=幽..?.該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為幽、幽、里.

7777

10.（2022江蘇無錫，26,6分）（此題總分值6分）如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2,

腰長為3,一個(gè)底角為60。。正方形ABC。的邊長為1,它的一邊在上，且頂

點(diǎn)A與M重合?，F(xiàn)將正方形A8C。在梯形的外面沿邊MN、NP、尸。進(jìn)行翻滾，翻滾

到有一個(gè)頂點(diǎn)與。重合即停止?jié)L動(dòng)。

（1）請?jiān)谒o的圖中，用尺規(guī)畫出點(diǎn)A在正方形整個(gè)翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖；

（2）求正方形在整個(gè)翻滾過程中點(diǎn)A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ

所圍成圖形的面積S。

【答案】解：（1）如右圖所示..................（3分）

（2）S=2百萬V+/產(chǎn)+1+堪不百

77r

二行+2.........................................（6分）

11.（2022重慶市潼南』9,6分）畫△ABC,使其兩邊為線段a、b,夾角為夕.

（要求：用尺規(guī)作圖，寫出、求作；保存作圖痕跡；不在的線、角上作圖；不

寫作法）.

求作：ab

【答案】：線段。、6、角夕--------1分

求作：△人：6（2使邊朗=。，XC=b,NC=B-------2-^51-------

畫圖〔保存作圖痕跡圖略）--------甘婢圖

12.（2022湖北宜昌，23,10分）如圖1,R3ABC兩直角邊的邊長為AC=1,BC=2.

（1）如圖2,。。與R3ABC的邊AB相切于點(diǎn)X,與邊CB相切于點(diǎn)Y.請你在圖2中作

出并標(biāo)明。。的圓心0；（用尺規(guī)作圖，保存作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）P是這個(gè)R3ABC上和其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的。P與RtAABC的兩條邊相切.

設(shè)。P的面積為S,你認(rèn)為能否確定S的最大值假設(shè)能，請你求出S的最大值；假設(shè)不能,

請你說明不能確定S的最大值的理由.

（第23題圖1）［第23題圖2）

【答案】解：（1）共2分.〔標(biāo)出了圓心，沒有作圖痕跡的評1分）看見垂足為Y

（X）的一條垂線（或者NABC的平分線）即評1分，

（2）①當(dāng)。P與RSABC的邊AB和BC相切時(shí)，由角平分線的性質(zhì)，動(dòng)

點(diǎn)P是NABC的平分線BM上的點(diǎn)，如圖1,在NABC的平分線BM上任意

確定點(diǎn)Pi（不為/ABC的頂點(diǎn)），

VOX=BOsinZABM,PiZ=BPisinZABM.當(dāng)BPi>BO時(shí)，PjZ>OX,

即P與B的距離越大，OP的面積越大.這時(shí)，BM與AC的交點(diǎn)P是符合題

意的BP長度最大的點(diǎn).

〔3分.此處沒有證明和結(jié)論不影響后續(xù)評分）

如圖2,VZBPA>90°,過點(diǎn)P作PE±AB,垂足為E,那么E在邊AB

上.

...以P為圓心、PC為半徑作圓，那么。P與邊CB相切于C,與邊AB相

切于E,即這時(shí)的。P是符合題意的圓.（4分.此處沒有證明和結(jié)論不影響后

續(xù)評分〕這時(shí)。P的面積就是S的最大值.

VZA=ZA,ZBCA=ZAEP=90°,.\RtAABC^RtAAPE,（5分）

LAr匕rz

1.——=——.：AC=1,BC=2,；.AB=J5

BC

設(shè)PC=x,那么PA=AC—PC=1—x,PC=PE,

（