《動(dòng)態(tài)規(guī)劃》課件

動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃概述將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成一系列子問(wèn)題。存儲(chǔ)子問(wèn)題的解，避免重復(fù)計(jì)算。通過(guò)子問(wèn)題的解，遞推得到最終解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想1最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問(wèn)題的最優(yōu)解包含子問(wèn)題的最優(yōu)解。2重疊子問(wèn)題子問(wèn)題被重復(fù)計(jì)算多次。動(dòng)態(tài)規(guī)劃和遞歸的區(qū)別遞歸遞歸是一種通過(guò)將問(wèn)題分解成更小的相同問(wèn)題來(lái)解決問(wèn)題的技術(shù)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種通過(guò)存儲(chǔ)子問(wèn)題的解來(lái)避免重復(fù)計(jì)算的技術(shù)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃常見(jiàn)問(wèn)題類(lèi)型最優(yōu)化問(wèn)題例如，最短路徑問(wèn)題、背包問(wèn)題、最大子序列和問(wèn)題等組合問(wèn)題例如，硬幣找零問(wèn)題、排列組合問(wèn)題等計(jì)數(shù)問(wèn)題例如，斐波那契數(shù)列問(wèn)題、最長(zhǎng)公共子序列問(wèn)題等動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題求解步驟1定義狀態(tài)確定問(wèn)題的子問(wèn)題，并用狀態(tài)表示2確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程描述狀態(tài)之間的關(guān)系，即如何從較小的狀態(tài)推導(dǎo)出較大的狀態(tài)3初始化狀態(tài)確定問(wèn)題的初始狀態(tài)，并設(shè)置初始值4計(jì)算最終狀態(tài)根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，逐步計(jì)算最終狀態(tài)，并得到問(wèn)題的解斐波那契數(shù)列問(wèn)題斐波那契數(shù)列是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，定義為：F(0)=0F(1)=1F(n)=F(n-1)+F(n-2),n>=2該問(wèn)題的解法可以利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想，通過(guò)存儲(chǔ)前兩個(gè)數(shù)的值，計(jì)算出后面的數(shù)，從而提高效率。最長(zhǎng)遞增子序列問(wèn)題給定一個(gè)序列，找到其最長(zhǎng)的遞增子序列。例如，序列[1,3,2,4,5]的最長(zhǎng)遞增子序列為[1,2,4,5]，長(zhǎng)度為4。動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以有效地解決這個(gè)問(wèn)題。我們可以用一個(gè)數(shù)組dp來(lái)存儲(chǔ)每個(gè)位置的最長(zhǎng)遞增子序列長(zhǎng)度。dp[i]表示以第i個(gè)元素結(jié)尾的最長(zhǎng)遞增子序列長(zhǎng)度。我們可以通過(guò)遍歷序列，并比較每個(gè)元素與之前的元素，來(lái)更新dp數(shù)組。背包問(wèn)題0/1背包問(wèn)題每個(gè)物品只能選擇一次，即要么放入背包，要么不放。完全背包問(wèn)題每個(gè)物品可以選擇無(wú)限次，即可以放入背包多次。多重背包問(wèn)題每個(gè)物品可以選擇有限次，即每個(gè)物品有一個(gè)數(shù)量限制。最長(zhǎng)公共子序列問(wèn)題最長(zhǎng)公共子序列(LongestCommonSubsequence,LCS)問(wèn)題是動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的經(jīng)典問(wèn)題之一。它要求找出兩個(gè)字符串中所有公共子序列中最長(zhǎng)的一個(gè)。子序列是指從原字符串中選取任意個(gè)字符，保持原有順序形成的新的字符串，例如字符串"abcde"的子序列有"ace"、"bc"、"abd"等。例如，字符串"ABCBDAB"和"BDCABA"的最長(zhǎng)公共子序列為"BCBA"，長(zhǎng)度為4。LCS問(wèn)題在生物信息學(xué)、文本編輯器、版本控制等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。編輯距離問(wèn)題編輯距離問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，用于計(jì)算兩個(gè)字符串之間的最小編輯操作次數(shù)，以將一個(gè)字符串轉(zhuǎn)換為另一個(gè)字符串。編輯操作包括插入、刪除和替換字符。例如，將“kitten”轉(zhuǎn)換為“sitting”的最小編輯操作次數(shù)為3：將“k”替換為“s”在“e”之后插入“i”將“n”替換為“g”最短路徑問(wèn)題起點(diǎn)到終點(diǎn)尋找從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑，常見(jiàn)的應(yīng)用場(chǎng)景包括導(dǎo)航軟件和交通規(guī)劃。最優(yōu)路線(xiàn)選擇在多個(gè)可行路徑中，選擇最短的路程或最快的行駛時(shí)間，例如高速公路路線(xiàn)規(guī)劃。硬幣找零問(wèn)題給定一組面值的硬幣和一個(gè)目標(biāo)金額，求解最少使用多少個(gè)硬幣可以湊成目標(biāo)金額。例如，假設(shè)硬幣面值為[1,5,10,25]，目標(biāo)金額為41，則最少需要使用4個(gè)硬幣來(lái)湊成目標(biāo)金額（1個(gè)25美分硬幣、1個(gè)10美分硬幣、1個(gè)5美分硬幣和1個(gè)1美分硬幣）。最大子序和問(wèn)題問(wèn)題描述給定一個(gè)整數(shù)數(shù)組nums

，找到一個(gè)具有最大和的連續(xù)子數(shù)組（子數(shù)組最少包含一個(gè)元素），返回其最大和。示例輸入：nums=[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]輸出：6解釋?zhuān)哼B續(xù)子數(shù)組

[4,-1,2,1]

的和最大，為

6。動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化技巧記憶化搜索減少重復(fù)計(jì)算，將中間結(jié)果存儲(chǔ)起來(lái)，避免重復(fù)計(jì)算。狀態(tài)壓縮將狀態(tài)表示為二進(jìn)制數(shù)，利用位運(yùn)算進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移。滾動(dòng)數(shù)組優(yōu)化空間復(fù)雜度，將二維數(shù)組壓縮為一維數(shù)組，實(shí)現(xiàn)空間復(fù)用。記憶化搜索1避免重復(fù)計(jì)算記憶化搜索通過(guò)存儲(chǔ)中間結(jié)果，避免重復(fù)計(jì)算相同子問(wèn)題的答案，從而提高算法效率。2遞歸思想記憶化搜索本質(zhì)上是對(duì)遞歸算法的優(yōu)化，它將遞歸調(diào)用中計(jì)算過(guò)的結(jié)果存儲(chǔ)起來(lái)，在后續(xù)調(diào)用中直接使用，避免重復(fù)計(jì)算。3空間換時(shí)間記憶化搜索使用額外的空間來(lái)存儲(chǔ)中間結(jié)果，從而節(jié)省時(shí)間，是一種典型的“空間換時(shí)間”的優(yōu)化策略。狀態(tài)壓縮減少狀態(tài)將多個(gè)狀態(tài)壓縮成一個(gè)狀態(tài)，以降低時(shí)間復(fù)雜度。位運(yùn)算使用位運(yùn)算進(jìn)行狀態(tài)表示和轉(zhuǎn)換，例如，使用二進(jìn)制位來(lái)表示集合。提高效率通過(guò)壓縮狀態(tài)，可以減少遞歸深度，從而提高算法效率。雙指針技巧雙指針技巧通過(guò)使用兩個(gè)指針指向數(shù)組或鏈表的不同位置，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的快速遍歷和比較。這種方法可以有效地優(yōu)化動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的時(shí)間復(fù)雜度，提高效率。常見(jiàn)應(yīng)用場(chǎng)景包括：判斷數(shù)組是否存在滿(mǎn)足特定條件的子序列，以及查找有序數(shù)組中的特定元素。滾動(dòng)數(shù)組減少空間復(fù)雜度優(yōu)化內(nèi)存使用提高運(yùn)行效率二進(jìn)制優(yōu)化狀態(tài)壓縮將狀態(tài)表示為二進(jìn)制數(shù)，通過(guò)位運(yùn)算進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移，可以有效降低空間復(fù)雜度。加速枚舉利用二進(jìn)制表示，可以快速枚舉所有可能的組合，提高算法效率。優(yōu)化轉(zhuǎn)移通過(guò)二進(jìn)制位運(yùn)算，可以更簡(jiǎn)潔地表達(dá)狀態(tài)轉(zhuǎn)移，減少代碼量。動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例1在股票市場(chǎng)中，假設(shè)你有機(jī)會(huì)購(gòu)買(mǎi)和出售一只股票一次。你希望最大化你的利潤(rùn)。輸入股票價(jià)格的數(shù)組，使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來(lái)確定最佳買(mǎi)入和賣(mài)出時(shí)間，以實(shí)現(xiàn)最大利潤(rùn)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決方案存儲(chǔ)了在特定時(shí)間點(diǎn)之前所能實(shí)現(xiàn)的最大利潤(rùn)。通過(guò)遍歷股票價(jià)格數(shù)組并更新最大利潤(rùn)，最終可以確定最佳買(mǎi)賣(mài)時(shí)間點(diǎn)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例2動(dòng)態(tài)規(guī)劃在計(jì)算機(jī)科學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)、運(yùn)籌學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。以下是一些典型的應(yīng)用場(chǎng)景：**路徑規(guī)劃**:地圖導(dǎo)航、自動(dòng)駕駛**資源分配**:生產(chǎn)計(jì)劃、庫(kù)存管理**圖像處理**:圖像壓縮、圖像識(shí)別動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例3股票交易動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用于優(yōu)化股票交易策略，例如在給定時(shí)間段內(nèi)，如何進(jìn)行買(mǎi)賣(mài)操作以最大化利潤(rùn)。路徑規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用于計(jì)算最短路徑，例如在導(dǎo)航軟件中，如何找到從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最佳路線(xiàn)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例4在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，動(dòng)態(tài)規(guī)劃被廣泛應(yīng)用于自然語(yǔ)言處理(NLP)領(lǐng)域。例如，在語(yǔ)音識(shí)別中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用來(lái)計(jì)算最可能的詞序列。在機(jī)器翻譯中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用來(lái)找到源語(yǔ)言和目標(biāo)語(yǔ)言之間的最佳對(duì)應(yīng)關(guān)系。動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例5在機(jī)器學(xué)習(xí)中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用于優(yōu)化模型訓(xùn)練過(guò)程。例如，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中，可以使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來(lái)加速模型收斂，并提高模型的泛化能力。通過(guò)將訓(xùn)練過(guò)程分解為多個(gè)子問(wèn)題，并利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來(lái)解決這些子問(wèn)題，可以有效地提高模型訓(xùn)練效率和精度。動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)踐技巧總結(jié)理解問(wèn)題明確問(wèn)題目標(biāo)、輸入輸出和約束條件，找到問(wèn)題的核心要素和關(guān)鍵狀態(tài)。狀態(tài)定義用合適的變量來(lái)表示問(wèn)題狀態(tài)，每個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)子問(wèn)題，并確保狀態(tài)之間存在遞推關(guān)系。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程根據(jù)狀態(tài)定義和問(wèn)題約束，建立狀態(tài)之間的遞推關(guān)系，并用數(shù)學(xué)公式表達(dá)出來(lái)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃常見(jiàn)問(wèn)題總結(jié)1序列問(wèn)題最長(zhǎng)遞增子序列、最長(zhǎng)公共子序列、編輯距離等問(wèn)題。2背包問(wèn)題0/1背包、完全背包、多重背包等問(wèn)題。3路徑問(wèn)題最短路徑、最長(zhǎng)路徑、最小生成樹(shù)等問(wèn)題。4劃分問(wèn)題矩陣鏈乘、字符串分割、鋼條切割等問(wèn)題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)云計(jì)算的加速發(fā)展為動(dòng)態(tài)規(guī)劃提供了更強(qiáng)大的計(jì)算資源，使得解決更復(fù)雜的問(wèn)題成為可能。大數(shù)據(jù)的興起使得動(dòng)態(tài)規(guī)劃在數(shù)據(jù)分析、預(yù)測(cè)和優(yōu)化等方面發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。人工智能技術(shù)的進(jìn)步將為動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法提供新的應(yīng)用領(lǐng)域，例如機(jī)器學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理等。動(dòng)態(tài)規(guī)劃學(xué)習(xí)資源推薦1在線(xiàn)課程Coursera,edX,Udemy等平臺(tái)上有很多關(guān)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的課程，從入門(mén)到進(jìn)階，適合不同學(xué)習(xí)階段的用戶(hù)。2書(shū)籍《算法導(dǎo)論》、《編程珠璣》等經(jīng)典算法書(shū)籍都有詳