平方根和立方根

PAGE平方根和立方根page6-ofNUMPAGES10平方根和立方根平方根和立方根中考要求中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求平方根、算數(shù)平方根了解開方與乘方互為你運(yùn)算，了解平方根及算術(shù)平方根的概念，會用根號表示非負(fù)數(shù)的平方根及算術(shù)平方根會用平方運(yùn)算的方法，求某些非負(fù)數(shù)的平方根立方根了解立方根的概念，會用根號表示數(shù)的立方根會用立方運(yùn)算的方法，求某些數(shù)的立方根小故事小故事第一次數(shù)學(xué)危機(jī)之無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)大約公元前5世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯悖論．當(dāng)時的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為"四藝"，在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性．他們認(rèn)為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為１的直角三角形就是如此．這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條，導(dǎo)致了當(dāng)時認(rèn)識上的"危機(jī)"，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)．到了公元前370年，這個矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了．他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中．歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致．今天中學(xué)幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處．第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大沖擊．這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖，而幾何學(xué)的身份升高了．危機(jī)也表明，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命！知識點(diǎn)睛知識點(diǎn)睛一平方根、算術(shù)平方根1、平方根:如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根．也就是說，若，則就叫做的平方根．一個非負(fù)數(shù)的平方根可用符號表示為“”．2、算術(shù)平方根：一個正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的平方根，其中正的平方根叫做的算術(shù)平方根，可用符號表示為“”；有一個平方根，就是，的算術(shù)平方根也是，負(fù)數(shù)沒有平方根，當(dāng)然也沒有算術(shù)平方根．（負(fù)數(shù)的平方根在實(shí)數(shù)域內(nèi)不存在，具體內(nèi)容高中將進(jìn)學(xué)習(xí)研究）一個非負(fù)數(shù)的平方根不一定是非負(fù)數(shù)，但它的算術(shù)平方根一定是非負(fù)數(shù)，即若，則．3、平方根的計算：求一個非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方．開平方與平方是互逆運(yùn)算，可以通過平方運(yùn)算來求一個數(shù)的平方根或算術(shù)平方根，以及檢驗(yàn)一個數(shù)是不是另一個數(shù)的平方根或算術(shù)平方根．二立方根1、立方根：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根，也就是說，若則就叫做的立方根。一個數(shù)的立方根可用符號表“”，其中“”叫做根指數(shù)，不能省略．前面學(xué)習(xí)的“”其實(shí)省略了根指數(shù)“”，即：也可以表示為．讀作“三次根號”，讀作“二次根號”，讀作“根號”．任何一個數(shù)都有立方根，且只有一個立方根。正數(shù)的立方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根為負(fù)數(shù)，的立方根為．2、立方根的計算：求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方，開立方與立方是互逆運(yùn)算，可以通過立方運(yùn)算來求一個數(shù)的立方根，以及檢驗(yàn)一個數(shù)是不是另一個數(shù)的立方根．平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：（1）根指數(shù)不同：平方根的根指數(shù)是2，通常省略不寫；立方根的根指數(shù)是3，卻不能省略．（2）被開方數(shù)取值范圍不同：平方根中被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)；而立方根中被開方數(shù)可以為任何數(shù)．（3）平方的結(jié)果不同：平方根的結(jié)果除0之外，還有兩個互為相反數(shù)的結(jié)果；而立方根的結(jié)果只有一個．一、對立方根的定義和性質(zhì)的考察（1）下列說法中，不正確的是（）A．8的立方根是2B．的立方根是C．0的立方根是0D．的立方根是a（2）的立方根是（）A．B．C．D．（3）某數(shù)的立方根是它本身，這樣的數(shù)有（）A．1個B．2個C．3個D．4個（4）下列說法正確的是（）①正數(shù)都有平方根；②負(fù)數(shù)都有平方根，③正數(shù)都有立方根；④負(fù)數(shù)都有立方根；A．1個B．2個C．3個D．4個（5）若a立方比a大，則a滿足（）A．a(chǎn)<0B．0<a<1C．a(chǎn)>1D．以上都不對（6）下列運(yùn)算中不正確的是（）A．B．C．D．【鞏固】（1）若x的立方根是4，則x的平方根是______．（2）中的x的取值范圍是______，中的x的取值范圍是______．（3）－27的立方根與的平方根的和是______．（4）若則x與y的關(guān)系是______．（5）如果那么的值是______．（6）若則x＝______．（7）若m＜0，則=______．（8）若的立方根是4，則的平方根是______．二、對立方根的計算的考察求下列等式中的x：（1）若x3＝0．729，則x＝______；（2）x3＝，則x＝______；（3）若=，則x＝______；（4）若x3＝，則x＝______．求下列各式的值（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【鞏固】（1）填表：0．0000010．001110001000000（2）由上你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用語言敘述這個規(guī)律．（3）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：①已知，則=，=；②已知，，則=．的相反數(shù)是；的立方根是.若，則_____.若，，求所有可能值．三、立方根的綜合應(yīng)用平方根等于本身的數(shù)是，算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是，立方根等于它本身的數(shù)是；平方根與立方根相等的數(shù)是.若與互為相反數(shù)，求的立方根．已知的平方根是±2，的立方根是3，求的平方根．已知，，求的值(為正整數(shù)).已知的平方根是，的立方根是，求的平方根．已知的負(fù)的平方根是，的立方根是，求的平方根.已知，()，且()，，求的值.是的算術(shù)平方根，是的立方根，求的立方根.若和互為相反數(shù)，求的值.課后作業(yè)課后作業(yè)下列命題中，錯誤的命題個數(shù)是（）（1）沒有平方根；（2）100的算術(shù)平方根是10，記作

（3）數(shù)軸上的點(diǎn)不是表示有理數(shù)，就是表示無理數(shù)；（4）是最小的無理數(shù)．A．1個B．2個C．3個D．4個若，則下列等式成立的是（