平面解析幾何初步一輪復習-(有答案)

PAGE第四章平面解析幾何初步第1課時直線的方程基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．傾斜角:對于一條與x軸相交的直線,把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角α叫做直線的傾斜角．當直線和x軸平行或重合時，規(guī)定直線的傾斜角為0°．傾斜角的范圍為________．斜率:當直線的傾斜角α≠90°時，該直線的斜率即k＝tanα；當直線的傾斜角等于90°時，直線的斜率不存在．2．過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式．若x1＝x2，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°．3．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍斜截式點斜式兩點式截距式一般式典型例題典型例題例1.已知直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．①當m＝時，直線的傾斜角為45°．②當m＝時，直線在x軸上的截距為1．③當m＝時，直線在y軸上的截距為－．④當m＝時，直線與x軸平行．⑤當m＝時，直線過原點．解：(1)－1⑵2或－⑶或－2⑷－⑸變式訓練1.（1）直線3y＋eq\r(3)x＋2=0的傾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°（2）設(shè)直線的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直線上的三點，則x2，y3依次是（）A．－3，4B．2，－3C．4，－3D．4，（3）直線l1與l2關(guān)于x軸對稱，l1的斜率是－eq\r(7)，則l2的斜率是（）A．eq\r(7)B．－C．D．－eq\r(7)（4）直線l經(jīng)過兩點（1，－2），（－3，4），則該直線的方程是．解：（1）D．提示：直線的斜率即傾斜角的正切值是－．（2）C．提示：用斜率計算公式．（3）A．提示：兩直線的斜率互為相反數(shù)．（4）2y＋3x＋1=0．提示：用直線方程的兩點式或點斜式例2.已知三點A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求證：A、B、C三點在同一條直線上.證明方法一∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴kAB==2,kBC==2，∴kAB=kBC，∴A、B、C三點共線.方法二∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴|AB|=2，|BC|=，|AC|=3，∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三點共線.方法三∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴=（2，4），=（1，2），∴=2.又∵與有公共點B，∴A、B、C三點共線.變式訓練2.設(shè)a，b，c是互不相等的三個實數(shù)，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直線上，求證：a+b+c=0.證明∵A、B、C三點共線，∴kAB=kAC，∴，化簡得a2+ab+b2=a2+ac+c2，∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.例3.已知實數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).試求：的最大值與最小值.解：由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點P（-2，-3）與曲線段AB上任一點（x,y)的直線的斜率k,如圖可知：kPA≤k≤kPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），∴≤k≤8，故的最大值為8，最小值為.變式訓練3.若實數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值為 （）A. B. C. D.答案D例4.已知定點P(6,4)與直線l1:y＝4x，過點P的直線l與l1交于第一象限的Q點，與x軸正半軸交于點M．求使△OQM面積最小的直線l的方程．解：Q點在l1:y＝4x上，可設(shè)Q(x0，4x0)，則PQ的方程為：令y＝0，得：x＝(x0>1)，∴M(，0)則tan＝＝＝1k＝或k＝－，故所求直線l的方程為y＋1＝－(x－2)或y＋1＝(x－2)即7x＋3y＋11＝0或3x－7y－13＝0變式訓練2.某人在一山坡P處觀看對面山頂上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l，且點P在直線l上，l與水平地面的夾角為,tan=.試問，此人距水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大（不計此人的身高）？解如圖所示，建立平面直角坐標系，則A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直線l的方程為y=(x-200)tan,則y=.設(shè)點P的坐標為（x,y），則P（x,）(x＞200).由經(jīng)過兩點的直線的斜率公式kPC=,kPB=.由直線PC到直線PB的角的公式得tan∠BPC==(x＞200).要使tan∠BPC達到最大，只需x+-288達到最小，由均值不等式x+-288≥2-288,當且僅當x=時上式取得等號.故當x=320時，tan∠BPC最大.這時，點P的縱坐標y為y==60.由此實際問題知0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大時，∠BPC最大.故當此人距水平地面60米高時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.例3.直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若A、B坐標分別為A(－4，2)、B(3，1)，求點C的坐標并判斷△ABC的形狀．解：因為直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線，所以CA、CB所在直線關(guān)于y＝2x對稱，而A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x對稱點A1必在CB邊所在直線上設(shè)A1(x1，y1)則得即A1(4,－2)由A1(4,－2)，B(3,1)求得CB邊所在直線的方程為：3x＋y－10＝0又由解得C(2,4)又可求得：kBC＝－3，kAC＝∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形變式訓練3.三條直線l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能構(gòu)成三角形，求實數(shù)a的取值范圍。解：a∈R且a≠±1，a≠-2（提示：因三條直線能構(gòu)成三角形，故三條直線兩兩相交且不共點，即任意兩條直線都不平行且三線不共點。（1）若l1、l2、l3相交于同一點，則l1與l2的交點（-a-1，1）在直線l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此時a=1或a=-2。（2）若l1∥l2，則-1=-eq\f(1,a)，a=1。（3）若l1∥l3，則-1=-a，a=1。（4）若l2∥l3，則-eq\f(1,a)=-a，a=±1。）例4.設(shè)點A(－3，5)和B(2，15)，在直線l：3x－4y＋4＝0上找一點p，使為最小，并求出這個最小值．解：設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點A'的坐標為(a，b)，則由AA′⊥l和AA′被l平分，則解之得a＝3，b＝－3，∴A′＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝5∵kA′B＝＝－18∴A′B的方程為y＋3＝－18(x－3)解方程組得P(，3)變式訓練4：已知過點A（1，1）且斜率為－m(m>0)的直線l與x、y軸分別交于P、Q兩點，過P、Q作直線2x＋y＝0的垂線，垂足分別為R、S，求四邊形PRSQ的面積的最小值．解：設(shè)l的方程為y－1＝－m(x－1)，則P（1＋，0），Q（0，1＋m）從則直線PR：x－2y－＝0；直線QS：x－2y＋2(m＋1)＝0又PR∥QS∴|RS|＝＝又|PR|＝，|QS|＝而四邊形PRSQ為直角梯形，∴SPRSQ＝×()×＝(m＋＋)2－≥(2＋)2－＝3.6∴四邊形PRSQ的面積的最小值為3.6．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．處理兩直線位置關(guān)系的有關(guān)問題時，要注意其滿足的條件．如兩直線垂直時，有兩直線斜率都存在和斜率為O與斜率不存在的兩種直線垂直．2．注意數(shù)形結(jié)合，依據(jù)條件畫出圖形，充分利用平面圖形的性質(zhì)和圖形的直觀性，有助于問題的解決．3．利用直線系方程可少走彎路，使一些問題得到簡捷的解法．4．解決對稱問題中，若是成中心點對稱的，關(guān)鍵是運用中點公式，而對于軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點，其關(guān)鍵抓住兩點：一是對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中點在對稱軸上，如例4基礎(chǔ)過關(guān)第3課時線性規(guī)劃基礎(chǔ)過關(guān)1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域．⑴一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)不含邊界線，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)包括邊界線．⑵對于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(x、y)使得Ax＋By＋C的值符號相同．因此，如果直線Ax＋By＋C＝0一側(cè)的點使Ax＋By＋C>0，另一側(cè)的點就使Ax＋By＋C<0，所以判定不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面區(qū)域時，只要在直線Ax＋By＋C＝0的一側(cè)任意取一點(x0，y0)，將它的坐標代入不等式，如果該點的坐標滿足不等式，不等式就表示該點所在一側(cè)的平面區(qū)域；如果不滿足不等式，就表示這個點所在區(qū)域的另一側(cè)平面區(qū)域．⑶由幾個不等式組成的不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．2．線性規(guī)劃⑴基本概念名稱意義線性約束條件由x、y的一次不等式(或方程)組成的不等式組,是對x、y的約束條件目標函數(shù)關(guān)于x、y的解析式如：z＝2x＋y，z＝x2＋y2等線性目標函數(shù)關(guān)于x、y的一次解析式可行解滿足線性約束條件x、y的解（x，y）叫做可行解可行域所有可行解組成的集合叫做可行域最優(yōu)解使目標函數(shù)達到最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題⑵用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：①設(shè)出所求的未知數(shù)；②列出約束條件(即不等式組)；③建立目標函數(shù)；④作出可行域和目標函數(shù)的等值線；⑤運用圖解法即平行移動目標函數(shù)等值線，求出最優(yōu)解．（有些實際問題應(yīng)注意其整解性）典型例題典型例題例1.若△ABC的三個頂點為A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，寫出△ABC區(qū)域（含邊界）表示的二元一次不等式組．解：由兩點式得AB、BC、CA直線的方程并化簡得AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0，CA：2x＋y－5＝0結(jié)合區(qū)域圖易得不等式組為變式訓練1：△ABC的三個頂點為A(2，4)、B(－1，2)、C(1，0)，則△ABC的內(nèi)部(含邊界)可用二元一次不等式組表示為．ACyxB例2.已知x、y滿足約束條件ACyxB⑴z＝2x＋y⑵z＝4x－3y⑶z＝x2+y2的最大值、最小值？解：在直角坐標系中作出表示不等式組的公共區(qū)域如圖陰影部分．其中A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)(1)作與直線2x＋y＝0平行的直線l1：2x＋y＝t，則當l1經(jīng)過點A時，t取最大，l1經(jīng)過點B時，t取最?。鄗max＝9zmin＝－13(2)作與直線4x－3y＝0平行的直線l2：4x－3y＝t，則當l2過點C時，t最小，l2過點B時，t最大．∴zmax＝14zmin＝－18(3)由z＝x2＋y2，則表示點(x，y)到(0，0)的距離，結(jié)合不等式組表示的區(qū)域．知點B到原點的距離最大，當(x，y)為原點時距離為0．∴zmax＝37zmin＝0變式訓練2：給出平面區(qū)域如下圖所示，目標函數(shù)t＝ax－y，(1)若在區(qū)域上有無窮多個點(x，y)可使目標函數(shù)t取得最小值，求此時a的值．(2)若當且僅當x＝，y＝時，目標函數(shù)t取得最小值，求實數(shù)a的取值范圍？x0A(1,0)C(,)B(0,1)x0A(1,0)C(,)B(0,1)y要使t取得最小時的(x，y)有無窮多個，則y＝ax－t與AC重合．∴a＝kAC＝＝－(2)由KAC<a<KBC得－<a<－.例3.某木器廠生產(chǎn)圓桌子和衣柜兩種產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種木料，第一種72立方米，第二種有56立方米，假設(shè)生產(chǎn)每種產(chǎn)品都需要用兩種木料，生產(chǎn)一張圓桌需用第一種木料0.18立方米，第二種木料0.08立方米，可獲利潤6元，生產(chǎn)一個衣柜需用第一種木料0.09立方米解：設(shè)圓桌和衣柜的生產(chǎn)件數(shù)分別為x、y，所獲利潤為z，則：xy(0,800)M(350,100)(0,200)xy(0,800)M(350,100)(0,200)O則z＝6x＋10y作出可行域如圖．由得即M(350，100)由圖可知，當直線l：6x＋10y＝0平移到經(jīng)過點M(350，100)時，z＝6x＋10y最大，即當x＝350，y＝100時，，z＝6x＋10y最大．變式訓練3：某廠要生產(chǎn)甲種產(chǎn)品45個，乙種產(chǎn)品55個，可用原料為A、B兩種規(guī)格的金屬板，每張面積分別為2m2和3m2，用A種可造甲種產(chǎn)品3個和乙種產(chǎn)品5個，用B種可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個．問A、B兩種產(chǎn)品各取多少塊可保證完成任務(wù)，且使總的用料(面積解：設(shè)A種取x塊，B種取y塊，總用料為zm2，則AxyAxylO515z＝2x＋3y(x、y∈N)可行域如圖：最優(yōu)解為A(5，5)，x＝5，y＝5時，zmin＝25，即A、B兩種各取5塊時可保證完成任務(wù)，且總的用料(面積)最省為25m2例4.預(yù)算用2000元購買單價為50元桌子和20元的椅子，希望桌子的總數(shù)盡可能的多，但解：椅子的總數(shù)不能少于桌子的總數(shù)，但不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌椅各買多少才合適？設(shè)桌椅分別買x、y張，由題意得：由解得：∴點A(，)由解得∴點B(25，)滿足以上不等式組表示的區(qū)域是以A、B、O為頂點的△AOB及內(nèi)部設(shè)x＋y＝z，即y＝－x＋z；當直線過點B時，即x＝25，y＝，z最大．∵y∈z，∴y＝37∴買桌子25張，椅子37張是最優(yōu)選擇．變式訓練4：A1、A2兩煤礦分別有煤8萬噸和18萬噸，需通過外運能力分別為20萬噸和16萬噸的B1、B2兩車站外運，用汽車將煤運到車站，A1的煤運到B1、B2的運費分別為3元/噸和5元/噸，A2的煤運到B1、B2的運費分別為7元/噸和8元/噸，問如何設(shè)計調(diào)運方案可使總運費最少？xyA(8,12)l1O102018解：設(shè)A1運到B1x萬噸，A2運到B1y萬噸，總運費為z萬元，則A1運到B2(8－x)萬噸，A2運到B2(18－y)萬噸，z＝3x＋5(8－x)＋7y＋8(18－y)＝184－2xxyA(8,12)l1O102018可行域如圖陰影部分．當x＝8時，y＝12時，zmin＝156即A1的8萬噸煤全運到B1，A2運到12萬噸運到B1，剩余6萬噸運到B2，這時總運費最少為156萬元．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域：①直線確定邊界；②特殊點確定區(qū)域．2．線性規(guī)劃實際上是“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想的體現(xiàn)，是一種求最值的方法．3．把實際問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是本節(jié)的重難點，求解關(guān)鍵是根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解．而在考慮約束條件時，除數(shù)學概念的條件約束外，還要深入其境、考慮實際意義的約束．4．解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范。但最優(yōu)點不易辨別時，要逐一檢查基礎(chǔ)過關(guān)第4課時曲線與方程基礎(chǔ)過關(guān)、1．直接法求軌跡的一般步驟：建系設(shè)標，列式表標，化簡作答（除雜）．2．求曲線軌跡方程，常用的方法有：直接法、定義法、代入法（相關(guān)點法、轉(zhuǎn)移法）、參數(shù)法、交軌法等．典型例題典型例題例1.如圖所示，過點P（2，4）作互相垂直的直線l1、l2.若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點M的軌跡方程.解：設(shè)點M的坐標為（x,y）,∵M是線段AB的中點，∴A點的坐標為（2x,0），B點的坐標為（0，2y）.∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.∴線段AB中點M的軌跡方程為x+2y-5=0.變式訓練1：已知兩點M（-2，0）、N（2，0），點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足||||+·=0，求動點P（x，y）的軌跡方程.解由題意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,∵||||+·=0，∴·+（x-2）·4+y·0=0，兩邊平方，化簡得y2=-8x.例2.在△ABC中，A為動點，B、C為定點，B,C且滿足條件sinC-sinB=sinA,則動點A的軌跡方程是 （）A.=1(y≠0) B.=1(x≠0)C.=1（y≠0）的左支 D.=1（y≠0)的右支答案D變式訓練2：已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：（x-3）2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程.解如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因為|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.這表明動點M到兩定點C2，C1的距離之差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支（點M到C2的距離大，到C1的距離?。?，這里a=1,c=3,則b2=8,設(shè)點M的坐標為（x,y）,其軌跡方程為x2-=1(x≤-1).例3.如圖所示，已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.解設(shè)AB的中點為R，坐標為（x1，y1），Q點坐標為（x，y），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理有Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.又|AR|=|PR|=，所以有（x1-4）2+=36-（）.即-4x1-10=0.因為R為PQ的中點，所以x1=，y1=.代入方程-4x1-10=0，得·-10=0.整理得x2+y2=56.這就是Q點的軌跡方程.變式訓練3：設(shè)F（1，0），M點在x軸上，P點在y軸上，且=2，⊥，當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程.解設(shè)M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），∴即∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),∴(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+=0.小結(jié)歸納∴-x+=0,即y2=4x.故所求的點N的軌跡方程是y2=4x.小結(jié)歸納1．直接法求軌跡方程關(guān)鍵在于利用已知條件，找出動點滿足的等量關(guān)系，這個等量關(guān)系有的可直接利用已知條件，有的需要轉(zhuǎn)化后才能用．2．回歸定義是解決圓錐曲線軌跡問題的有效途徑．3．所求動點依賴于已知曲線上的動點的運動而運動，常用代入法求軌跡．第5課時圓的方程基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．圓心為C(a、b)，半徑為r的圓的標準方程為_________________．2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圓心為，半徑r＝．3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的方程的充要條件是．4．圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為_________．x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為________________．5．過兩圓的公共點的圓系方程：設(shè)⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，則經(jīng)過兩圓公共點的圓系方程為．典型例題典型例題例1.根據(jù)下列條件，求圓的方程．(1)經(jīng)過A(6，5)，B(0，1)兩點，并且圓心在直線3x＋10y＋9＝0上．(2)經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長為6．解：(1)∵AB的中垂線方程為3x＋2y－15＝0由解得∴圓心為C(7，－3)，半徑r＝故所求圓的方程為(x－7)2＋(y＋3)2＝65(2)設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0將P、Q兩點坐標代入得令y＝0得x2＋Dx＋F＝0由弦長|x1－x2|＝6得D2－4F＝36③解①②③可得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0變式訓練1：求過點A（2，－3），B（－2，－5），且圓心在直線x－2y－3=0上的圓的方程．由A（2，－3），B（－2，－5），得直線AB的斜率為kAB=eq\f(－5－(－3),－2－2)=eq\f(1,2),線段AB的中點為（0，－4），線段AB的中垂線方程為y＋4=－2x,即y＋2x＋4=0,解方程組得∴圓心為（－1，－2），根據(jù)兩點間的距離公式，得半徑r=eq\r((2+1)2＋(－3＋2)2)=eq\r(10)所求圓的方程為（x＋1)2＋(y＋2)2=10例2.已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ（O為坐標原點），求該圓的圓心坐標及半徑.解方法一將x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則y1、y2滿足條件：y1+y2=4,y1y2=∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此時Δ＞0,圓心坐標為,半徑r=.方法二如圖所示，設(shè)弦PQ中點為M，∵O1M⊥PQ，∴.∴O1M的方程為:y-3=2,即：y=2x+4.由方程組解得M的坐標為（-1，2）.則以PQ為直徑的圓可設(shè)為（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴點O在以PQ為直徑的圓上.∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2∴(3-2)2+5=∴m=3.∴半徑為,圓心為.方法三設(shè)過P、Q的圓系方程為x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，點O（0，0）在圓上.∴m-3=0，即m=3.∴圓的方程可化為x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.∴圓心M，又圓在PQ上.∴-+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.∴圓心為，半徑為.變式訓練2：已知圓C：（x-1）2+(y-2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).（1）證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C恒相交；（2）求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時的直線方程.（1）證明直線l可化為x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不論m取什么實數(shù)，它恒過兩直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點.兩方程聯(lián)立，解得交點為（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴點（3，1）在圓內(nèi)部，∴不論m為何實數(shù)，直線l與圓恒相交.（2）解從（1）的結(jié)論和直線l過定點M（3，1）且與過此點的圓C的半徑垂直時，l被圓所截的弦長|AB|最短，由垂徑定理得|AB|=2=此時，kt=-,從而kt=-=2.∴l(xiāng)的方程為y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3.知點P（x，y）是圓(x+2)2+y2=1上任意一點.（1）求P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解（1）圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為d=.∴P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=+1=，最小值為d-r=-1=.（2）設(shè)t=x-2y,則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點.∴≤1.∴--2≤t≤-2，∴tmax=-2，tmin=-2-.（3）設(shè)k=，則直線kx-y-k+2=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點，∴≤1.∴≤k≤,∴kmax=，kmin=.變式訓練3：已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解（1）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b=-2±.所以y-x的最大值為-2+，最小值為-2-. （2）x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值. 又圓心到原點的距離為=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4. 例4.設(shè)圓滿足：①截y軸所得的弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1．在滿足條件①②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程。解法一設(shè)圓的圓心為P（a,b),半徑為r，則點P到x軸y軸的距離分別為∣b∣、∣a∣。由題設(shè)條件知圓P截x軸所得的劣弧所對的圓心角為90°，圓P截x軸所得的弦長為eq\r(2)r，故r2=2b2．又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r2=a2＋1,從而得2b2=a2＋1．點P到直線x－2y=0的距離為d=,∴5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab=2a2＋2b2－4ab＋1=2(a－b)2＋當且僅當a=b時取等號，此時，5d2=1,d取得最小值．由a=b及2b2=a2＋1得，進而得r2=2所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2解法二同解法一，得d=，所以a－2b=±eq\r(5)da2=4b2±4eq\r(5)bd＋5d2,將a2=2b2－1代入整理得2b2±4eq\r(5)bd＋5d2＋1=0（※）把（※）看成關(guān)于b的二次方程，由于方程有實數(shù)根，故△≥0即8（5d2－1)≥0,5d2≥1可見5d2有最小值1，從而d有最小值eq\f(eq\r(5),5)，將其代入（※）式得2b2±4b＋2=0,b=±1,r2=2b2=2,a2=2b2－1=1,a=±1由∣a－2b∣=1知a、b同號故所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2變式訓練4：如圖，圖O1和圓O2的半徑都等于1，O1O2＝4，過動點P分別作圓O1和圓O2的切線PM、PN(M、N為切點)，使得PM＝PN，試建立平面直角坐標系，并求動點P的軌跡方程．O1O1O2NMPOxy－22O1O2NMP解：以O(shè)1、O2的中點為原點，O1O2所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，則O1(－2,0)、O2(2,0)．如圖：由PM＝PN得PM2＝2PN2∴PO12－1＝2(PO22－1)，設(shè)P(x，y)∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]即(x－6)2＋y2＝33為所求點P的軌跡方程．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．本節(jié)主要復習了圓的軌跡方程，要明確：必須具備三個獨立條件，才能確定一個圓的方程．2．求圓的方程時一般用待定系數(shù)法：若已知條件與圓心、半徑有關(guān)，可先由已知條件求出圓的半徑，用標準方程求解；若條件涉及過幾點，往往可考慮用一般方程；若所求的圓過兩已知圓的交點，則一般用圓系方程．3．求圓方程時,若能運用幾何性質(zhì),如垂徑定理等往往能簡化計算．4．運用圓的參數(shù)方程求距離的最值往往較方便．5．點與圓的位置關(guān)系可通過點的坐標代入圓的方程或點與圓心之間的距離與半徑的大小比較來確定.基礎(chǔ)過關(guān)第6課時直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)1．直線與圓的位置關(guān)系將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為△，圓心C到直線l的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：相切d＝r△＝0相交相離2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為R和r(R≥r)，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系滿足以下條件：外離d>R＋r外切相交內(nèi)切內(nèi)含3.圓的切線方程①圓x2＋y2＝r2上一點p(x0,y0)處的切線方程為l:.②圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點p(x0,y0)處的切線方程為l:.③圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點p(x0,y0)處的切線方程為.典型例題典型例題PP2P1P(4，2)xyO例1.過⊙：x2＋y2＝2外一點P(4，2)向圓引切線．⑴求過點P的圓的切線方程．⑵若切點為P1、P2求過切點P1、P2的直線方程．解：(1)設(shè)過點P(4，2)的切線方程為y－2＝k(x－4)即kx－y+2－4k＝0①則d＝∴＝解得k＝1或k＝∴切線方程為：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0(2)設(shè)切點Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，則兩切線的方程可寫成l1:x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２因為點(4，2)在l1和l2上．則有4x1＋2y1＝24x2＋2y2＝2這表明兩點都在直線4x＋2y＝2上，由于兩點只能確定一條直線，故直線2x＋y－1＝0即為所求變式訓練1：（1）已知點P(1，2)和圓C：，過P作C的切線有兩條，則k的取值范圍是()

A.k∈RＢ.k＜Ｃ.D.（2）設(shè)集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},當A∩B=B時，r的取值范圍是（）A．（0，eq\r(2)－1）B．（0，1]C．（0，2－eq\r(2)]D．（0，eq\r(2)]（3）若實數(shù)x、y滿足等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么的最大值為()

A.Ｂ.Ｃ.Ｄ.（4）過點M且被圓截得弦長為8的直線的方程為．（5）圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過兩圓和的交點的圓的方程是.解：（1）D．提示：P在圓外．（2）C．提示：兩圓內(nèi)切或內(nèi)含．（3）D．提示：從純代數(shù)角度看，設(shè)t=,則y=tx，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可解得t的范圍。從數(shù)形結(jié)合角度看，是圓上一點與原