平面解析幾何初步一輪復(fù)習(xí)-(有答案)

PAGE第四章平面解析幾何初步第1課時(shí)直線的方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．傾斜角:對(duì)于一條與x軸相交的直線,把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角α叫做直線的傾斜角．當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線的傾斜角為0°．傾斜角的范圍為_(kāi)_______．斜率:當(dāng)直線的傾斜角α≠90°時(shí)，該直線的斜率即k＝tanα；當(dāng)直線的傾斜角等于90°時(shí)，直線的斜率不存在．2．過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式．若x1＝x2，則直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°．3．直線方程的五種形式名稱(chēng)方程適用范圍斜截式點(diǎn)斜式兩點(diǎn)式截距式一般式典型例題典型例題例1.已知直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．①當(dāng)m＝時(shí)，直線的傾斜角為45°．②當(dāng)m＝時(shí)，直線在x軸上的截距為1．③當(dāng)m＝時(shí)，直線在y軸上的截距為－．④當(dāng)m＝時(shí)，直線與x軸平行．⑤當(dāng)m＝時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)．解：(1)－1⑵2或－⑶或－2⑷－⑸變式訓(xùn)練1.（1）直線3y＋eq\r(3)x＋2=0的傾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°（2）設(shè)直線的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直線上的三點(diǎn)，則x2，y3依次是（）A．－3，4B．2，－3C．4，－3D．4，（3）直線l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，l1的斜率是－eq\r(7)，則l2的斜率是（）A．eq\r(7)B．－C．D．－eq\r(7)（4）直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（1，－2），（－3，4），則該直線的方程是．解：（1）D．提示：直線的斜率即傾斜角的正切值是－．（2）C．提示：用斜率計(jì)算公式．（3）A．提示：兩直線的斜率互為相反數(shù)．（4）2y＋3x＋1=0．提示：用直線方程的兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式例2.已知三點(diǎn)A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求證：A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上.證明方法一∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴kAB==2,kBC==2，∴kAB=kBC，∴A、B、C三點(diǎn)共線.方法二∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴|AB|=2，|BC|=，|AC|=3，∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三點(diǎn)共線.方法三∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴=（2，4），=（1，2），∴=2.又∵與有公共點(diǎn)B，∴A、B、C三點(diǎn)共線.變式訓(xùn)練2.設(shè)a，b，c是互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直線上，求證：a+b+c=0.證明∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴kAB=kAC，∴，化簡(jiǎn)得a2+ab+b2=a2+ac+c2，∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.例3.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).試求：的最大值與最小值.解：由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（-2，-3）與曲線段AB上任一點(diǎn)（x,y)的直線的斜率k,如圖可知：kPA≤k≤kPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），∴≤k≤8，故的最大值為8，最小值為.變式訓(xùn)練3.若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值為 （）A. B. C. D.答案D例4.已知定點(diǎn)P(6,4)與直線l1:y＝4x，過(guò)點(diǎn)P的直線l與l1交于第一象限的Q點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)M．求使△OQM面積最小的直線l的方程．解：Q點(diǎn)在l1:y＝4x上，可設(shè)Q(x0，4x0)，則PQ的方程為：令y＝0，得：x＝(x0>1)，∴M(，0)則tan＝＝＝1k＝或k＝－，故所求直線l的方程為y＋1＝－(x－2)或y＋1＝(x－2)即7x＋3y＋11＝0或3x－7y－13＝0變式訓(xùn)練2.某人在一山坡P處觀看對(duì)面山頂上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l，且點(diǎn)P在直線l上，l與水平地面的夾角為,tan=.試問(wèn)，此人距水平地面多高時(shí)，觀看塔的視角∠BPC最大（不計(jì)此人的身高）？解如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直線l的方程為y=(x-200)tan,則y=.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），則P（x,）(x＞200).由經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式kPC=,kPB=.由直線PC到直線PB的角的公式得tan∠BPC==(x＞200).要使tan∠BPC達(dá)到最大，只需x+-288達(dá)到最小，由均值不等式x+-288≥2-288,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)上式取得等號(hào).故當(dāng)x=320時(shí)，tan∠BPC最大.這時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y為y==60.由此實(shí)際問(wèn)題知0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大時(shí)，∠BPC最大.故當(dāng)此人距水平地面60米高時(shí)，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.例3.直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若A、B坐標(biāo)分別為A(－4，2)、B(3，1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)并判斷△ABC的形狀．解：因?yàn)橹本€y＝2x是△ABC中∠C的平分線，所以CA、CB所在直線關(guān)于y＝2x對(duì)稱(chēng)，而A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1必在CB邊所在直線上設(shè)A1(x1，y1)則得即A1(4,－2)由A1(4,－2)，B(3,1)求得CB邊所在直線的方程為：3x＋y－10＝0又由解得C(2,4)又可求得：kBC＝－3，kAC＝∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形變式訓(xùn)練3.三條直線l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：a∈R且a≠±1，a≠-2（提示：因三條直線能構(gòu)成三角形，故三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，即任意兩條直線都不平行且三線不共點(diǎn)。（1）若l1、l2、l3相交于同一點(diǎn)，則l1與l2的交點(diǎn)（-a-1，1）在直線l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此時(shí)a=1或a=-2。（2）若l1∥l2，則-1=-eq\f(1,a)，a=1。（3）若l1∥l3，則-1=-a，a=1。（4）若l2∥l3，則-eq\f(1,a)=-a，a=±1。）例4.設(shè)點(diǎn)A(－3，5)和B(2，15)，在直線l：3x－4y＋4＝0上找一點(diǎn)p，使為最小，并求出這個(gè)最小值．解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(a，b)，則由AA′⊥l和AA′被l平分，則解之得a＝3，b＝－3，∴A′＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝5∵kA′B＝＝－18∴A′B的方程為y＋3＝－18(x－3)解方程組得P(，3)變式訓(xùn)練4：已知過(guò)點(diǎn)A（1，1）且斜率為－m(m>0)的直線l與x、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)P、Q作直線2x＋y＝0的垂線，垂足分別為R、S，求四邊形PRSQ的面積的最小值．解：設(shè)l的方程為y－1＝－m(x－1)，則P（1＋，0），Q（0，1＋m）從則直線PR：x－2y－＝0；直線QS：x－2y＋2(m＋1)＝0又PR∥QS∴|RS|＝＝又|PR|＝，|QS|＝而四邊形PRSQ為直角梯形，∴SPRSQ＝×()×＝(m＋＋)2－≥(2＋)2－＝3.6∴四邊形PRSQ的面積的最小值為3.6．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．處理兩直線位置關(guān)系的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意其滿(mǎn)足的條件．如兩直線垂直時(shí)，有兩直線斜率都存在和斜率為O與斜率不存在的兩種直線垂直．2．注意數(shù)形結(jié)合，依據(jù)條件畫(huà)出圖形，充分利用平面圖形的性質(zhì)和圖形的直觀性，有助于問(wèn)題的解決．3．利用直線系方程可少走彎路，使一些問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解法．4．解決對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中，若是成中心點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，關(guān)鍵是運(yùn)用中點(diǎn)公式，而對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，其關(guān)鍵抓住兩點(diǎn)：一是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱(chēng)軸垂直；二是兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，如例4基礎(chǔ)過(guò)關(guān)第3課時(shí)線性規(guī)劃基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域．⑴一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(半平面)不含邊界線，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)包括邊界線．⑵對(duì)于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x、y)使得Ax＋By＋C的值符號(hào)相同．因此，如果直線Ax＋By＋C＝0一側(cè)的點(diǎn)使Ax＋By＋C>0，另一側(cè)的點(diǎn)就使Ax＋By＋C<0，所以判定不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面區(qū)域時(shí)，只要在直線Ax＋By＋C＝0的一側(cè)任意取一點(diǎn)(x0，y0)，將它的坐標(biāo)代入不等式，如果該點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足不等式，不等式就表示該點(diǎn)所在一側(cè)的平面區(qū)域；如果不滿(mǎn)足不等式，就表示這個(gè)點(diǎn)所在區(qū)域的另一側(cè)平面區(qū)域．⑶由幾個(gè)不等式組成的不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．2．線性規(guī)劃⑴基本概念名稱(chēng)意義線性約束條件由x、y的一次不等式(或方程)組成的不等式組,是對(duì)x、y的約束條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x、y的解析式如：z＝2x＋y，z＝x2＋y2等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x、y的一次解析式可行解滿(mǎn)足線性約束條件x、y的解（x，y）叫做可行解可行域所有可行解組成的集合叫做可行域最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題⑵用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：①設(shè)出所求的未知數(shù)；②列出約束條件(即不等式組)；③建立目標(biāo)函數(shù)；④作出可行域和目標(biāo)函數(shù)的等值線；⑤運(yùn)用圖解法即平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)等值線，求出最優(yōu)解．（有些實(shí)際問(wèn)題應(yīng)注意其整解性）典型例題典型例題例1.若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，寫(xiě)出△ABC區(qū)域（含邊界）表示的二元一次不等式組．解：由兩點(diǎn)式得AB、BC、CA直線的方程并化簡(jiǎn)得AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0，CA：2x＋y－5＝0結(jié)合區(qū)域圖易得不等式組為變式訓(xùn)練1：△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(2，4)、B(－1，2)、C(1，0)，則△ABC的內(nèi)部(含邊界)可用二元一次不等式組表示為．ACyxB例2.已知x、y滿(mǎn)足約束條件ACyxB⑴z＝2x＋y⑵z＝4x－3y⑶z＝x2+y2的最大值、最小值？解：在直角坐標(biāo)系中作出表示不等式組的公共區(qū)域如圖陰影部分．其中A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)(1)作與直線2x＋y＝0平行的直線l1：2x＋y＝t，則當(dāng)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，t取最大，l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，t取最?。鄗max＝9zmin＝－13(2)作與直線4x－3y＝0平行的直線l2：4x－3y＝t，則當(dāng)l2過(guò)點(diǎn)C時(shí)，t最小，l2過(guò)點(diǎn)B時(shí)，t最大．∴zmax＝14zmin＝－18(3)由z＝x2＋y2，則表示點(diǎn)(x，y)到(0，0)的距離，結(jié)合不等式組表示的區(qū)域．知點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離最大，當(dāng)(x，y)為原點(diǎn)時(shí)距離為0．∴zmax＝37zmin＝0變式訓(xùn)練2：給出平面區(qū)域如下圖所示，目標(biāo)函數(shù)t＝ax－y，(1)若在區(qū)域上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)(x，y)可使目標(biāo)函數(shù)t取得最小值，求此時(shí)a的值．(2)若當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝時(shí)，目標(biāo)函數(shù)t取得最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？x0A(1,0)C(,)B(0,1)x0A(1,0)C(,)B(0,1)y要使t取得最小時(shí)的(x，y)有無(wú)窮多個(gè)，則y＝ax－t與AC重合．∴a＝kAC＝＝－(2)由KAC<a<KBC得－<a<－.例3.某木器廠生產(chǎn)圓桌子和衣柜兩種產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種木料，第一種72立方米，第二種有56立方米，假設(shè)生產(chǎn)每種產(chǎn)品都需要用兩種木料，生產(chǎn)一張圓桌需用第一種木料0.18立方米，第二種木料0.08立方米，可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)衣柜需用第一種木料0.09立方米解：設(shè)圓桌和衣柜的生產(chǎn)件數(shù)分別為x、y，所獲利潤(rùn)為z，則：xy(0,800)M(350,100)(0,200)xy(0,800)M(350,100)(0,200)O則z＝6x＋10y作出可行域如圖．由得即M(350，100)由圖可知，當(dāng)直線l：6x＋10y＝0平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(350，100)時(shí)，z＝6x＋10y最大，即當(dāng)x＝350，y＝100時(shí)，，z＝6x＋10y最大．變式訓(xùn)練3：某廠要生產(chǎn)甲種產(chǎn)品45個(gè)，乙種產(chǎn)品55個(gè)，可用原料為A、B兩種規(guī)格的金屬板，每張面積分別為2m2和3m2，用A種可造甲種產(chǎn)品3個(gè)和乙種產(chǎn)品5個(gè)，用B種可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個(gè)．問(wèn)A、B兩種產(chǎn)品各取多少塊可保證完成任務(wù)，且使總的用料(面積解：設(shè)A種取x塊，B種取y塊，總用料為zm2，則AxyAxylO515z＝2x＋3y(x、y∈N)可行域如圖：最優(yōu)解為A(5，5)，x＝5，y＝5時(shí)，zmin＝25，即A、B兩種各取5塊時(shí)可保證完成任務(wù)，且總的用料(面積)最省為25m2例4.預(yù)算用2000元購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為50元桌子和20元的椅子，希望桌子的總數(shù)盡可能的多，但解：椅子的總數(shù)不能少于桌子的總數(shù)，但不多于桌子數(shù)的1.5倍，問(wèn)桌椅各買(mǎi)多少才合適？設(shè)桌椅分別買(mǎi)x、y張，由題意得：由解得：∴點(diǎn)A(，)由解得∴點(diǎn)B(25，)滿(mǎn)足以上不等式組表示的區(qū)域是以A、B、O為頂點(diǎn)的△AOB及內(nèi)部設(shè)x＋y＝z，即y＝－x＋z；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，即x＝25，y＝，z最大．∵y∈z，∴y＝37∴買(mǎi)桌子25張，椅子37張是最優(yōu)選擇．變式訓(xùn)練4：A1、A2兩煤礦分別有煤8萬(wàn)噸和18萬(wàn)噸，需通過(guò)外運(yùn)能力分別為20萬(wàn)噸和16萬(wàn)噸的B1、B2兩車(chē)站外運(yùn)，用汽車(chē)將煤運(yùn)到車(chē)站，A1的煤運(yùn)到B1、B2的運(yùn)費(fèi)分別為3元/噸和5元/噸，A2的煤運(yùn)到B1、B2的運(yùn)費(fèi)分別為7元/噸和8元/噸，問(wèn)如何設(shè)計(jì)調(diào)運(yùn)方案可使總運(yùn)費(fèi)最少？xyA(8,12)l1O102018解：設(shè)A1運(yùn)到B1x萬(wàn)噸，A2運(yùn)到B1y萬(wàn)噸，總運(yùn)費(fèi)為z萬(wàn)元，則A1運(yùn)到B2(8－x)萬(wàn)噸，A2運(yùn)到B2(18－y)萬(wàn)噸，z＝3x＋5(8－x)＋7y＋8(18－y)＝184－2xxyA(8,12)l1O102018可行域如圖陰影部分．當(dāng)x＝8時(shí)，y＝12時(shí)，zmin＝156即A1的8萬(wàn)噸煤全運(yùn)到B1，A2運(yùn)到12萬(wàn)噸運(yùn)到B1，剩余6萬(wàn)噸運(yùn)到B2，這時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少為156萬(wàn)元．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域：①直線確定邊界；②特殊點(diǎn)確定區(qū)域．2．線性規(guī)劃實(shí)際上是“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是一種求最值的方法．3．把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是本節(jié)的重難點(diǎn)，求解關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解．而在考慮約束條件時(shí)，除數(shù)學(xué)概念的條件約束外，還要深入其境、考慮實(shí)際意義的約束．4．解線性規(guī)劃問(wèn)題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范。但最優(yōu)點(diǎn)不易辨別時(shí)，要逐一檢查基礎(chǔ)過(guò)關(guān)第4課時(shí)曲線與方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)、1．直接法求軌跡的一般步驟：建系設(shè)標(biāo)，列式表標(biāo)，化簡(jiǎn)作答（除雜）．2．求曲線軌跡方程，常用的方法有：直接法、定義法、代入法（相關(guān)點(diǎn)法、轉(zhuǎn)移法）、參數(shù)法、交軌法等．典型例題典型例題例1.如圖所示，過(guò)點(diǎn)P（2，4）作互相垂直的直線l1、l2.若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程.解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2x,0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2y）.∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.∴線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.變式訓(xùn)練1：已知兩點(diǎn)M（-2，0）、N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足||||+·=0，求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程.解由題意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,∵||||+·=0，∴·+（x-2）·4+y·0=0，兩邊平方，化簡(jiǎn)得y2=-8x.例2.在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B,C且滿(mǎn)足條件sinC-sinB=sinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是 （）A.=1(y≠0) B.=1(x≠0)C.=1（y≠0）的左支 D.=1（y≠0)的右支答案D變式訓(xùn)練2：已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：（x-3）2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因?yàn)閨MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1的距離之差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M到C2的距離大，到C1的距離?。@里a=1,c=3,則b2=8,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,其軌跡方程為x2-=1(x≤-1).例3.如圖所示，已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.解設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為（x1，y1），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理有Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.又|AR|=|PR|=，所以有（x1-4）2+=36-（）.即-4x1-10=0.因?yàn)镽為PQ的中點(diǎn)，所以x1=，y1=.代入方程-4x1-10=0，得·-10=0.整理得x2+y2=56.這就是Q點(diǎn)的軌跡方程.變式訓(xùn)練3：設(shè)F（1，0），M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且=2，⊥，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程.解設(shè)M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），∴即∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),∴(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+=0.小結(jié)歸納∴-x+=0,即y2=4x.故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y2=4x.小結(jié)歸納1．直接法求軌跡方程關(guān)鍵在于利用已知條件，找出動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的等量關(guān)系，這個(gè)等量關(guān)系有的可直接利用已知條件，有的需要轉(zhuǎn)化后才能用．2．回歸定義是解決圓錐曲線軌跡問(wèn)題的有效途徑．3．所求動(dòng)點(diǎn)依賴(lài)于已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，常用代入法求軌跡．第5課時(shí)圓的方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．圓心為C(a、b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)________________．2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圓心為，半徑r＝．3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的方程的充要條件是．4．圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為_(kāi)________．x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為_(kāi)_______________．5．過(guò)兩圓的公共點(diǎn)的圓系方程：設(shè)⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，則經(jīng)過(guò)兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為．典型例題典型例題例1.根據(jù)下列條件，求圓的方程．(1)經(jīng)過(guò)A(6，5)，B(0，1)兩點(diǎn)，并且圓心在直線3x＋10y＋9＝0上．(2)經(jīng)過(guò)P(－2，4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6．解：(1)∵AB的中垂線方程為3x＋2y－15＝0由解得∴圓心為C(7，－3)，半徑r＝故所求圓的方程為(x－7)2＋(y＋3)2＝65(2)設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0將P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得令y＝0得x2＋Dx＋F＝0由弦長(zhǎng)|x1－x2|＝6得D2－4F＝36③解①②③可得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0變式訓(xùn)練1：求過(guò)點(diǎn)A（2，－3），B（－2，－5），且圓心在直線x－2y－3=0上的圓的方程．由A（2，－3），B（－2，－5），得直線AB的斜率為kAB=eq\f(－5－(－3),－2－2)=eq\f(1,2),線段AB的中點(diǎn)為（0，－4），線段AB的中垂線方程為y＋4=－2x,即y＋2x＋4=0,解方程組得∴圓心為（－1，－2），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑r=eq\r((2+1)2＋(－3＋2)2)=eq\r(10)所求圓的方程為（x＋1)2＋(y＋2)2=10例2.已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.解方法一將x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則y1、y2滿(mǎn)足條件：y1+y2=4,y1y2=∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此時(shí)Δ＞0,圓心坐標(biāo)為,半徑r=.方法二如圖所示，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M，∵O1M⊥PQ，∴.∴O1M的方程為:y-3=2,即：y=2x+4.由方程組解得M的坐標(biāo)為（-1，2）.則以PQ為直徑的圓可設(shè)為（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上.∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2∴(3-2)2+5=∴m=3.∴半徑為,圓心為.方法三設(shè)過(guò)P、Q的圓系方程為x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，點(diǎn)O（0，0）在圓上.∴m-3=0，即m=3.∴圓的方程可化為x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.∴圓心M，又圓在PQ上.∴-+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.∴圓心為，半徑為.變式訓(xùn)練2：已知圓C：（x-1）2+(y-2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒相交；（2）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)的直線方程.（1）證明直線l可化為x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不論m取什么實(shí)數(shù)，它恒過(guò)兩直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點(diǎn).兩方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)為（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴點(diǎn)（3，1）在圓內(nèi)部，∴不論m為何實(shí)數(shù)，直線l與圓恒相交.（2）解從（1）的結(jié)論和直線l過(guò)定點(diǎn)M（3，1）且與過(guò)此點(diǎn)的圓C的半徑垂直時(shí)，l被圓所截的弦長(zhǎng)|AB|最短，由垂徑定理得|AB|=2=此時(shí)，kt=-,從而kt=-=2.∴l(xiāng)的方程為y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3.知點(diǎn)P（x，y）是圓(x+2)2+y2=1上任意一點(diǎn).（1）求P點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解（1）圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為d=.∴P點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=+1=，最小值為d-r=-1=.（2）設(shè)t=x-2y,則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點(diǎn).∴≤1.∴--2≤t≤-2，∴tmax=-2，tmin=-2-.（3）設(shè)k=，則直線kx-y-k+2=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點(diǎn)，∴≤1.∴≤k≤,∴kmax=，kmin=.變式訓(xùn)練3：已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解（1）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b=-2±.所以y-x的最大值為-2+，最小值為-2-. （2）x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值. 又圓心到原點(diǎn)的距離為=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4. 例4.設(shè)圓滿(mǎn)足：①截y軸所得的弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3∶1．在滿(mǎn)足條件①②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程。解法一設(shè)圓的圓心為P（a,b),半徑為r，則點(diǎn)P到x軸y軸的距離分別為∣b∣、∣a∣。由題設(shè)條件知圓P截x軸所得的劣弧所對(duì)的圓心角為90°，圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為eq\r(2)r，故r2=2b2．又圓P截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，所以有r2=a2＋1,從而得2b2=a2＋1．點(diǎn)P到直線x－2y=0的距離為d=,∴5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab=2a2＋2b2－4ab＋1=2(a－b)2＋當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，5d2=1,d取得最小值．由a=b及2b2=a2＋1得，進(jìn)而得r2=2所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2解法二同解法一，得d=，所以a－2b=±eq\r(5)da2=4b2±4eq\r(5)bd＋5d2,將a2=2b2－1代入整理得2b2±4eq\r(5)bd＋5d2＋1=0（※）把（※）看成關(guān)于b的二次方程，由于方程有實(shí)數(shù)根，故△≥0即8（5d2－1)≥0,5d2≥1可見(jiàn)5d2有最小值1，從而d有最小值eq\f(eq\r(5),5)，將其代入（※）式得2b2±4b＋2=0,b=±1,r2=2b2=2,a2=2b2－1=1,a=±1由∣a－2b∣=1知a、b同號(hào)故所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2變式訓(xùn)練4：如圖，圖O1和圓O2的半徑都等于1，O1O2＝4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1和圓O2的切線PM、PN(M、N為切點(diǎn))，使得PM＝PN，試建立平面直角坐標(biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．O1O1O2NMPOxy－22O1O2NMP解：以O(shè)1、O2的中點(diǎn)為原點(diǎn)，O1O2所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則O1(－2,0)、O2(2,0)．如圖：由PM＝PN得PM2＝2PN2∴PO12－1＝2(PO22－1)，設(shè)P(x，y)∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]即(x－6)2＋y2＝33為所求點(diǎn)P的軌跡方程．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．本節(jié)主要復(fù)習(xí)了圓的軌跡方程，要明確：必須具備三個(gè)獨(dú)立條件，才能確定一個(gè)圓的方程．2．求圓的方程時(shí)一般用待定系數(shù)法：若已知條件與圓心、半徑有關(guān)，可先由已知條件求出圓的半徑，用標(biāo)準(zhǔn)方程求解；若條件涉及過(guò)幾點(diǎn)，往往可考慮用一般方程；若所求的圓過(guò)兩已知圓的交點(diǎn)，則一般用圓系方程．3．求圓方程時(shí),若能運(yùn)用幾何性質(zhì),如垂徑定理等往往能簡(jiǎn)化計(jì)算．4．運(yùn)用圓的參數(shù)方程求距離的最值往往較方便．5．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程或點(diǎn)與圓心之間的距離與半徑的大小比較來(lái)確定.基礎(chǔ)過(guò)關(guān)第6課時(shí)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．直線與圓的位置關(guān)系將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為△，圓心C到直線l的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系滿(mǎn)足以下關(guān)系：相切d＝r△＝0相交相離2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為R和r(R≥r)，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系滿(mǎn)足以下條件：外離d>R＋r外切相交內(nèi)切內(nèi)含3.圓的切線方程①圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)p(x0,y0)處的切線方程為l:.②圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)p(x0,y0)處的切線方程為l:.③圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點(diǎn)p(x0,y0)處的切線方程為.典型例題典型例題PP2P1P(4，2)xyO例1.過(guò)⊙：x2＋y2＝2外一點(diǎn)P(4，2)向圓引切線．⑴求過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程．⑵若切點(diǎn)為P1、P2求過(guò)切點(diǎn)P1、P2的直線方程．解：(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(4，2)的切線方程為y－2＝k(x－4)即kx－y+2－4k＝0①則d＝∴＝解得k＝1或k＝∴切線方程為：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0(2)設(shè)切點(diǎn)Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，則兩切線的方程可寫(xiě)成l1:x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２因?yàn)辄c(diǎn)(4，2)在l1和l2上．則有4x1＋2y1＝24x2＋2y2＝2這表明兩點(diǎn)都在直線4x＋2y＝2上，由于兩點(diǎn)只能確定一條直線，故直線2x＋y－1＝0即為所求變式訓(xùn)練1：（1）已知點(diǎn)P(1，2)和圓C：，過(guò)P作C的切線有兩條，則k的取值范圍是()

A.k∈RＢ.k＜Ｃ.D.（2）設(shè)集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},當(dāng)A∩B=B時(shí)，r的取值范圍是（）A．（0，eq\r(2)－1）B．（0，1]C．（0，2－eq\r(2)]D．（0，eq\r(2)]（3）若實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么的最大值為()

A.Ｂ.Ｃ.Ｄ.（4）過(guò)點(diǎn)M且被圓截得弦長(zhǎng)為8的直線的方程為．（5）圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過(guò)兩圓和的交點(diǎn)的圓的方程是.解：（1）D．提示：P在圓外．（2）C．提示：兩圓內(nèi)切或內(nèi)含．（3）D．提示：從純代數(shù)角度看，設(shè)t=,則y=tx，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可解得t的范圍。從數(shù)形結(jié)合角度看，是圓上一點(diǎn)與原