空間向量與線性運(yùn)算(重難點(diǎn)突破)解析版

1.1.1空間向量與線性運(yùn)算（一）、回顧平面向量1.平面向量的概念名稱定義備注向量既有又有的量。向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度等于0的向量，其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量與非零向量QUOTE共線的單位向量為平行向量(或共線向量)方向的向量0與任一向量平行（或共線）相等向量長(zhǎng)度且方向的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比大小相反向量長(zhǎng)度且方向的向量0的相反向量為2.向量的線性運(yùn)算（1）加法：是指求兩個(gè)向量和的運(yùn)算；法則（幾何意義）：三角形法則、平行四邊形法則。（2）減法：是指求QUOTE與QUOTE的相反向量的和的運(yùn)算叫做QUOTE與QUOTE的差；法則（幾何意義）：三角形法則。（3）數(shù)乘：是指求實(shí)數(shù)QUOTE與向量QUOTE的積的運(yùn)算；法則（幾何意義）：①Q(mào)UOTE；②當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE與QUOTE的方向；③當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE與QUOTE的方向；④四QUOTE時(shí)，QUOTE=.3.共線向量定理向量與QUOTE共線的充要條件是，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得QUOTE。4.平面向量基本定理如果QUOTE是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量QUOTE，一對(duì)實(shí)數(shù)QUOTE使QUOTE，其中不共線的向量QUOTE叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。結(jié)論：（1）若向量QUOTE，QUOTE不共線，則QUOTE的等價(jià)條件是QUOTE；（2）三終點(diǎn)A,B,C共線存在實(shí)數(shù)QUOTE使得QUOTE=QUOTE，且QUOTE5.兩個(gè)向量的夾角（1）定義：一直兩個(gè)非零向量QUOTE，作QUOTE，則∠QUOTE叫做QUOTE與QUOTE的夾角。（2）范圍：夾角QUOTE的取值范圍是。①當(dāng)QUOTE與QUOTE同向時(shí)，QUOTE=；②反向時(shí)，QUOTE=；③當(dāng)QUOTE與QUOTE垂直時(shí)，QUOTE=，并記作QUOTE⊥QUOTE。6.兩向量的夾角分別是銳角與鈍角的充要條件（1）QUOTE與QUOTE的夾角是銳角QUOTE·QUOTE0且QUOTE與QUOTE不共線；（2）QUOTE與QUOTE的夾角是鈍角QUOTE·QUOTE0且QUOTE與QUOTE不共線。（二）、學(xué)習(xí)空間向量知識(shí)點(diǎn)一：空間向量的有關(guān)概念1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算(1)、向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運(yùn)算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算①定義：實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)λ>0時(shí)，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|λ|倍．②運(yùn)算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識(shí)點(diǎn)三：共線問(wèn)題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識(shí)點(diǎn)四：向量共面問(wèn)題共面向量(1)定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）。重難點(diǎn)題型突破1空間向量的有關(guān)概念例1、（1）．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的相反向量不相等B．和平面向量類似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小C．如果，則D．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同【答案】A【分析】由零向量的定義可判斷AC，由向量的性質(zhì)可判斷BD.【詳解】對(duì)于A，零向量的相反向量是它本身，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，空間向量是有向線段，不能比較大小，B正確；對(duì)于C，如果，則，C正確；對(duì)于D，兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，D正確.故選：A.（2）.（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）(多選題)下列命題中為真命題的是（）A．向量與的長(zhǎng)度相等B．將空間中所有單位向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量【答案】AD【解析】【分析】直接利用平面向量的定義，相等向量，相反向量的定義，空間向量的定義判定A、B、C、D的真假性．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：向量與是相反向量，長(zhǎng)度相等，故A為真命題．對(duì)于選項(xiàng)B：將空間中所有單位向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球，故B為假命題．對(duì)于選項(xiàng)C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但是不是有向線段，故C為假命題．對(duì)于選項(xiàng)D：方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量，符合相等向量的定義，故D為真命題．故選：AD【變式訓(xùn)練1-1】、（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．空間的任意三個(gè)向量都不共面B．空間的任意兩個(gè)向量都共面C．三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面D．若三向量?jī)蓛晒裁妫瑒t這三個(gè)向量一定也共面【答案】ACD【分析】A.畫圖舉例判斷；B.利用相等向量判斷；C.畫圖舉例判斷；D.畫圖舉例判斷；【詳解】A.如圖所示：，三個(gè)向量共面，故錯(cuò)誤；B.由相等向量知：通過(guò)平移，兩個(gè)向量的起點(diǎn)總可以在同一點(diǎn)，故兩個(gè)向量都共面，故正確；C.如圖所示：，在正方體中三個(gè)向量共面，但它們所在的直線不共面，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：，在正方體中三向量?jī)蓛晒裁?，但這三個(gè)向量一定共面，故錯(cuò)誤；故選：ACD【變式訓(xùn)練1-2】、（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）思維辨析(對(duì)的打“正確”，錯(cuò)的打“錯(cuò)誤”)（1）向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等．()（2）若表示兩個(gè)相等空間向量的有向線段的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同．()（3）零向量沒(méi)有方向．()（4）空間兩個(gè)向量的加減法運(yùn)算與平面內(nèi)兩向量的加減法運(yùn)算完全一致．()【答案】正確正確錯(cuò)誤正確【分析】根據(jù)定義直接判斷即可.【詳解】（1）相反向量長(zhǎng)度相等，故（1）正確；（2）相等向量方向相同、長(zhǎng)度都相等，所以若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，故（2）正確；（3）零向量方向是任意的，故（3）錯(cuò)誤；（4）空間向量的加減法運(yùn)算和平面向量的運(yùn)算法則是相同的，故（4）正確；故答案為：正確；正確；錯(cuò)誤；正確.重難點(diǎn)題型突破2空間向量的線性運(yùn)算例2．（1）、（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）在空間中，下列結(jié)論正確的是（）A．＝＋ B．＝＋＋C．＝＋－ D．＝＋【答案】B【分析】利用向量的加減法法則逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)椋訠正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)椋訢錯(cuò)誤，故選：B（2）、（2022·河北滄州·高二期末）如圖，在正方體中，，，，若為的中點(diǎn)，在上，且，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算推導(dǎo)即可.【詳解】.故選：B.（3）、（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，設(shè)，，，則下列與向量相等的表達(dá)式是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，正確．故選：D【變式訓(xùn)練2-1】、（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則和空間向量基本定理相關(guān)知識(shí)求解即可.【詳解】由題意得，.故選：D【變式訓(xùn)練2-2】、（2023秋·河北秦皇島·高二秦皇島一中?？计谀ǘ噙x題）如圖，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：，因此本選項(xiàng)正確；B：，因此本選項(xiàng)正確；C：，因此本選項(xiàng)不正確；D：，因此本選項(xiàng)不正確，故選：AB【變式訓(xùn)練2-3】、（2022·浙江嘉興·高一期末）(多選題)如圖，在平行六面體中，AC和BD的交點(diǎn)為O，設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】求得判斷選項(xiàng)A；求得判斷選項(xiàng)B；求得判斷選項(xiàng)C；求得判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：.判斷正確；選項(xiàng)B：.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：.判斷正確；選項(xiàng)D：.判斷錯(cuò)誤.故選：AC重難點(diǎn)題型突破3共線定理或共面定理的應(yīng)用例3、（1）.（2005·山東·高考真題）已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線判斷三點(diǎn)共線即可．【詳解】解：，又與過(guò)同一點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線．故選：C．(2)、（2022·上海市奉賢中學(xué)高二階段練習(xí)）已知向量，若共面，則________．【答案】±1【解析】【分析】利用共面向量定理直接求解【詳解】因?yàn)橄蛄抗裁?所以存在實(shí)數(shù)m、n，使得,m≠0,n≠0,即,所以，解得,所以x=±1.故答案為：±1.(3)、（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與三點(diǎn)共面，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件及其推論，即可得出答案.【詳解】由與三點(diǎn)共面以及，可得，，所以.故選：C.【變式訓(xùn)練3-1】、（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，不共線，，，，則（

）A．與共線 B．與共線C．，，，四點(diǎn)不共面 D．，，，四點(diǎn)共面【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理及推論依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，不存在實(shí)數(shù)，使得成立，與不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，又，不存在實(shí)數(shù)，使得成立，與不共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D，若，，，四點(diǎn)共面，則有，，即，故，故，，，四點(diǎn)共面，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.【變式訓(xùn)練3-2】、（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）對(duì)空間中任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，能得到在平面內(nèi)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用向量來(lái)判定點(diǎn)在平面內(nèi)，只需要滿足：（）【詳解】因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)不共線，則不共線，若四點(diǎn)共面，則存在唯一的一組實(shí)數(shù)使得，即，變形得，對(duì)于，，整理得，則，所以在平面內(nèi)，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，，可得：則，故不在平面內(nèi)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，，可得：，則，故不在平面內(nèi)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于，，可得：則，故不在平面內(nèi)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：【變式訓(xùn)練3-3】、（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）（多選題）在正方體中，設(shè)，，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】AC【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算法則，結(jié)合題意，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，根據(jù)正方體性質(zhì)，結(jié)合圖象，分析可得：對(duì)于A：，由圖象可得三個(gè)向量不共面，所以，，不共面，故A正確；對(duì)于B：，由圖象可得三個(gè)向量共面，所以，，共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由圖象可得三個(gè)向量不共面，所以，，不共面，故C正確；對(duì)于D：，由圖象可得共面，所以，，共面，故D錯(cuò)誤.故選：AC重難點(diǎn)題型突破4挑戰(zhàn)滿分壓軸題例4、（1）.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在一個(gè)正方體中，為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，為底面正方形的中心，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線段與互相平分，則滿足的實(shí)數(shù)的值有A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【詳解】因?yàn)榫€段D1Q與OP互相平分，所以四點(diǎn)O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線段C1D1上時(shí)，Q一定在線段ON上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝1，符合題意．若P在線段C1B1與線段B1A1上時(shí)，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線段D1A1上時(shí)，點(diǎn)Q在直線OM上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為線段D1A1的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個(gè)故選C.（2）．（2022·高二單元測(cè)試）已知球是棱長(zhǎng)為2的正八面體(八個(gè)面都是全等的等邊三角形)的內(nèi)切球，為球的一條直徑，點(diǎn)為正八面體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_____．【答案】【詳解】如圖所示，設(shè)已知的正八面體，易知平面于球心，且點(diǎn)為正方形的中心，設(shè)球心與正四棱錐的側(cè)面相切于點(diǎn)連接，則，，由，得即正八面體的內(nèi)切球的半徑為為正八面體表面上的任意一點(diǎn)則，即的取值范圍是點(diǎn)睛：本題考查了空間內(nèi)的向量點(diǎn)乘問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為從點(diǎn)出發(fā)的向量，利用立體幾何知識(shí)求出相切時(shí)的長(zhǎng)度，繼而算出取值范圍，本題的難點(diǎn)在于向量的轉(zhuǎn)化上，同時(shí)也是解題的方法．【變式訓(xùn)練3-1】、（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)N，M分別為和的重心，P為線段CM上一點(diǎn)．（

）A．的最小為2B．若DP⊥平面ABC，則C．若DP⊥平面ABC，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為D．若F為線段EN的中點(diǎn)，且，則【答案】D【分析】A選項(xiàng)由線面垂直證得CM⊥BM，CM⊥AM，進(jìn)而由點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)即可判斷；B選項(xiàng)利用內(nèi)切球求得即可判斷；C選項(xiàng)找到球心，由勾股定理求得半徑，即可判斷；D選項(xiàng)由空間向量的線性運(yùn)算即可判斷.【詳解】易得，又，則面，又面，則，同理可得，，則CM⊥平面ABD，又平面，所以CM⊥BM，CM⊥AM．則當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，取得最小值，又，則最小值為，A錯(cuò)誤．在正四面體ABCD中，因?yàn)镈P⊥平面ABC，易得在上，所以，又點(diǎn)N，M也是和的內(nèi)心，則點(diǎn)P為正四面體ABCD內(nèi)切球的球心．，．設(shè)正四面體ABCD內(nèi)切球的半徑為r，因?yàn)椋?，解得，即，故，B錯(cuò)誤．設(shè)三棱錐P－ABC外接球的球心為O，半徑為R，易得球心在直線上，且，則，解得，故三棱錐P－ABC外接球的表面積為，C錯(cuò)誤．若F為線段EN的中點(diǎn)，則，．設(shè)，則．因?yàn)椋栽O(shè)，則解得故，D正確.故選：D.【變式訓(xùn)練3-2】、（2022秋·廣東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選題）已知直四棱柱的底面為正方形，，P為直四棱柱內(nèi)一點(diǎn)，且，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)