第三章：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(模擬測(cè)試-教師版)

第三章：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（模擬測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，將不等式化為，利用的單調(diào)性求解可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題設(shè)條件，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.由為奇函數(shù)，得，得，所以，不等式等價(jià)于，即，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故不等式的解集是．故選：D．2．已知函數(shù)，若，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析出函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得出，令，求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，其中，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，由可得，所以，，所以，，令，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故選：B.3．已知定義在上的函數(shù)，分別為函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，若為偶函數(shù)，且，，則（

）A．2023 B．4 C． D．0【答案】D【分析】由為偶函數(shù)列式并求導(dǎo)、賦值可得，再由求導(dǎo)，并結(jié)合可得、的周期為4，再通過(guò)賦值即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，令，則，因?yàn)?，所以，①所以，②又因?yàn)?，③由②③得：，④所以，所以，所以的周期?，又因?yàn)?，所以的周期?，在①中令得：，在③中令得：，在④中令得：，所以，所以，故選：D.4．已知，設(shè)曲線在處的切線斜率為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞減；根據(jù)大小關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，在上單調(diào)遞減；，所以，而，所以，.故選：A.5．已知，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】變形給定的等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，借助單調(diào)性比較大小作答.【詳解】由，得，由，得，由，得，令函數(shù)，顯然，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，于是，即有，而，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.6．已知函數(shù)，，，恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，其中，分析可知，存在，使得，可得出，由題意可得出，可得出，由此可得出，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即為的最大值.【詳解】令，其中，則，令，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，，，則，所以，，所以，存在，使得；②當(dāng)時(shí)，，則，，所以，存在，使得；③當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，所以存在，使得，即.由上可知，對(duì)任意的，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，則，所以，，令，其中，所以，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，即的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)就是最大（最?。┲迭c(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.7．英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（BrookTaylor，1685.8~1731.11）以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)而聞名于世.根據(jù)泰勒公式，我們可知：如果函數(shù)在包含的某個(gè)開(kāi)區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于，有，若取，則，此時(shí)稱該式為函數(shù)在處的階泰勒公式.計(jì)算器正是利用這一公式將，，，，等函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)，通過(guò)計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)值近似求出原函數(shù)的值，如，，則運(yùn)用上面的想法求的近似值為（

）A．0.50 B． C． D．0.56【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)，根據(jù)題意得到的泰勒展開(kāi)式，求得的值，即可求解.【詳解】由三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得，又由，可得，所以.故選：B.8．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作差法判斷、的大小，構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性判斷、的大小.【詳解】，又，所以令，，則，令，則，當(dāng)時(shí),,，所以，故,故在上是增函數(shù)，又∵，∴當(dāng)時(shí),,故在上是增函數(shù)，故,即，故.故選:A.【點(diǎn)睛】本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)首先把要比較的值變形為含有一個(gè)共同的數(shù)值，將這個(gè)數(shù)值換成變量就有了函數(shù)的形式，如在本題中，將視為變量可以構(gòu)造函數(shù).二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）9．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為.，，當(dāng)時(shí)，，，則（

）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱 B．為偶函數(shù)C． D．不等式的解集為【答案】BCD【分析】A.由得到判斷；B.由得到，再結(jié)合判斷；C.由得到再結(jié)合判斷；D.由為偶函數(shù)且得到是周期函數(shù)，且周期為8，再結(jié)合當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞減，畫(huà)出的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】由可得，故可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，由得，由得，故為偶函數(shù)，故B正確，由可得，所以，又為偶函數(shù)，所以，即，故C正確，由為偶函數(shù)且可得，所以是周期函數(shù)，且周期為8，又當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞減故結(jié)合的性質(zhì)可畫(huà)出符合條件的的大致圖象：

由性質(zhì)結(jié)合圖可知：當(dāng)，時(shí)，，故D正確，故選：BCD10．定義在R上的函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，，是偶函數(shù).已知，，則（

）A．是奇函數(shù) B．圖象的對(duì)稱軸是直線C． D．【答案】ABC【分析】對(duì)于A，利用題中條件解出，利用奇函數(shù)得定義即可；對(duì)于B,對(duì)題中得兩個(gè)條件進(jìn)行變化，可得到，從而判定出的對(duì)稱軸；對(duì)于C,對(duì)題中得兩個(gè)條件進(jìn)行變化，對(duì)進(jìn)行賦值，即可；對(duì)于D,證明的性質(zhì)，從而得到結(jié)論.【詳解】,，，又為奇函數(shù)，故A正確.是偶函數(shù)，，

則又，則，所以，則則，，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B正確.因?yàn)?，所以，令得，，又，令，?，故C正確.，，又，是奇函數(shù)，，是奇函數(shù)，則，，則，，故，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，若，，則（

）A．是奇函數(shù)B．關(guān)于對(duì)稱C．周期為4D．【答案】ABD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，利用已知條件，即得結(jié)果.對(duì)于選項(xiàng)B，由題意可推導(dǎo)出為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以，即即可證明；對(duì)于選項(xiàng)C，由關(guān)于對(duì)稱和關(guān)于對(duì)稱，即得結(jié)果.對(duì)于選項(xiàng)D，通過(guò)賦值，利用C中推導(dǎo)的結(jié)論和已知條件，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榭傻脼榕己瘮?shù)，所以，則為奇函數(shù)，故A正確；因?yàn)?，偶函?shù)，時(shí)偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)?，為奇函?shù)，為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱，，則其中為常數(shù)，又故，有關(guān)于對(duì)稱，B正確；令等價(jià)于，，所以，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，所以令等價(jià)于，所以，所以，故可看成數(shù)列，而因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以沒(méi)有周期性，故C不正確；，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查利用抽象函數(shù)關(guān)系式求解函數(shù)周期性、對(duì)稱性、奇偶性的問(wèn)題；對(duì)于與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，有如下結(jié)論：①若連續(xù)且可導(dǎo)，那么若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；②若連續(xù)且可導(dǎo)，那么若關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；若關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱.12．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，且，，則（

）A． B．C．在上是增函數(shù) D．存在最小值【答案】ABC【分析】AB選項(xiàng)，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而判斷AB選項(xiàng)，CD選項(xiàng)，構(gòu)造，二次求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，判斷CD.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，即，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，即，B正確；C選項(xiàng)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故恒成立，所以在上恒成立，故在上是增函數(shù)，C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故無(wú)最小值.故選：ABC【點(diǎn)睛】利用函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)不等式構(gòu)造函數(shù)，然后利用所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性解不等式，是高考?？碱}目，以下是構(gòu)造函數(shù)的常見(jiàn)思路：比如：若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且函數(shù)，當(dāng)時(shí)取到極大值，則等于.【答案】【分析】通過(guò)導(dǎo)函數(shù)，求出極值，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】令，則函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，極大值為，所以，故，又成等比數(shù)列，所以，故答案為：.14．已知是定義在上的偶函數(shù)且，若，則的解集為.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可由單調(diào)性求解.【詳解】令，則，由于，所以，故在上單調(diào)遞減，又是定義在上的偶函數(shù)且，故，所以，等價(jià)于，因此，故的解集為，故答案為：15．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出在上的單調(diào)性與極大值，即可畫(huà)出函數(shù)的圖象，依題意可得關(guān)于的方程恰有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令，則關(guān)于的有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，，令，則，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，，且時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以的圖象如下所示：

對(duì)于函數(shù)，令，即，令，則，要使恰有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即關(guān)于的有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，，令，則有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)均位于之間，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的大致圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)題.16．已知定義在上函數(shù)滿足：，寫出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù).【答案】（答案不唯一）【分析】先證明，再證明均滿足題設(shè)要求，故可得為滿足題設(shè)要求的函數(shù).【詳解】先證明：.設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故，故恒成立，故可設(shè)，則，即，而，故均滿足題設(shè)要求，特別地，取，故滿足題設(shè)要求.故答案為：（答案為不唯一）.四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．已知函數(shù).(1)若的極大值為3，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)，對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性和極大值，即可得出答案.（2）由題意整理可得，利用換元法，令，則，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，求解即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，由，得，即的定義域?yàn)?因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，解得.（2）當(dāng)時(shí)，，即，所以.令，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，又，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)在于把恒成立問(wèn)題通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化后利用導(dǎo)數(shù)判斷出其定義域上的單調(diào)性求出值域或最值問(wèn)題就解決了.18．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且.求證:.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù),對(duì)進(jìn)行分類討論,分別求解出和的解即可;（2）利用切線放縮,先證明,先求出曲線在和處的切線,再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明,同理證明即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?.①若,因?yàn)楹愠闪?所以在上單調(diào)遞減.②若,令,得;令得,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減.③若,令,得;令,得,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減.綜上:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減.（2）,先證不等式,因?yàn)?所以曲線在和處的切線分別為和,如圖:

令,,令,則;令,則;所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以在上恒成立,設(shè)直線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則,設(shè)直線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,同理可證,因?yàn)?所以(兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立),因此.再證不等式,函數(shù)圖象上兩點(diǎn),設(shè)直線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,易證,且,所以.綜上可得成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法有:（1）最值法:直接構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù),通過(guò)求解最值證明;（2）放縮法:通過(guò)構(gòu)造切線或割線,利用切線放縮或者割線放縮進(jìn)行證明.19．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)和分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得，是方程的兩不等實(shí)根，從而可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實(shí)根，即可得到和的范圍，原不等式等價(jià)于，即極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，根據(jù)對(duì)稱化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?由得：，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，即是方程的兩不等實(shí)根，令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.所以0，即0.令，要證，只需證，解法1（對(duì)稱化構(gòu)造）：令，則，令，則，所以在上遞增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（對(duì)數(shù)均值不等式）：先證，令，只需證，只需證，令，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)椋?，所以，即，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)解題關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題變成熟悉的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，從而根據(jù)對(duì)稱化構(gòu)造及對(duì)數(shù)均值不等式等方法證出．20．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的零點(diǎn)分別為，且，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由已知結(jié)合兩點(diǎn)定義可得，由分析可得要證明，只需證明，設(shè)，則只需證明，設(shè)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可證明結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）由（1）知，方程的兩個(gè)不等的正實(shí)根，即，亦即，從而，設(shè)，又，即，要證，即證，只需證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，令，則設(shè)，則則在上單調(diào)遞增，有，于是，即有在上單調(diào)遞增，因此，即，所以成立，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．21．已知函數(shù)．(1)試討論的單調(diào)性；(2)若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，討論與0的大小關(guān)系即可求解；（2）由題意可得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，利用放縮、構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)可知滿足題意；當(dāng)時(shí)，證明在上有唯一的零點(diǎn)即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.綜上所述，時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題意，即為，設(shè)，①當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，即，又，所以在上恒成立，從而在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又，所以，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以恒成立，故在上單調(diào)遞增，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，即，從而，所以當(dāng)時(shí)，必有，又，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞減，結(jié)合知當(dāng)時(shí)，，所以在上不能恒成立，不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立.22．已知函數(shù).(1)已知