指數(shù)函數(shù)小題練習(xí)-2025屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

指數(shù)函數(shù)【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.下列函數(shù)中，值域是(0，＋∞)的為()A.y＝eq\r(3x－1) B.y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)C.y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x)) D.y＝3eq\s\up6(\f(1,x))2.已知指數(shù)函數(shù)f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的值為()A.eq\f(1,2) B.1C.eq\f(3,2) D.23.函數(shù)y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，且a≠1)的圖象可能是()4.(2023·鄭州模擬)已知a＝2eq\s\up6(\f(4,3))，b＝4eq\s\up6(\f(2,5))，c＝5eq\s\up6(\f(1,3))，則()A.c＜b＜a B.a＜b＜cC.b＜a＜c D.c＜a＜b5.函數(shù)y＝eq\f(x,|x|ex)的圖象的大致形狀是()6.(多選)(2024·武漢調(diào)研)已知函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2＋4x＋3)，則下列說(shuō)法正確的是()A.定義域?yàn)镽 B.值域?yàn)?0，2]C.在[－2，＋∞)上單調(diào)遞增 D.在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減7.(2024·自貢診斷)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＋3x＋3，且f(a2)＋f(3a－4)>6，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(－4，1) B.(－3，2)C.(0，5) D.(－∞，－4)∪(1，＋∞)8.(2024·東莞調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,2x－1)＋eq\f(1,2)是奇函數(shù)，則a＝________.9.已知0≤x≤2，則函數(shù)y＝4x－eq\f(1,2)－3×2x＋5的最大值為_(kāi)_______.10.滿足下列三個(gè)性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)f(x)＝______.①若xy>0，則f(x＋y)＝f(x)f(y)；②f(x)＝f(－x)；③f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.11.已知函數(shù)f(x)＝2mx2－x＋1.(1)若m＝1，判斷f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的單調(diào)性并證明；(2)若f(x)的值域是[eq\r(2)，＋∞)，求m的取值范圍.12.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0，且a≠1)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)若f(1)＜0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，若f(m2－2)＋f(m)＞0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【B級(jí)能力提升】13.(多選)(2024·南京調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線y＝2，但又不與該直線相交，則下列說(shuō)法正確的是()A.a＋b＝0B.若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＋y＝0C.若x<y<0，則f(x)<f(y)D.f(x)的值域?yàn)閇0，2)14.定義在D上的函數(shù)f(x)，如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M>0，都有－M≤f(x)≤M成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知f(x)＝4x＋a·2x－2.(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判斷函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是以2為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.指數(shù)函數(shù)1．B[函數(shù)y＝eq\r(3x－1)的值域?yàn)閇0，＋∞)；函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)的值域?yàn)?0，＋∞)；函數(shù)y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x))的值域?yàn)閇0，1)；函數(shù)y＝3eq\s\up6(\f(1,x))的值域?yàn)?0，1)∪(1，＋∞)．故選B.]2．D[由題意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝eq\f(1,2).當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合題意．∴a＝2.]3．D[根據(jù)題意，函數(shù)y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，且a≠1)，當(dāng)x＝－1時(shí)，必有y＝0，即函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，0)，排除ABC.]4．A[因?yàn)閍＝2eq\s\up6(\f(4,3))＝4eq\s\up6(\f(2,3))，b＝4eq\s\up6(\f(2,5))，所以a＝4eq\s\up6(\f(2,3))＞4eq\s\up6(\f(2,5))＝b，因?yàn)?63＞55，所以16eq\s\up6(\f(1,5))＞5eq\s\up6(\f(1,3))，所以4eq\s\up6(\f(2,5))＞5eq\s\up6(\f(1,3))，即b＞c.綜上所述，a＞b＞c.]5．C[∵y＝eq\f(x,|x|ex)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)，x＞0，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)，x＜0，))∴根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象即可判斷選項(xiàng)C符合．]6．ABD[函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2＋4x＋3)的定義域?yàn)镽，A正確；∵x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1≥－1，∴0＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2＋4x＋3)≤2，故函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2＋4x＋3)的值域?yàn)?0，2]，B正確；∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(u)在R上是減函數(shù)，u＝x2＋4x＋3在(－∞，－2]上是減函數(shù)，在[－2，＋∞)上是增函數(shù)，∴函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2＋4x＋3)在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤，D正確．]7．D[函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.令g(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＋3x，g(x)的定義域?yàn)镽，則g(x)＝f(x)－3，g(x)＋g(－x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＋3x＋eq\f(3－x－1,3－x＋1)－3x＝eq\f(3x－1,3x＋1)＋eq\f(1－3x,3x＋1)＝0，所以g(x)為奇函數(shù)，且g(x)＝1－eq\f(2,3x＋1)＋3x為R上的增函數(shù)．因?yàn)閒(a2)＋f(3a－4)>6，所以f(a2)－3＋f(3a－4)－3>0，所以g(a2)＋g(3a－4)>0，即g(a2)>－g(3a－4)＝g(4－3a)，所以a2>4－3a，解得a<－4或a>1，故a的取值范圍為(－∞，－4)∪(1，＋∞)．故選D.]8．1[法一f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以eq\f(a,2－x－1)＋eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2x－1)＋\f(1,2)))，即eq\f(a,\f(1,2x)－1)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(a,2x－1)－eq\f(1,2)，所以eq\f(a·2x,1－2x)＋eq\f(a,2x－1)＝－1，即eq\f(a（1－2x）,2x－1)＝－1，所以a＝1.法二f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)，即eq\f(a,2－1－1)＋eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2－1)＋\f(1,2)))，解得a＝1.當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝eq\f(1,2x－1)＋eq\f(1,2)，f(－x)＝eq\f(1,2－x－1)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2x,1－2x)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(2x,2x－1)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(2x－1＋1,2x－1)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2x－1)－eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))＝－f(x)，所以當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)為奇函數(shù)．]9.eq\f(5,2)[設(shè)2x＝t，0≤x≤2，則1≤t≤4，y＝4x－eq\f(1,2)－3×2x＋5＝eq\f(1,2)t2－3t＋5＝eq\f(1,2)(t－3)2＋eq\f(1,2)，故當(dāng)t＝1，即x＝0時(shí)，函數(shù)有最大值eq\f(5,2).]10.eq\f(1,a|x|)(a>1)(答案不唯一)[令f(x)＝eq\f(1,a|x|)(a>1)，f(x＋y)＝eq\f(1,a|x＋y|)，f(x)f(y)＝eq\f(1,a|x|)·eq\f(1,a|y|)＝eq\f(1,a|x|＋|y|)＝eq\f(1,a|x＋y|)(xy>0)，所以滿足若xy>0，則f(x＋y)＝f(x)f(y)．f(－x)＝eq\f(1,a|－x|)＝f(x)，即f(x)＝f(－x)成立．又f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)＝eq\f(1,a|x|)(a>1)符合題意．]11．解(1)當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝2x2－x＋1，f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增．證明如下：記u＝x2－x＋1，任取eq\f(1,2)≤x1<x2，則u1－u2＝(xeq\o\al(2,1)－x1＋1)－(xeq\o\al(2,2)－x2＋1)＝(x1－x2)(x1＋x2－1)，因?yàn)閑q\f(1,2)≤x1<x2，所以x1－x2<0，x1＋x2－1>0，所以(x1－x2)(x1＋x2－1)<0，即有u1－u2<0，所以u(píng)1<u2，所以2u1<2u2，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增．(2)f(x)的值域是[eq\r(2)，＋∞)，即2mx2－x＋1≥eq\r(2)＝2eq\f(1,2)，所以mx2－x＋1≥eq\f(1,2)且取到最小值eq\f(1,2)，所以有(mx2－x＋1)min＝eq\f(1,2).①當(dāng)m＝0時(shí)，不符合要求；②當(dāng)m≠0時(shí)，則有m>0且eq\f(4m－1,4m)＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(1,2).綜上可知，m＝eq\f(1,2)，即m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).12．解(1)∵f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，經(jīng)檢驗(yàn)k＝2符合題意，所以k＝2.(2)由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，∵f(1)＜0，即a－eq\f(1,a)＜0，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，而y＝ax在R上單調(diào)遞減，y＝－a－x在R上單調(diào)遞減，故由單調(diào)性的性質(zhì)可判斷f(x)＝ax－a－x在R上單調(diào)遞減，不等式f(m2－2)＋f(m)＞0可化為f(m2－2)＞f(－m)，∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2，1)．13．ABD[∵函數(shù)f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的圖象過(guò)原點(diǎn)，∴a＋b＝0，即b＝－a，f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)－a，且f(x)的圖象無(wú)限接近直線y＝2，但又不與該直線相交，∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2，故A正確；由于f(x)為偶函數(shù)，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＝－y，即x＋y＝0，故B正確；由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x單調(diào)遞減，故若x<y<0，則f(x)>f(y)，故C錯(cuò)誤；∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)∈(0，1]，∴f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2∈[0，2)，故D正確．]14．解(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3，令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞)．令g(t)＝(t－1)2