【創(chuàng)新大課堂】2022高考數(shù)學(xué)(新課標(biāo)人教版)一輪總復(fù)習(xí)練習(xí)：第6章-不等式-第2節(jié)-基本不等式

第六章第2節(jié)一、選擇題1．設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B．a(chǎn)<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a(chǎn)<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b[解析]∵0<a<b，∴a<eq\f(a＋b,2)<b，A、C錯(cuò)誤；eq\r(ab)－a＝eq\r(a)(eq\r(b)－eq\r(a))>0，即eq\r(ab)>a，D錯(cuò)誤，故選B.[答案]B2．下列不等式肯定成立的是()A．lg(x2＋eq\f(1,4))>lgx(x>0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)[解析]當(dāng)x>0時(shí)，x2＋eq\f(1,4)≥2·x·eq\f(1,2)＝x，所以lg(x2＋eq\f(1,4))≥lgx(x>0)，故選項(xiàng)A不正確；而當(dāng)x≠kπ，k∈Z時(shí)，sinx的正負(fù)不定，故選項(xiàng)B不正確；由均值不等式可知，選項(xiàng)C正確；當(dāng)x＝0時(shí)，有eq\f(1,x2＋1)＝1，故選項(xiàng)D不正確．[答案]C3．已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時(shí)x的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)[解析]∵0<x<1，∴1－x>0.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3(eq\f(x＋1－x,2))2＝eq\f(3,4).當(dāng)x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)時(shí)取等號．[答案]B4．(2021·福建廈門質(zhì)檢)設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－1)e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝be1－2e2(a>0，b>0)．若A，B，C三點(diǎn)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是()A．2 B．4C．6 D．8[解析]依題意得－2×(a－1)＝b×1，∴2a＋b＝2.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))×eq\f(2a＋b,2)＝2＋eq\f(b,2a)＋eq\f(2a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,2a)·\f(2a,b))＝4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)\f(b,2a)＝\f(2a,b)，即a＝\f(1,2)，b＝1時(shí)取等號)).故選B.[答案]B5．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x＜0)，則f(x)有()A．最大值為0 B．最小值為0C．最大值為－4 D．最小值為－4[解析]∵x＜0，∴f(x)＝－[(－x)＋eq\f(1,－x)]－2≤－2－2＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1時(shí)取等號．[答案]C6．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)預(yù)備費(fèi)用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)預(yù)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．60件 B．80件C．100件 D．120件[解析](1)設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元，由題意得y＝eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)(x>0)，即x＝80時(shí)“＝”成立，故選B.[答案]B7．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．4[解析]f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2.∵x>2，∴x－2>0.∴f(x)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3時(shí)，“＝”成立．又f(x)在x＝a處取最小值．∴a＝3.[答案]C8．已知a>0，b>0，若不等式eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立，則m的最大值為()A．4 B．16C．9 D．3[解析]由于a>0，b>0，所以由eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立得m≤(eq\f(3,a)＋eq\f(1,b))(3a＋b)＝10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)恒成立．由于eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥2eq\r(\f(3b,a)·\f(3a,b))＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立，所以10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥16，所以m≤16，即m的最大值為16，故選B.[答案]B9．(2021·福建寧德質(zhì)檢)關(guān)于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，則x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)的最小值是()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(2,3)eq\r(3)C.eq\f(4,3)eq\r(3) D.eq\f(2,3)eq\r(6)[解析]依題意可得x1＋x2＝4a，x1·x2＝3a2，∴x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)＝4a＋eq\f(a,3a2)＝4a＋eq\f(1,3a)≥2eq\r(4a·\f(1,3a))＝eq\f(4\r(3),3)，故x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)的最小值為eq\f(4,3)eq\r(3).故選C.[答案]C10．設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1，則xy的最小值為()A．4 B．4eq\r(3)C．9 D．16[解析]由eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1可化為xy＝8＋x＋y，∵x，y均為正實(shí)數(shù)，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2eq\r(xy)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號成立)，即xy－2eq\r(xy)－8≥0，解得eq\r(xy)≥4，即xy≥16，故xy的最小值為16.故選D.[答案]D11．(2021·洛陽市高三統(tǒng)考)在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，AD＝1，點(diǎn)P在線段AD上，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值為()A．－1 B．1C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]依題意得，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝－2|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PD,\s\up6(→))|≥－2(eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|＋|\o(PD,\s\up6(→))|,2))2＝－eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))|2,2)＝－eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)時(shí)取等號，因此eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是－eq\f(1,2)，故選D.[答案]D12．(2021·北京模擬)已知關(guān)于x的方程x2＋2px＋(2－q2)＝0(p，q∈R)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則p＋q的取值范圍是()A．[－2,2] B．(－2,2)C．[－eq\r(2)，eq\r(2)] D．(－eq\r(2)，eq\r(2))[解析]由題意知4p2－4(2－q2)＝0，即p2＋q2＝2，∵(eq\f(p＋q,2))2≤eq\f(p2＋q2,2)＝1，∴－1≤eq\f(p＋q,2)≤1，即－2≤p＋q≤2，故選A.[答案]A二、填空題13．(2021·四川高考)已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________.[解析]借助基本不等式求最值的條件求解．f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)(x＞0，a＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝eq\f(a,x)，即x＝eq\f(\r(a),2)時(shí)等號成立，此時(shí)f(x)取得最小值4eq\r(a).又由已知x＝3時(shí)，f(x)min＝4eq\r(a)，∴eq\f(\r(a),2)＝3，即a＝36.[答案]3614．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈放射后的軌跡在方程y＝kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲線上，其中k與放射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．則炮的最大射程為________千米．[解析]令y＝0，得kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2＝0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x＞0，k＞0，故x＝eq\f(20k,1＋k2)＝eq\f(20,k＋\f(1,k))≤eq\f(20,2)＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號．所以炮的最大射程為10千米．[答案]1015．(2021·青島二模)設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是________．[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b∵a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(2a＋b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即b＝2a時(shí)等號成立．[答案]816．規(guī)定記號“?”表示一種運(yùn)算，即a?b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實(shí)數(shù))．若1?k＝3，則k的值為_