【名師一號】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修2雙基限時練16

雙基限時練(十六)一、選擇題1．設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為()A．3πa2 B．6πa2C．12πa2 D．24πa2解析由題意得，2R＝eq\r(4a2＋a2＋a2)＝eq\r(6)a，∴R＝eq\f(\r(6),2)a，∴球的表面積S＝4πR2＝6πa2.答案B2．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為()A．4π B．3πC．2π D．π解析由三視圖可知，該幾何體為半徑為1的半球體，∴S表＝πr2＋2πr2＝3πr2＝3π.答案B3．若圓柱、圓錐的底面直徑和高都等于球的直徑，則圓柱、圓錐、球的體積之比為()A．1:2:3 B．2:3:4C．3:2:4 D．3:1:2解析V圓柱＝2πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2·(2R)＝eq\f(2π,3)R3，V球＝eq\f(4,3)πR3.則體積之比為：2:eq\f(2,3):eq\f(4,3)即3:1:2.答案D4．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)π B．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)π D．6eq\r(3)π解析如圖，設(shè)平面α截球O所得圓的圓心為O1，則|OO1|＝eq\r(2)，|O1A|＝1，∴球的半徑R＝|OA|＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3).∴球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.故選B.答案B5．如圖，正四棱錐P—ABCD底面的四個頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個大圓上，點(diǎn)P在球面上，假如VP—ABCD＝eq\f(16,3)，那么球O的表面積是()A．4π B．8πC．12π D．16π解析由題意，可得AB＝eq\r(2)R，PO＝R，又VP—ABCD＝eq\f(1,3)(eq\r(2)R)2R＝eq\f(16,3)，得R＝2，∴S表＝4πR2＝16π.答案D6．64個直徑都為eq\f(a,4)的球，記它們的體積之和為V甲，表面積之和為S甲，一個直徑為a的球記其體積為V乙，表面積為S乙，則()A．V甲>V乙，S甲>S乙 B．V甲<V乙，S甲>S乙C．V甲＝V乙，S甲>S乙 D．V甲＝V乙，S甲<S乙解析V甲＝64×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)×\f(1,2)))3＝eq\f(1,6)πa3，S甲＝64×4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,8)))2＝4πa2，V乙＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))3＝eq\f(1,6)πa3，S乙＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＝πa2，∴V甲＝V乙，S甲>S乙．答案C二、填空題7．一個正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該球的體積為4eq\r(3)π，則該正方體的表面積為________．解析設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為r，則2r＝eq\r(3)a，∴a＝eq\f(2\r(3),3)r，∵eq\f(4,3)πr3＝4eq\r(3)π，∴r＝eq\r(3)，∴a＝2.∴S表＝6a2＝24.答案248．圓柱形容器的內(nèi)壁底面半徑為5cm，兩個直徑為5解析由題意，得2×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3＝π×52×h，得h＝eq\f(5,3).答案eq\f(5,3)cm9．一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都是在同一個球面上，且該六棱柱的高為eq\r(3)，底面周長為3，那么這個球的體積為________．解析球的半徑R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,6)))2)＝1，故V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π.答案eq\f(4,3)π三、解答題10．已知某幾何體的三視圖如圖所示，求它的體積和表面積．解由三視圖可知該幾何體是半徑為1的球被挖出了eq\f(1,8)部分得到的幾何體，∴其體積V＝eq\f(7,8)V球＝eq\f(7,8)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(7,6)π，S表＝eq\f(7,8)×4π×12＋3×eq\f(1,4)π×12＝eq\f(17,4)π.11．一個圓錐和一個半球有公共底面，假如圓錐的體積恰好與半球的體積相等，求這個圓錐的高與球的半徑之比．解如圖，作出軸截面，設(shè)公共底面圓的半徑為R，圓錐的高為h.∴V錐＝eq\f(1,3)πR2h，V半球＝eq\f(1,2)·eq\f(4,3)πR3.∵V錐＝V半球，∴h＝2R，即h:R＝2:1.12．桌面上有三個半徑均為r的小球，它們兩兩相切，現(xiàn)有第四個半徑為r的小球放在三個小球上面，且與這三個小球都相切，求第四個小球的球心離桌面的距離．解如圖所示，設(shè)桌面上三個小球的球心分別為O1，O2，O3，第四個小球的球心為O4.因每兩個小球都相切，所以O(shè)1，O2，O3，O4構(gòu)成一個棱長都為2r且各面都全等的正三角形的三棱錐．設(shè)O4在平面O1O2O3的正投影為O，則O4到桌面的距離為O4O＋r.連接O3O，由于O為正三角形△O1O2O3的中心，∴OO3＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×2r＝eq\f(2\r(3),3)r.∴O4O＝eq\r(2r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)r))2)＝eq\f(2\r(6),3)r.因此，第四個小球的球心離桌面的距離為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)＋1))r.思維探究13．已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個球面上．若圓錐底面面積是這個球面面積的eq\f(3,16)，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為多少？解如圖，設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r，由題意得πr2＝eq\f(3,16)×4πR2.∴r＝eq\f(