《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)講義-第九章-第4講-隨機(jī)事件的概率

第4講隨機(jī)大事的概率1．概率與頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀看某一大事A是否毀滅，稱n次試驗(yàn)中大事A毀滅的次數(shù)nA為大事A毀滅的頻數(shù)，稱大事A毀滅的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為大事A毀滅的頻率．(2)對于給定的隨機(jī)大事A，由于大事A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估量概率P(A)．2．大事的關(guān)系與運(yùn)算定義符號表示包含關(guān)系假如大事A發(fā)生，則大事B確定發(fā)生，這時稱大事B包含大事A(或稱大事A包含于大事B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?B，那么稱大事A與大事B相等A＝B并大事(和大事)若某大事發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)大事A發(fā)生或大事B發(fā)生，則稱此大事為大事A與大事B的并大事(或和大事)A∪B(或A＋B)交大事(積大事)若某大事發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)大事A發(fā)生且大事B發(fā)生，則稱此大事為大事A與大事B的交大事(或積大事)A∩B(或AB)互斥大事若A∩B為不行能大事，那么稱大事A與大事B互斥A∩B＝?對立大事若A∩B為不行能大事，A∪B為必定大事，那么稱大事A與大事B互為對立大事A∩B＝?且A∪B＝Ω3.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1．(2)必定大事的概率：P(A)＝1．(3)不行能大事的概率：P(A)＝0．(4)概率的加法公式假如大事A與大事B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立大事的概率若大事A與大事B互為對立大事，則A∪B為必定大事．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．[做一做]1．若A、B為互斥大事，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，則P(B)＝________．答案：0.32．在人民商場付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04則至少有兩人排隊(duì)的概率為________．答案：0.741．辨明兩個易誤點(diǎn)(1)易將概率與頻率混淆，頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)變化而變化，而概率是一個常數(shù)．(2)對立大事是互斥大事，是互斥中的特殊狀況，但互斥大事不愿定是對立大事，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．2．集合方法推斷互斥大事與對立大事(1)由各個大事所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則大事互斥．(2)大事A的對立大事A所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由大事A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．[做一做]3．甲：A1，A2是互斥大事；乙：A1，A2是對立大事，那么()A．甲是乙的充分但不必要條件B．甲是乙的必要但不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件解析：選B.兩個大事是對立大事，則它們確定互斥，反之不愿定成立．4．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參與演講競賽，大事“至少有一名女生”與大事“全是男生”()A．是互斥大事，不是對立大事B．是對立大事，不是互斥大事C．既是互斥大事，也是對立大事D．既不是互斥大事與不是對立大事答案：Ceq\a\vs4\al(考點(diǎn)一)__隨機(jī)大事的關(guān)系______________________一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6.將這個玩具向上拋擲1次，設(shè)大事A表示向上的一面毀滅奇數(shù)點(diǎn)，大事B表示向上的一面毀滅的點(diǎn)數(shù)不超過3，大事C表示向上的一面毀滅的點(diǎn)數(shù)不小于4，則()A．A與B是互斥而非對立大事B．A與B是對立大事C．B與C是互斥而非對立大事D．B與C是對立大事[解析]A∩B＝{毀滅點(diǎn)數(shù)1或3}，大事A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω，故大事B，C是對立大事．[答案]D[規(guī)律方法]對互斥大事要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立大事除不能同時發(fā)生外，其并大事應(yīng)為必定大事，這些也可類比集合進(jìn)行理解，具體應(yīng)用時，可把全部試驗(yàn)結(jié)果寫出來，看所求大事包含哪些試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給大事的關(guān)系．1.某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記大事A為“只訂甲報紙”，大事B為“至少訂一種報紙”，大事C為“至多訂一種報紙”，大事D為“一種報紙也不訂”．推斷下列每對大事是不是互斥大事；假如是，再推斷它們是不是對立大事．(1)A與C；(2)B與D；(3)B與C；(4)C與D.解：(1)由于大事C“至多訂一種報紙”中有可能“只訂甲報紙”，即大事A與大事C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥大事．(2)大事B“至少訂一種報紙”與大事D“一種報紙也不訂”是不行能同時發(fā)生的，故B與D是互斥大事．由于大事B不發(fā)生可導(dǎo)致大事D確定發(fā)生，且大事D不發(fā)生會導(dǎo)致大事B確定發(fā)生，故B與D還是對立大事．(3)大事B“至少訂一種報紙”中有這些可能：“只訂甲報紙”、“只訂乙報紙”、“訂甲、乙兩種報紙”，大事C“至多訂一種報紙”中有這些可能：“一種報紙也不訂”、“只訂甲報紙”、“只訂乙報紙”，由于這兩個大事可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥大事．(4)由(3)的分析，大事D“一種報紙也不訂”是大事C的一種可能，即大事C與大事D有可能同時發(fā)生，故C與D不是互斥大事．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二)__隨機(jī)大事的頻率與概率________________(2022·高考陜西卷)某保險公司利用簡潔隨機(jī)抽樣方法，對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估量賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估量在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．[解](1)設(shè)A表示大事“賠付金額為3000元”，B表示大事“賠付金額為4000元”，以頻率估量概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示大事“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估量概率得P(C)＝0.24.[規(guī)律方法]頻率是個不確定的數(shù)，在確定程度上頻率可以反映大事發(fā)生的可能性大小，但無法從根本上刻畫大事發(fā)生的可能性大小，但從大量重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)覺，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，大事發(fā)生的頻率就會穩(wěn)定于某一固定的值，該值就是概率．2.某射擊運(yùn)動員在同一條件下進(jìn)行練習(xí)，結(jié)果如表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中10環(huán)次數(shù)m8194493178453擊中10環(huán)頻率eq\f(m,n)(1)計(jì)算表中擊中10環(huán)的各個頻率；(2)這位射擊運(yùn)動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率為多少？解：(1)擊中10環(huán)的頻率依次為0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.(2)這位射擊運(yùn)動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率約為0.90.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三)__互斥大事、對立大事的概率(高頻考點(diǎn))__隨機(jī)大事的頻率留意對互斥大事和對立大事的概率的考查，以選擇題、填空題為主，難度不大，屬于低檔題目．高考對該部分內(nèi)容的考查主要有以下兩個命題角度：(1)依據(jù)互斥大事有一個發(fā)生求概率；(2)利用對立大事求概率．(1)(2021·太原模擬)拋擲一顆骰子，觀看擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)大事A為毀滅奇數(shù)點(diǎn)，大事B為毀滅2點(diǎn)，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，則毀滅奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率是________．(2)(2021·南通模擬)已知射手甲射擊一次，命中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率為0.5，命中8環(huán)的概率為0.2，命中7環(huán)的概率為0.1，則甲射擊一次，命中6環(huán)以下(含6環(huán))的概率為________．[解析](1)由題意知拋擲一顆骰子毀滅奇數(shù)點(diǎn)和毀滅2點(diǎn)是互斥大事，由于P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，所以依據(jù)互斥大事的概率公式得到毀滅奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率P＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).(2)設(shè)“命中9環(huán)以上(含9環(huán))”為大事A，“命中8環(huán)”為大事B，“命中7環(huán)”為大事C，“命中6環(huán)以下(含6環(huán))”為大事D，則D與(A＋B＋C)對立，又P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.由于A，B，C三個大事互斥，所以P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.8，所以P(D)＝1－0.8＝0.2.[答案](1)eq\f(2,3)(2)0.2[規(guī)律方法](1)推斷兩個大事是否為互斥大事，就是推斷它們能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則是互斥大事，不然就不是互斥大事．若兩個大事互斥，且必有一個發(fā)生，則其為對立大事．(2)互斥大事的概率加法公式必需在各個大事彼此互斥的前提下使用，即A，B互斥，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；A，B對立，P(A)＝1－P(B)．3.某戰(zhàn)士射擊一次，問：(1)若中靶的概率為0.95，則不中靶的概率為多少？(2)若命中10環(huán)的概率是0.27，命中9環(huán)的概率為0.21，命中8環(huán)的概率為0.24，則至少命中8環(huán)的概率為多少？不夠9環(huán)的概率為多少？解：(1)設(shè)中靶為大事A，則不中靶為eq\x\to(A).則由對立大事的概率公式可得，P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.(2)設(shè)命中10環(huán)為大事B，命中9環(huán)為大事C，命中8環(huán)為大事D，由題意知P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24.記至少命中8環(huán)為大事E，則P(E)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72.記至少命中9環(huán)為大事F，則P(F)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.27＋0.21＝0.48.故不夠9環(huán)為eq\x\to(F)，則P(eq\x\to(F))＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52.

方法思想——正難則反思想求對立大事的概率某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，支配一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估量顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)[解](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市全部顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡潔隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估量，其估量值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)記A為大事“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”，A1，A2分別表示大事“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為3分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10).[名師點(diǎn)評]求某些較簡潔的概率問題時，通常有兩種方法：一是將其分解為若干個彼此互斥的大事的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此大事A的對立大事A的概率，然后利用P(A)＝1－P(A)可得解．本題第(2)問利用對立大事求解，計(jì)算相對削減．某工廠的產(chǎn)品分為合格品和次品兩類，而合格品又分為一級品，二級品，三級品三檔，在正常生產(chǎn)的條件下，毀滅“一級品”的概率為0.5，毀滅“二級品或三級品”的概率為0.45，求毀滅次品的概率．解：設(shè)A＝{毀滅一級品}，B＝{毀滅二級品或三級品}，C＝{毀滅合格品}，D＝{毀滅次品}，由于C＝A∪B且A∩B＝?(互斥)，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.45＝0.95，P(D)＝1－P(C)＝1－0.95＝0.05.故毀滅次品的概率為0.05.1．(2021·河南安陽模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)大事A＝{抽到一等品}，大事B＝{抽到二等品}，大事C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則大事“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.5解析：選C.“抽到的產(chǎn)品不是一等品”與大事A是對立大事，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.2．設(shè)條件甲：“大事A與大事B是對立大事”，結(jié)論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A.若大事A與大事B是對立大事，則A∪B為必定大事，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.設(shè)擲一枚硬幣3次，大事A：“至少毀滅一次正面”，大事B：“3次毀滅正面”，則P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對立大事．3．從3個紅球、2個白球中隨機(jī)取出2個球，則取出的2個球不全是紅球的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(7,10) D.eq\f(3,5)解析：選C.“取出的2個球全是紅球”記為大事A，則P(A)＝eq\f(3,10).由于“取出的2個球不全是紅球”為大事A的對立大事，所以其概率為P(A)＝1－P(A)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).4．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1解析：選C.設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為大事A，“從中取出2粒都是白子”為大事B，“任意取出2粒恰好是同一色”為大事C，則C＝A∪B，且大事A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即任意取出2粒恰好是同一色的概率為eq\f(17,35).5．?dāng)S一個骰子的試驗(yàn)，大事A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)毀滅”，大事B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)毀滅”，則一次試驗(yàn)中，大事A＋B發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)解析：選C.擲一個骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果，依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(B)＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).∵B表示“毀滅5點(diǎn)或6點(diǎn)”的大事，因此大事A與B互斥，從而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).6．某城市2022年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時，空氣質(zhì)量為略微污染，則該城市2022年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為________．解析：由題意可知2022年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)7．假如大事A與B是互斥大事，且大事A∪B發(fā)生的概率是0.64，大事B發(fā)生的概率是大事A發(fā)生的概率的3倍，則大事A發(fā)生的概率為________．解析：設(shè)P(A)＝x，P(B)＝3x，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64.∴P(A)＝x＝0.16.答案：0.168．拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6)，大事A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，大事B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”，則P(A＋B)＝________．解析：將大事A＋B分為：大事C“朝上一面的數(shù)為1，2”與大事D“朝上一面的數(shù)為3，5”，則C，D互斥，且P(C)＝eq\f(1,3)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P