《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版-必修5)教師用書：3.9基本不等式及其變形-講義

第9課時(shí)基本不等式及其變形1.生疏基本不等式的變形;并會(huì)用基本不等式及其變形來解題.2了解基本不等式的推廣,并會(huì)應(yīng)用.重點(diǎn):利用基本不等式及其變形來解題.難點(diǎn):基本不等式的推廣的理解.上一課時(shí)我們共同學(xué)習(xí)了基本不等式的基本概念以及利用基本不等式求最值,并了解了一正二定三相等四最值這些過程.基本不等式是一種重要的數(shù)學(xué)工具,是集合、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列等學(xué)問的綜合交匯點(diǎn),地位重要,這一講我們將共同探究基本不等式及其變形的應(yīng)用.問題1:常見的基本不等式的變形(1)x+≥2(x>0),x+≤-2(x<0);(2)+≥2(a,b同號(hào)),+≤-2(a,b異號(hào));(3)a+b≥2,()2≥ab;

(4)ab≤,()2≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).問題2:基本不等式的推廣已知a,b是正數(shù),則有(調(diào)和平均數(shù))≤(幾何平均數(shù))≤(算術(shù)平均數(shù))≤(平方平均數(shù)),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).問題3:基本不等式的推廣的推導(dǎo)∵a,b是正數(shù),∴≤=,而≤,又a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴≤.故≤≤≤.問題4:若a,b,c∈R+,則≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立,則關(guān)于n個(gè)正數(shù)a1,a2,a3,…,an的基本不等式為:≥

,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an時(shí)等號(hào)成立,其中叫作這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù),叫作這n個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù).

契比雪夫不等式(1)若a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,則(a1b1+a2b2+…+anbn)≥·;(2)若a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn,則(a1b1+a2b2+…+anbn)≤·.1.四個(gè)不相等的正數(shù)a,b,c,d成等差數(shù)列,則().A.>B.<C.= D.≤【解析】∵a+d=b+c,又∵a、b、c、d均是正數(shù),且不相等,∴=>.【答案】A2.已知a>1,b>1,且lga+lgb=6,則lga·lgb的最大值為().A.6B.9C.12【解析】∵a>1,b>1,∴l(xiāng)ga>0,lgb>0,又lga+lgb=6,∴l(xiāng)ga·lgb≤()2=()2=9,故選B.【答案】B3.已知a,b為正實(shí)數(shù),假如ab=36,那么a+b的最小值為;假如a+b=18,那么ab的最大值為.

【解析】依據(jù)基本不等式a+b≥2=2=12,得a+b的最小值為12.依據(jù)≤=9,即ab≤81,得ab的最大值為81.【答案】12814.已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca.【解析】∵a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù),∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca,以上三式相加:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca,∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.利用基本不等式推斷不等關(guān)系若a>0,b>0,a+b=2,則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a,b恒成立的是(寫出全部正確命題的編號(hào)).

①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤+≥2.【方法指導(dǎo)】依據(jù)已知條件依次推斷命題.【解析】令a=b=1,排解命題②④;由2=a+b≥2?ab≤1,命題①正確;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,命題③正確;+==≥2,命題⑤正確.故填①③⑤.【答案】①③⑤【小結(jié)】基本不等式常用于有條件的不等關(guān)系的推斷、比較代數(shù)式的大小等.一般地,結(jié)合所給代數(shù)式的特征,將所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換(利用基本不等式可將整式和根式相互轉(zhuǎn)化),使其中的不等關(guān)系明晰即可解決問題.基本不等式在證明題中的應(yīng)用已知a,b,c都是正數(shù),求證:++≥a+b+c.【方法指導(dǎo)】所證不等式的左邊為分式,右邊為整式,依據(jù)左邊式子的特點(diǎn),若要用基本不等式可在左邊添項(xiàng),變?yōu)?+b)+(+c)+(+a)的形式.【解析】∵a>0,b>0,c>0,∴+b≥2=2a同理:+c≥2b,+a≥2c三式相加得:++≥a+b+c.【小結(jié)】本題的求解關(guān)鍵是分析出要證不等式左、右兩邊都為和的形式,且左邊為分式形式,聯(lián)想x+≥2,需添上相應(yīng)分母形式,即a,b,c三項(xiàng),這也正是本題的思維障礙點(diǎn),需要有較強(qiáng)的觀看、分析力氣.利用基本不等式求最值已知正數(shù)x,y滿足x2+=1,求x的最大值.【方法指導(dǎo)】所求的最值是一個(gè)積式的形式,因此,應(yīng)將條件轉(zhuǎn)化為和的定值的形式,然后利用基本不等式建立待求和的關(guān)系.【解析】∵x2+=1,∴2x2+y2=2,∴x=x·≤·=·=,當(dāng)且僅當(dāng)?時(shí)等號(hào)成立,∴x的最大值是.【小結(jié)】本題解題的關(guān)鍵是緊扣已知條件中和為定值開放思路,把代數(shù)式中的積利用不等式轉(zhuǎn)化為和,解題障礙在于利用已知條件湊好系數(shù).當(dāng)然,本題也可利用函數(shù)思想求解.已知正數(shù)0<a<1,0<b<1,且a≠b,則a+b,2,2ab,a2+b2中最大的一個(gè)是().A.a2+b2B.2C.2ab D.a+b【解析】由于a,b∈(0,1),a≠b,所以a+b>2,a2+b2>2ab,所以最大的只能是a2+b2與a+b之一.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又0<a<1,0<b<1,所以a-1<0,b-1<0,因此,a2+b2<a+b,所以a+b最大.【答案】D已知a>0,b>0,c>0,求證:++≥++.【解析】∵+≥,+≥,+≥,∴2(++)≥++,即++≥++.下列說法:①對(duì)任意x>0,lgx+≥2;②對(duì)任意x∈R,ax+≥2;③對(duì)任意x∈(0,),tanx+≥2;④對(duì)任意x∈R,sinx+≥2.其中正確的是().A.①③B.③④C.②③D.①②③④【解析】任意x>0,無法確定lgx>0,①錯(cuò);任意x∈R,ax>0,依據(jù)基本不等式ax+≥2,②正確;對(duì)任意x∈(0,),有tanx>0,依據(jù)基本不等式tanx+≥2=2,③正確;存在x=-,sinx+=-2,④錯(cuò).選C.【答案】C1.已知m,n∈R,m2+n2=100,則mn的最大值是().A.100B.50C.20【解析】mn≤==50,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=或m=n=-時(shí)等號(hào)成立.【答案】B2.若0<a<b且a+b=1,則下列四個(gè)數(shù)中最大的是().A. B.b C.2ab D.a2+b2【解析】取特殊值,令a=,b=,2ab=,a2+b2=,因此最大的是b.或2ab<=<a2+b2,又b=ab+b2>a2+b2,故b最大.【答案】B3.已知x,y都為正數(shù),且x+4y=1,則xy的最大值為.

【解析】∵x,y都為正數(shù),∴1=x+4y≥2=4,∴xy≤,當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=時(shí)取等號(hào).【答案】4.已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.【解析】由a,b,c,d都是正數(shù),得:≥>0,≥>0,∴≥abcd,即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí),取等號(hào).1.(2021年·福建卷)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是().A.[0,2] B.[-2,0]C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]【解析】由基