【同步輔導】2021高中數學北師大版必修五導學案：《數列的函數特性》

第2課時數列的函數特性1.了解數列和函數之間的關系,能用函數的觀點爭辯數列.2.能推斷數列的單調性,并應用單調性求最大(小)項.3.會由數列的前n項和公式求出其通項公式.寫出數列0,2,4,6,8,…的通項公式an=2n-2后,發(fā)覺an=2n-2與一次函數f(x)=2x-2有相像之處,只不過是自變量從x換到了n,數列也可看成一種函數.問題1:數列可以看作是一個定義域為(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數,當自變量依據從小到大的挨次依次取值時,對應的一列.

問題2:假如數列{an}的第1項或前幾項已知,并且數列{an}的任一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關系可以用一個式子來表示,那么這個式子就叫作這個數列的,一般記作為.

問題3:一般地,一個數列{an},假如從起,每一項都大于它的前一項,即,那么這個數列叫作遞增數列.假如從起,每一項都小于它的前一項,即,那么這個數列叫作遞減數列.假如數列{an}的各項,那么這個數列叫作常數列.

問題4:任意數列{an}的前n項和Sn的性質若Sn=a1+a2+a3+…+an,則an=.

1.下面四個結論:①數列可以看作是一個定義域在正整數集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函數;②數列若用圖像表示,從圖像上看都是一群孤立的點;③數列的項數是無限的;④數列通項的表示式是唯一的.其中正確的是().A.①② B.①②③ C.②③ D.①②③④2.數列{an}的通項公式為an=3n2-28n,則數列{an}各項中最小項是().A.第4項 B.第5項 C.第6項 D.第7項3.在某報《自測健康狀況》的報道中,自測血壓結果與相應年齡的統(tǒng)計數據如下表.觀看表中數據的特點,用適當的數填入表中空白()內.

年齡(歲)3035404550556065收縮壓(水銀柱/毫米)110115120125130135()

145舒張壓(水銀柱/毫米)707375788083()

884.數列{an}中,已知an=2n+1-3.(1)寫出a3,a4;(2)253是否是數列的項?假如是,是第幾項?考查數列的函數特性對于數列{an},a1=4,an+1=f(an),n∈N+,依照下表:x12345f(x)54312(1)求a2,a3,a4;(2)求a2021.已知Sn求an已知數列的前n項和Sn的表達式,分別求{an}的通項公式.(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n-2.數列中的最值問題設an=-n2+10n+11(n∈N+),則數列{an}從首項起到第幾項的和最大?給定函數y=f(x),并且對任意an∈(0,1),由關系式an+1=f(an)得到的數列{an}滿足an+1>an(n∈N+),則該函數的圖像可能是().已知數列{an}的前n項和Sn=3n-2n2(n∈N+).(1)求數列{an}的通項公式;(2)當n≥2時,比較Sn,na1,nan的大小.已知數列{an}的通項公式an=(n+1)(1011)n(n∈N+),試問數列{an}有沒有最大項?若有,求最大項和最大項的項數;若無,說明理由1.已知an+1-an-3=0,則數列{an}是().A.遞增數列 B.遞減數列 C.常數列 D.不能確定2.已知數列{an}的圖像在函數y=1x的圖像上,當x取正整數時,則其通項公式為()A.an=1x(x∈R) B.an=1n(n∈NC.an=1x(x∈N) D.an=1n(n∈3.已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=2,an+1=Sn+1,n∈N+,則a6=.

4.已知數列{an}中,an=nn-15.6(n∈N+),求數列{(2021年·陜西卷)觀看下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此規(guī)律,第n個等式可為.

考題變式(我來改編):第2課時數列的函數特性學問體系梳理問題1:正整數集N+函數值問題2:遞推公式an=f(an-1)(n≥2)問題3:第2項an+1>an第2項an+1<an都相等問題4:S基礎學習溝通1.A由數列的概念及數列的函數特性知,①②正確,故應選A.2.B由an=3n2-28n知通項公式是一個二次函數,對稱軸是-b2a=--282×3=143=423,5離43.14085觀看上表規(guī)律,收縮壓每次增加5,舒張壓相應增加3或2,且是間隔消滅的,故應填140,85.4.解:(1)a3=13,a4=29.(2)令2n+1-3=253,則2n+1=256,∴n+1=8,∴n=7,∴253是第7項.重點難點探究探究一:【解析】(1)a1=4,a2=f(4)=1,a3=f(1)=5,a4=f(5)=2.(2)由(1)知a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=f(2)=4,…,該數列是周期為4的周期數列,所以a2021=a3=5.【小結】通過求數列的前幾項,發(fā)覺規(guī)律,找到周期是本題的關鍵.探究二:【解析】(1)a1=S1=-1,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=4n-5,由于a1也適合此等式,所以an=4n-5.(2)a1=S1=1,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2·3n-1,由于a1不適合此等式,所以an=1【小結】利用an=Sn-Sn-1(n≥2)來求an的方法也可以叫作公式法.探究三:【解析】an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,∴當n=5時an最大,∴從首項起到第5項的和最大.[問題]an最大是從首項起到第n項的和Sn最大嗎?[結論]由于審題不清,錯把-n2+10n+11當成Sn,從而利用二次函數學問得到:n=5時,取最大值明顯不合題意.于是,正確解答為:由an=-n2+10n+11≥0得n2-10n-11≤0,∴-1≤n≤11.即a1,a2,…,a10>0,a11=0,當n≥12時,an<0.∴從首項起到第10項或第11項的和最大.【小結】這是一道易錯題,審題要清楚,深刻理解通項公式an是關于n(n∈N+)的函數.思維拓展應用應用一:A由an+1=f(an),an+1>an?f(an)>an,此式說明白對于函數y=f(x)圖像上的任一點,(an,f(an))都有縱坐標f(an應用二:(1)由an=S解得an=5-4n.(2)∵a1=5-4×1=1,∴na1=n,∴nan=5n-4n2,∴na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0.又∵Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0,∴na1>Sn>nan.應用三:(法一:作差法)∵an+1-an=(n+2)(1011)n+1-(n+1)(1011)n=(1011)當n<9時,an+1-an>0,an+1>an;當n=9時,an+1-an=0,an+1=an;當n>9時,an+1-an<0,an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>…∴數列{an}有最大項,為第9,10項.(法二:作商法)∵an+1an=當n<9時,10n+20>11n+11,an+1an>1,即an+當n=9時,10n+20=11n+11,an+1an=1,即an+當n>9時,10n+20<11n+11,an+1an<1,即an+故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>…∴數列{an}有最大項,為第9,10項.(法三:兩邊夾)假設an為最大項,則a即(n+1∴9≤n≤10,∴n=9或10,即第9,10項最大.基礎智能檢測1.A∵an+1=an+3,∴數列{an}是遞增數列.2.B數列{an}對應的點列為(n,an),即有an=1n(n∈N+)3.48當n≥2時,an+1=Sn+1,an=Sn-1+1,兩式相減,得an+1-an=Sn-Sn-1=an,即an+1=2an,則a2=a1+1=3,a3=2a2=6,a4=2a3=12,a5=2a4=24,a6=2a5=48.4.解:考察函數y=xx-15.6=1+1