【全程復(fù)習(xí)方略】2020年人教A版數(shù)學(xué)理(廣東用)課時作業(yè)：第六章-第六節(jié)直接證明與間接證明

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(四十)一、選擇題1.(2021·濰坊模擬)在證明命題“對于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的過程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”中應(yīng)用了()(A)分析法(B)綜合法(C)分析法和綜合法綜合使用(D)間接證法2.要證明a2+b2-1-a2b2≤0,只要證明()(A)2ab-1-a2b2≤0 (B)a2+b2-1-QUOTE≤0(C)QUOTE-1-a2b2≤0 (D)(a2-1)(b2-1)≥03.假如a<0,b<0,則必有()(A)a3+b3≥ab2+a2b(B)a3+b3≤ab2+a2b(C)a3+b3>ab2+a2b(D)a3+b3<ab2+a2b4.若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b<0,則()(A)a,b都小于0(B)a,b都大于0(C)a,b中至少有一個大于0(D)a,b中至少有一個小于05.若P=QUOTE+QUOTE,Q=QUOTE+QUOTE(a≥0),則P,Q的大小關(guān)系是()(A)P>Q (B)P=Q(C)P<Q (D)由a的取值確定6.(2021·鄭州模擬)若|logaQUOTE|=logaQUOTE,|logba|=-logba,則a,b滿足的條件是()(A)a>1,b>1 (B)0<a<1,b>1(C)a>1,0<b<1 (D)0<a<1,0<b<17.(2021·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),則b的取值范圍為()(A)(2-QUOTE,2+QUOTE) (B)[2-QUOTE,2+QUOTE](C)[1,3] (D)(1,3)8.已知a,b,c都是負(fù)數(shù),則三數(shù)a+QUOTE,b+QUOTE,c+QUOTE()(A)都不大于-2(B)都不小于-2(C)至少有一個不大于-2(D)至少有一個不小于-2二、填空題9.設(shè)P=QUOTE,Q=QUOTE-QUOTE,R=QUOTE-QUOTE,則P,Q,R的大小挨次是.10.(2021·揭陽模擬)已知x>0,y>0,若QUOTE+QUOTE>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.11.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且對任意的m,n∈N*都有:(1)f(m,n+1)=f(m,n)+2.(2)f(m+1,1)=2f(m,1).給出以下三個結(jié)論:①f(1,5)=9;②f(5,1)=16;③f(5,6)=26.其中正確結(jié)論的序號有.三、解答題12.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求證:a,b,c,d中至少有一個是負(fù)數(shù).13.(2022·福建高考)某同學(xué)在一次爭辯性學(xué)習(xí)中發(fā)覺,以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°.(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°.(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°.(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°.(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.①試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù).②依據(jù)①的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)覺推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.14.(1)求證:當(dāng)a>1時,不等式a3+QUOTE>a2+QUOTE成立.(2)要使上述不等式成立,能否將條件“a>1”適當(dāng)放寬?若能,請放寬條件,并簡述理由;若不能,也請說明理由.(3)請你依據(jù)(1)(2)的結(jié)果,寫出一個更為一般的結(jié)論,且予以證明.答案解析1.【解析】選B.從已知條件動身,推出要證的結(jié)論,滿足綜合法.2.【解析】選D.a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0.3.【解析】選B.(a3+b3)-(ab2+a2b)=(a3-ab2)-(a2b-b3)=a(a2-b2)-b(a2-b2)=(a2-b2)(a-b)=(a-b)2(a+b),由于a<0,b<0,所以(a-b)2≥0,a+b<0,于是(a3+b3)-(ab2+a2b)≤0,故a3+b3≤ab2+a2b.4.【解析】選D.假設(shè)a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,則a+b≥0,這與a+b<0相沖突,因此假設(shè)錯誤,即a,b中至少有一個小于0.5.【解析】選C.要比較P,Q的大小關(guān)系,只要比較P2,Q2的大小關(guān)系,只要比較2a+7+2QUOTE與2a+7+2QUOTE的大小,只要比較QUOTE與QUOTE的大小,即比較a2+7a與a2+7a+12的大小,只要比較0與12的大小,∵0<12,∴P<Q.【變式備選】在不等邊三角形ABC中,a為最大邊,要想得到A為鈍角的結(jié)論,三邊a,b,c應(yīng)滿足的條件是()(A)a2<b2+c2 (B)a2=b2+c2(C)a2>b2+c2 (D)a2≤b2+c2【解析】選C.當(dāng)A為鈍角時,cosA<0,因此QUOTE<0,于是a2>b2+c2.6.【思路點(diǎn)撥】先利用|m|=m,則m≥0,|m|=-m,則m≤0,將條件進(jìn)行化簡,然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出a和b的范圍.【解析】選B.∵|logaQUOTE|=logaQUOTE,∴l(xiāng)ogaQUOTE≥0=loga1,依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知0<a<1.∵|logba|=-logba,∴l(xiāng)ogba≤0=logb1,但b≠1,所以依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知b>1.7.【解析】選A.由題可知f(x)=ex-1>-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1,若有f(a)=g(b),則g(b)∈(-1,1],即-b2+4b-3>-1,解得2-QUOTE<b<2+QUOTE.8.【解析】選C.假設(shè)三個數(shù)都大于-2,即a+QUOTE>-2,b+QUOTE>-2,c+QUOTE>-2,則得到(a+QUOTE)+(b+QUOTE)+(c+QUOTE)>-6.而a,b,c都是負(fù)數(shù),所以(a+QUOTE)+(b+QUOTE)+(c+QUOTE)=(a+QUOTE)+(b+QUOTE)+(c+QUOTE)≤-2QUOTE-2QUOTE-2QUOTE=-6,這與(a+QUOTE)+(b+QUOTE)+(c+QUOTE)>-6沖突,因此三個數(shù)中至少有一個不大于-2.【變式備選】證明:若正數(shù)a,b,c滿足abc>8,則a,b,c中至少有一個大于2.【解析】假設(shè)a,b,c都不大于2,即0<a≤2,0<b≤2,0<c≤2,所以0<abc≤8,這與abc>8沖突,因此a,b,c中至少有一個大于2.9.【解析】∵P=QUOTE,Q=QUOTE,R=QUOTE,而2QUOTE<QUOTE+QUOTE<QUOTE+QUOTE,∴QUOTE>QUOTE>QUOTE,故QUOTE>QUOTE>QUOTE,即P>R>Q.答案:P>R>Q10.【解析】由于x>0,y>0,所以QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=8,當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時等號成立.若QUOTE+QUOTE>m2+2m恒成立,則8>m2+2m,解得-4<m<2.答案:(-4,2)11.【解析】在(1)式中令m=1可得f(1,n+1)=f(1,n)+2,則f(1,5)=f(1,4)+2=…=9;在(2)式中,由f(m+1,1)=2f(m,1)得,f(5,1)=2f(4,1)=…=16f(1,1)=16,從而f(5,6)=f(5,1)+10=26,故①②③均正確.答案:①②③12.【證明】假設(shè)a,b,c,d都是非負(fù)數(shù),由于a+b=c+d=1,所以a,b,c,d∈[0,1],所以ac≤QUOTE≤QUOTE,bd≤QUOTE≤QUOTE,所以ac+bd≤QUOTE+QUOTE=1,這與已知ac+bd>1相沖突,所以原假設(shè)不成立,即證得a,b,c,d中至少有一個是負(fù)數(shù).13.【解析】①選擇(2)式計(jì)算如下sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-QUOTEsin30°=QUOTE.②三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=QUOTE.證明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+QUOTEcos2α+QUOTEsinαcosα+QUOTEsin2α-QUOTEsinαcosα-QUOTEsin2α=QUOTEsin2α+QUOTEcos2α=QUOTE.14.【解析】(1)a3+QUOTE-a2-QUOTE=QUOTE(a-1)(a5-1),由于a>1,所以QUOTE(a-1)(a5-1)>0,故原不等式成立.(2)能將條件“a>1”適當(dāng)放寬.理由如下:由于a-1與a5-1對于任意的a>0且a≠1都保持同號,所以上述不等式對任何a>0且a≠1都成立,故條件可以放寬為a>0且a≠(3)依據(jù)(1)(2)的證明,