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相交弦定理證明相交弦定理是任何兩個相交的弦乘積相等的定理。證明如下：假設在圓O內有兩條相交弦AB和CD，它們交于點E。連接OA，OB，OC和OD。通過延長弦AB和CD，可以形成四個三角形：?OAE，?OBE，?OCE和?ODE。首先考慮?OAE和?OCE。由于這兩個三角形都有同一基線OE，所以可對它們應用相似三角形的對應角相等的性質，得到∠OAE=∠OCE。因為它們都在圓O上，所以它們的對邊AE和CE也相等。因此，根據正弦定理，有：sin∠OAE/sin∠OCE=AE/CE同理，考慮?OBE和?ODE，由于這兩個三角形都有同一基線OE，所以可對它們應用相似三角形的對應角相等的性質，得到∠OBE=∠ODE，因為它們都在圓O上，所以它們的對邊BE和DE也相等。因此，根據正弦定理，有：sin∠OBE/sin∠ODE=BE/DE將這兩個式子相乘，并應用正弦乘積公式，有：sin∠OAE/sin∠OCE×sin∠OBE/sin∠ODE=(AE/CE)×(BE/DE)注意到∠OAE+∠OBE和∠OCE+∠ODE都為180度（因為它們都是反向弧所對應的角），所以可以使用余弦定理，將上式整理為：（AE×BE）/(CE×DE)=cos∠OAE×cos∠OBE因為點A，B，C和D都在圓O的周長上，所以AE，BE，CE和DE都是圓O的半徑r。另外，∠OAE和∠OBE的余弦可以使用細思恒性cos(∠OAE-∠OBE)=cos(∠OAE)cos(∠OBE)+sin(∠OAE)sin(∠OBE)來求解。因為三角恒等式，所以它們的差為：cos(∠OAE-∠OBE)=cos∠OAE×cos∠OBE+sin∠OAE×sin∠OBE將這些結果代入式子中，有：(r×r)/(r×r)=cos(∠OAE-∠OBE)因此，有：cos(∠OAE-∠OBE)=1這意味著∠OAE-∠OBE=0度，也就是說∠OAE=∠OBE。因此，可以將余弦定理中的cos∠OAE和cos∠OBE替換為cos∠O.因此，最終的

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