【優(yōu)教通-同步備課】高中數學(北師大版)選修2-1教案：第2章-知識拓展：淺談空間距離的幾種計算方法

淺談空間距離的幾種計算方法【摘要】空間的距離是從數量角度進一步刻劃空間中點、線、面、體之間相對位置關系的重要的量，是平面幾何與立體幾何中爭辯的重要數量．空間距離的求解是高中數學的重要內容，也是歷年高考考查的重點和熱點，其中以點與點、點到線、點到面的距離為基礎，一般是將問題最終轉化為求線段的長度。在解題過程中，要充分利用圖形的特點和概念的內在聯系，做好各種距離間的相互轉化，從而使問題得到解決?！娟P鍵詞】空間距離點線距離點面距離異面直線距離公垂線段等體積法【正文】空間距離是衡量空間中點、線、面、體之間相對位置關系的重要的量?？臻g距離的求解是高中數學的重要內容，也是歷年高考考查的重點。空間距離主要包括：（1）兩點之間的距離；（2）點到直線的距離；（3）點到平面的距離；（4）兩條異面直線的距離；（5）與平面平行的直線到平面的距離；（6）兩平行平面間的距離。這六種距離的計算一般常接受“一作、二證、三計算”的方法求解。對同學來說是較難把握的一種方法，難就難在“一作”上。所謂的“一作”就是作出點線或點面距中的垂線段，異面直線的公垂線段。除非有相當的基本功，否則這種方法很難運用自如，因此就需要進行轉化來求解這些空間距離。下面就介紹幾種常見的空間距離的計算方法，使得有些距離的計算可以避開作(或找)公垂線段、垂線段的麻煩，使空間距離的計算變得比較簡潔。一、兩點之間的距離兩點間的距離的計算通常有兩種方法：1、可以計算線段的長度。把要求的線段放入某個三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。2、可以用空間兩點間距離公式。假如圖形比較特殊，便于建立空間直角坐標系，可寫出兩點的坐標，然后代入兩點間距離公式計算即可。二、點到直線的距離在求解點到直線的距離時，通常是查找或構造一個三角形。其中點是三角形的一個頂點，直線是此頂點所對的一條邊，利用等面積法計算點線距離。所查找或構造的三角形有等腰三角形（或等邊三角形）、直角三角形、一般三角形三類，最關鍵的步驟是算出三角形的面積，然后用等面積法計算即可。其中最難計算的是一般三角形的面積，這類面積的計算通常是已知三邊，先求出一個角的余弦值，再求出次角的正弦值，然后用正弦面積公式算出面積。例1、在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，求點A到BC的距離。ABCDD解：作，垂足為D，又AB=2，BC=3，AC=4ABCDD點A到BC的距離為三、點到平面的距離求解點到平面的距離常用的方法有以下幾種：1、由已知的或可以證明垂直的關系，則垂線段的長度就是點到平面的距離。2、過點作已知平面的垂線，可以找到垂足的位置，從而得到點到平面的距離。例如在正三棱錐中，求頂點到底面的距離，可以過正三棱錐的頂點作底面的垂線，垂足為底面正三角形的中心，然后通過計算求得距離。又例如若已知所在的平面與已知平面垂直，可以過點作兩平面交線的垂線，此點與垂足間的距離即為點到平面的距離。3、用等體積法求解點面距離。4、向量法：求點A到平面的距離：在平面內任取一點B，求向量在平面上的法向量上的射影長，即例2、如圖，在長方體中，E在AD上，且AE=1，F在AB上，且AF=3，（1）求點到直線EF的距離；（2）求點C到平面的距離。解：（1）連接FC,EC,由已知FC=，,,設到EF的距離為，則（2）設C到平面的距離為又四、兩條異面直線的距離1、對于特殊的圖形，可以作出異面直線的公垂線段并證明，然后算出公垂線段的長度。2、轉化為兩個平行平面的距離，再轉化為點面的距離進行計算。例3、三角形ABC是邊長為2的正三角形，平面ABC，P點在平面ABC內的射影為O，并且PA=PB=PC=。求異面直線PO與BC間的距離。分析：過點P作平面ABC的垂線段PO，但是必需了解垂足O的性質，否則計算無法進行。為此連結OA，OB，OC（如圖）．則由PA＝PB＝PC可得OA＝OB＝OC，即O是正三角形ABC的中心．于是可以在直角三角形PAO中由PA=EQ\F(2EQ\r(6),3),OA=EQ\F(2EQ\r(3),3)，得PO=EQ\F(2EQ\r(3),3)。有了以上基礎，只要延長AO，交BC于D，則可證明OD即為異面直線PO與BC間的距離，為EQ\F(EQ\r(3),3)。五、直線到平面的距離直線到平面的距離是過直線上任意一點向平面作垂線所得垂線段的長度，一般求解都是轉化為求點到平面的距離。例4、已知：正方體，，E為棱的中點。求到平面ADE的距離。解：