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第1講空間幾何體及其表面積與體積基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時:40分鐘)一、填空題1.(2021·無錫模擬)若正三棱錐的底面邊長為eq\r(2),側(cè)棱長為1,則此三棱錐的體積為________.解析該正三棱錐的底面積為eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2=eq\f(\r(3),2),高為eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2)=eq\f(\r(3),3),所以該正三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)=eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)2.(2021·宿遷模擬)用半徑為2cm的半圓形紙片卷成一個圓錐筒,則這個圓錐筒的高為________cm.解析用半徑為2cm的半圓形紙片卷成一個圓錐筒,該圓錐的母線長為2,底面圓的周長為2π,所以底面圓的半徑為1,則這個圓錐筒的高為eq\r(22-r2)=eq\r(3)(cm).答案eq\r(3)3.(2022·福州模擬)如圖所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長均為1,且AA1⊥底面ABC,則三棱錐B1-ABC1解析三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積,三棱錐A-B1BC1的高為eq\f(\r(3),2),底面積為eq\f(1,2),故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(3),12).答案eq\f(\r(3),12)4.(2021·鹽城模擬)若一個圓錐的側(cè)面開放圖是面積為4π的半圓面,則該圓錐的體積為________.解析由圓錐的側(cè)面開放圖是面積為4π的半圓面,得該半圓的半徑是2eq\r(2),即為圓錐的母線長.半圓周長即為圓錐底面圓的周長,設(shè)圓錐底面圓半徑為r,則2eq\r(2)π=2πr,解得r=eq\r(2),所以圓錐的高是h=eq\r(2\r(2)2-r2)=eq\r(6),體積是V=eq\f(1,3)πr2h=eq\f(2\r(6),3)π.答案eq\f(2\r(6),3)π5.(2021·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知△ABC為等腰直角三角形,斜邊BC上的中線AD=2,將△ABC沿AD折成60°的二面角,連接BC,則三棱錐C-ABD的體積為________.解析由題意可得∠CDB=60°,DC=DB,所以△DCB是邊長為2的等邊三角形,且AD⊥平面DCB,所以三棱錐C-ABD的體積為eq\f(1,3)S△BCD·AD=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2sin60°×2=eq\f(2\r(3),3).答案eq\f(2\r(3),3)6.(2021·南京模擬)已知圓錐的側(cè)面開放圖是一個半徑為3cm,圓心角為eq\f(2π,3)的扇形,則此圓錐的高為________cm.解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,則2πr=3×eq\f(2π,3),所以r=1,所以高為eq\r(32-12)=2eq\r(2).答案2eq\r(2)7.(2022·山東卷)一個六棱錐的體積為2eq\r(3),其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為________.解析設(shè)六棱錐的高為h,斜高為h0.由于該六棱錐的底面是邊長為2的正六邊形,所以底面面積為eq\f(1,2)×2×2×sin60°×6=6eq\r(3),則eq\f(1,3)×6eq\r(3)h=2eq\r(3),得h=1,所以h0=eq\r(\r(3)2+12)=2,所以該六棱錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×2×2×6=12.答案128.(2021·泰州檢測)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D為棱AA1的中點.若AA1=4,AB=2,則四棱錐B-ACC1D解析由于四棱錐B-ACC1D的底面ACC1D的面積為eq\f(1,2)×(2+4)×2=6,高為eq\f(\r(3),2)×2=eq\r(3),所以體積為eq\f(1,3)×6×eq\r(3)=2eq\r(3).答案2eq\r(3)二、解答題9.(2022·蘇州檢測)一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm,高是eq\f(3,2)cm.(1)求三棱臺的斜高;(2)求三棱臺的側(cè)面積和表面積.解(1)設(shè)O1、O分別為正三棱臺ABC-A1B1C1的上、下底面正三角形的中心,如圖所示,則O1O=eq\f(3,2),過O1作O1D1⊥B1C1,OD⊥BC,則D1D為三棱臺的斜高;過D1作D1E⊥AD于E,則D1E=O1O=eq\f(3,2),因O1D1=eq\f(\r(3),6)×3=eq\f(\r(3),2),OD=eq\f(\r(3),6)×6=eq\r(3),則DE=OD-O1D1=eq\r(3)-eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(3),2).在Rt△D1DE中,D1D=eq\r(D1E2+ED2)=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)=eq\r(3)(cm).故三棱臺的斜高為eq\r(3)cm.(2)設(shè)c,c′分別為上、下底的周長,h′為斜高,S側(cè)=eq\f(1,2)(c+c′)h′=eq\f(1,2)(3×3+3×6)×eq\r(3)=eq\f(27\r(3),2)(cm2),S表=S側(cè)+S上+S下=eq\f(27\r(3),2)+eq\f(\r(3),4)×32+eq\f(\r(3),4)×62=eq\f(99\r(3),4)(cm2).故三棱臺的側(cè)面積為eq\f(27\r(3),2)cm2,表面積為eq\f(99\r(3),4)cm2.10.如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D-ABC,如圖2所示.(1)求證:BC⊥平面ACD;(2)求幾何體D-ABC的體積.(1)證明在題圖中,可得AC=BC=2eq\r(2),從而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC,又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC?平面ABC,∴BC⊥平面ACD.(2)解由(1)可知,BC為三棱錐B-ACD的高,BC=2eq\r(2),S△ACD=2,∴VB-ACD=eq\f(1,3)S△ACD·BC=eq\f(1,3)×2×2eq\r(2)=eq\f(4\r(2),3),由等體積性可知,幾何體D-ABC的體積為eq\f(4\r(2),3).力量提升題組(建議用時:25分鐘)1.(2022·江蘇卷)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面分別為S1,S2,體積分別為V1,V2,若它們的側(cè)面積相等,且eq\f(S1,S2)=eq\f(9,4),則eq\f(V1,V2)的值是________.解析設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面和高分別為r1、h1,r2、h2,則2πr1h1=2πr2h2,eq\f(h1,h2)=eq\f(r2,r1),又eq\f(S1,S2)=eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))=eq\f(9,4),所以eq\f(r1,r2)=eq\f(3,2),則eq\f(V1,V2)=eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)=eq\f(r\o\al(2,1),r\o\al(2,2))·eq\f(h1,h2)=eq\f(r\o\al(2,1),r\o\al(2,2))·eq\f(r2,r1)=eq\f(r1,r2)=eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)2.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點,AB=eq\r(3),∠ASC=∠BSC=30°,則棱錐S-ABC的體積為________.解析由題意知,如圖所示,在棱錐S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一個角為30°的直角三角形,其中AB=eq\r(3),SC=4,所以SA=SB=2eq\r(3),AC=BC=2,作BD⊥SC于D點,連接AD,易證SC⊥平面ABD,因此V=eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×4=eq\r(3).答案eq\r(3)3.(2022·云南統(tǒng)一檢測)已知球O的體積等于eq\f(125π,6),假如長方體的八個頂點都在球O的球面上,那么這個長方體的表面積的最大值等于________.解析由球O的體積為eq\f(125π,6)=eq\f(4,3)πR3,得球O的半徑R=eq\f(5,2).設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y,z,則x2+y2+z2=(2R)2=25,所以該長方體的表面積2xy+2xz+2yz≤2(x2+y2+z2)=50,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時取等號,所以表面積的最大值為50.答案504.如圖,四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=eq\f(1,2)PD.(1)證明:PQ⊥平面DCQ;(2)求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值.(1)證明由條件知四邊形PDAQ為直角梯形.由于QA⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交線為AD.又四邊形ABCD為正方形,DC⊥AD,所以DC⊥平面PDAQ,可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=eq\f
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