【優(yōu)化方案】2021高考數學(人教版)一輪復習學案58-變量間的相關關系

學案58變量間的相關關系導學目標：1.會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖生疏變量間的相關關系.2.了解最小二乘法的思想，能依據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程．自主梳理1．兩個變量的線性相關(1)正相關在散點圖中，點散布在從__________到________的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關．(2)負相關在散點圖中，點散布在從________到________的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關．(3)線性相關關系、回歸直線假如散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線四周，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．2．回歸方程(1)最小二乘法求回歸直線使得樣本數據的點到它的________________________的方法叫做最小二乘法．(2)回歸方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數．自我檢測1．下列有關線性回歸的說法，不正確的是()A．相關關系的兩個變量不愿定是因果關系B．散點圖能直觀地反映數據的相關程度C．回歸直線最能代表線性相關的兩個變量之間的關系D．任一組數據都有回歸直線方程2．(2009·海南，寧夏)對變量x，y有觀測數據(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u，v有觀測數據(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(2)．由這兩個散點圖可以推斷()A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關3．(2011·銀川模擬)下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數據：月份x1234用水量y4.5432.5由散點圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關關系，其回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(a,\s\up6(^))等于()A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．4．(2010·廣東)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出Y(單位：萬元)的統計資料如下表所示：年份20052006200720082009收入x11.512.11313.315支出Y1012依據統計資料，居民家庭年平均收入的中位數是_________________________________，家庭年平均收入與年平均支出有______線性相關關系．5．(2011·金陵中學模擬)已知三點(3,10)，(7,20)，(11,24)的橫坐標x與縱坐標y具有線性關系，則其回歸方程是________________.探究點一利用散點圖推斷兩個變量的相關性例1有一位同學家開了一個小賣部，他為了爭辯氣溫對熱飲銷售的影響，經過統計，得到一個賣出熱飲杯數與當天氣溫的對比表：溫度(℃)－504712151923273136熱飲杯數15615013212813011610489937654(1)畫出散點圖；(2)你能從散點圖中發(fā)覺氣溫與熱飲銷售杯數之間關系的一般規(guī)律嗎？變式遷移1某班5個同學的數學和物理成果如表：同學學科ABCDE數學8075706560物理7066686462畫出散點圖，并推斷它們是否有相關關系？探究點二求回歸直線方程例2假設關于某設備的使用年限x和所支出的修理費用y(萬元)有以下統計資料：使用年限x23456修理費用y6.57.0若由資料知y對x呈線性相關關系．試求回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).變式遷移2已知變量x與變量y有下列對應數據：x1234yeq\f(1,2)eq\f(3,2)23且y對x呈線性相關關系，求y對x的回歸直線方程．探究點三利用回歸方程對總體進行估量例3下表供應了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對比數據．x3456y2.5344.5(1)請畫出上表數據的散點圖；(2)請依據上表供應的數據，用最小二乘法求出y關于x的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤．試依據(2)求出的回歸方程，猜想生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？(參考數值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)變式遷移3(2011·鹽城期末)某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關系，隨機統計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對比表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數據得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，猜想當氣溫為－4℃時，用電量的度數約為________．1．相關關系與函數關系不同．函數關系中的兩個變量間是一種確定性關系．而相關關系是一種非確定性關系，即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系．函數關系是一種因果關系，而相關關系不愿定是因果關系，也可能是伴隨關系．2．回歸直線方程：設x與y是具有相關關系的兩個變量，且相應于n個觀測值的n個點大致分布在某一條直線的四周，就可以認為y對x的回歸函數的類型為直線型：eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).其中我們稱這個方程為y對x的回歸直線方程．其中eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi，(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點的中心．3．求回歸直線方程的步驟：(1)計算出eq\x\to(x)、eq\x\to(y)、eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)、eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi的值；(2)計算回歸系數eq\o(a,\s\up6(^))、eq\o(b,\s\up6(^))；(3)寫出回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下列命題：①線性回歸方法就是由樣本點去查找一條貼近這些樣本點的直線的數學方法；②利用樣本點的散點圖可以直觀推斷兩個變量的關系是否可以用線性關系表示；③通過回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))及回歸系數eq\o(b,\s\up6(^))，可以估量和猜想變量的取值和變化趨勢．其中正確的命題是()A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．設有一個回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2－1.5x，則變量x增加一個單位時()A．y平均增加1.5個單位B．y平均增加2個單位C．y平均削減1.5個單位D．y平均削減2個單位3．(2011·陜西)設(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結論中正確的是()A．x和y的相關系數為直線l的斜率B．x和y的相關系數在0到1之間C．當n為偶數時，分布在l兩側的樣本點的個數確定相同D．直線l過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))4．(2011·山東)某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954依據上表可得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為()A．63.6萬元 B．65.5萬元C．67.7萬元 D．72.0萬元5．(2011·青島模擬)為了考察兩個變量x和y之間的線性相關性，甲、乙兩位同學各自獨立做了10次和15次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1、l2，已知兩人所得的試驗數據中，變量x和y的數據的平均值都相等，且分別是s、t，那么下列說法中正確的是()A．直線l1和l2確定有公共點(s，t)B．直線l1和l2相交，但交點不愿定是(s，t)C．必有l(wèi)1∥l2D．l1與l2必定重合二、填空題(每小題4分，共12分)6．下列關系中，是相關關系的為________．(填序號)①同學的學習態(tài)度與學習成果之間的關系；②老師的執(zhí)教水平與同學的學習成果之間的關系；③同學的身高與同學的學習成果之間的關系；④家庭的經濟條件與同學的學習成果之間的關系．7．已知回歸直線的斜率的估量值是0.73，樣本點的中心為(12.5,8.25)，則回歸直線的回歸方程是______________．8．(2011·茂名月考)在爭辯硝酸鈉的可溶性程度時，觀測它在不同溫度的水中的溶解度，得觀測結果如下表：溫度(x)010205070溶解度(y)66.776.085.0112.3128.0則由此得到回歸直線的斜率為________．三、解答題(共38分)9．(12分)(2011·威海模擬)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此做了四次試驗，得到的數據如下：零件的個數x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5(1)在給定的坐標系中畫出表中數據的散點圖；(2)求出y關于x的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并在坐標系中畫出回歸直線；(3)試猜想加工10個零件需要多少時間？(注：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x))10．(12分)(2010·許昌模擬)某種產品的宣揚費支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對應數據：x24568y3040605070(1)畫出散點圖；(2)求回歸直線方程；(3)試猜想宣揚費支出為10萬元時，銷售額多大？11．(14分)某企業(yè)上半年產品產量與單位成本資料如下：月份產量(千件)單位成本(元)127323723471437354696568(1)求出回歸方程；(2)指出產量每增加1000件時，單位成本平均變動多少？(3)假定產量為6000件時，單位成本為多少元？學案58變量間的相關關系自主梳理1．(1)左下角右上角(2)左上角右下角2.(1)距離的平方和最小(2)eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)自我檢測1．D2.C3.D4．13正5.eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(7,4)x＋eq\f(23,4)課堂活動區(qū)例1解題導引推斷變量間是否線性相關，一種常用的簡便可行的方法就是作散點圖．散點圖是由大量數據點分布構成的，是定義在具有相關關系的兩個變量基礎之上的，對于性質不明確的兩組數據可先作散點圖，直觀地分析它們有無關系及關系的親熱程度．解(1)以x軸表示溫度，以y軸表示熱飲杯數，可作散點圖，如圖所示．(2)從圖中可以看出，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數之間是負相關關系，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數越少．從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線四周．變式遷移1解以x軸表示數學成果，y軸表示物理成果，可得相應的散點圖如下圖所示：由散點圖可見，兩者之間具有相關關系．例2解題導引依據題目給出的數據，利用公式求回歸系數，然后獲得回歸方程．解制表如下：i12345合計xi2345620yi6.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xeq\o\al(2,i)4916253690eq\x\to(x)＝4；eq\x\to(y)＝5；eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x2i＝90；eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝112.3于是有eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝eq\f(12.3,10)＝1.23；eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0.08.∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08.變式遷移2解eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(3,2)＋2＋3,4)＝eq\f(7,4)，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＝30，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,2)＋3×2＋4×3＝eq\f(43,2)，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(\f(43,2)－4×\f(5,2)×\f(7,4),30－4×\f(25,4))＝0.8，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝eq\f(7,4)－0.8×eq\f(5,2)＝－0.25，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x－0.25.例3解題導引利用描點法得到散點圖，按求回歸方程的步驟和公式，寫出回歸方程，最終對總體進行估量．利用回歸方程可以進行猜想，回歸方程將部分觀測值所反映的規(guī)律進行延長，是我們對有線性相關關系的兩個變量進行分析和把握，依據自變量的取值估量和預報因變量值的基礎和依據，有廣泛的應用．解(1)散點圖：(2)eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝32＋42＋52＋62＝86，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi－4\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝3.5－0.7×4.5＝0.35.∴所求的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35.(3)現在生產100噸甲產品用煤eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴降低90－70.35＝19.65(噸標準煤)．變式遷移368解析eq\x\to(x)＝10，eq\x\to(y)＝40，回歸方程過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，∴40＝－2×10＋eq\o(a,\s\up6(^)).∴eq\o(a,\s\up6(^))＝60.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60.令x＝－4，eq\o(y,\s\up6(^))＝(－2)×(－4)＋60＝68.課后練習區(qū)1．D[依據線性回歸的含義、方法、作用分析這三個命題都是正確的．]2．C[設(x1，y1)，(x2，y2)在直線上，若x2＝x1＋1，則y2－y1＝(2－1.5x2)－(2－1.5x1)＝1.5(x1－x2)＝－1.5，y平均削減1.5個單位．]3．D[由于相關系數是表示兩個變量是否具有線性相關關系的一個值，它的確定值越接近1，兩個變量的線性相關程度越強，所以A、B錯誤．C中n為偶數時，分布在l兩側的樣本點的個數可以不相同，所以C錯誤．依據線性回歸方程確定經過樣本中心點可知D正確．所以選D.]4．B[∵eq\x\to(x)＝eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝eq\f(7,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)＝42，又eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，∴42＝eq\f(7,2)×9.4＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝9.1.∴線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝9.4x＋9.1.∴當x＝6時，eq\o(y,\s\up6(^))＝9.4×6＋9.1＝65.5(萬元)．]5．A[回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).而eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，即eq\o(a,\s\up6(^))＝t－eq\o(b,\s\up6(^))s，t＝eq\o(b,\s\up6(^))s＋eq\o(a,\s\up6(^)).∴(s，t)在回歸直線上．∴直線l1和l2確定有公共點(s，t)．]6．①②解析①中同學的學習態(tài)度與學習成果之間不是因果關系，但具有相關性，是相關關系．②老師的執(zhí)教水平與同學的學習成果之間的關系是相關關系．③④都不具備相關關系．7.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.73x－0.875解析eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝8.25－0.73×12.5＝－0.875.8．0.8809解析eq\x\to(x)＝30，eq\x\to(y)＝93.6，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝7900，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝17035，∴回歸直線的斜率為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(17035－5×30×93.6,7900－4500)≈0.8809.9．解(1)散點圖如圖所示．(4分)(2)由表中數據得eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝52.5，eq\x\to(x)＝3.5，eq\x\to(y)＝3.5，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝54，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝0.7.∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝1.05.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋1.05.回歸直線如圖中所示．(10分)(3)將x＝10代入回歸直線方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小時)，∴猜想加工10個零件需要8.05小時．(12分)10．解(1)依據表中所列數據可得散點圖如圖所示：(4分)(2)計算得：eq\x\to(x)＝eq\f(25,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(250,5)＝50，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝145，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝1380.于是可得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(5),\