【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修2雙基限時(shí)練27

雙基限時(shí)練(二十七)一、選擇題1．圓x2＋y2＝1與x2＋y2－2x－2y＝0的位置關(guān)系是()A．相交 B．相離C．內(nèi)含 D．外切解析圓心距d＝eq\r(1－02＋1－02)＝eq\r(2)<1＋eq\r(2)，且d>eq\r(2)－1，可知答案為A.答案A2．若x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0與x2＋y2＋2x－2y－2＝0相外切，則m的值為()A．－5 B．3C．－5或3 D．以上均不對解析x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0可化為(x－m)2＋(y＋2)2＝9，x2＋y2＋2x－2y－2＝0可化為(x＋1)2＋(y－1)2＝4，由題可知，eq\r(m＋12＋－2－12)＝3＋2，得m＝－5，或m＝3.答案C3．過兩圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝13及(x＋2)2＋(y＋1)2＝9的交點(diǎn)的直線方程是()A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0C．5x＋3y＋2＝0 D．5x＋3y－2＝0解析將兩圓的方程相減．答案A4．兩圓x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0與x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2A．2eq\r(2) B．2C.eq\r(2) D．1解析兩圓相交弦所在的直線方程為x＋y＋a＋b＝0，∴弦長＝2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,\r(2))))2).∴當(dāng)a＝b時(shí)弦長最大，最大值為2.答案B5．若圓x2＋y2－ax＋2y＋1＝0關(guān)于直線x－y＝1對稱的圓的方程為x2＋y2＝1，則實(shí)數(shù)a的值為()A．0 B．1C．±2 D．2解析x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－1))，半徑為eq\f(|a|,2)，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,2)＝1，,\f(－1－0,\f(a,2)－0)＝－1，))得a＝2.答案D6．圓x2＋y2＋4x－4y＋7＝0與圓x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切線的條數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析兩圓的圓心距d＝eq\r(－2－22＋2＋52)＝eq\r(65)，半徑r1＝1，r2＝4，∴d>r1＋r2，∴兩圓相外離，故有4條公切線．答案D二、填空題7．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的長為2eq\r(3)，則a＝________.解析由題可知，兩圓的公共弦所在的直線方程為y＝eq\f(1,a)，圓心O到直線的距離為eq\f(1,a)，則由弦長公式(eq\r(3))2＋eq\f(1,a2)＝4，得a＝1.答案18．若(x＋1)2＋y2＝4與(x－a)2＋y2＝1相交，則a的取值范圍是________．解析由題可知eq\r(－1－a2＋0－02)∈(2－1，2＋1)，得－4<a<－2，或0<a<2.答案－4<a<－2，或0<a<29．若圓x2＋y2＝4和圓x2＋y2＋4x－4y＋4＝0關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，①,x2＋y2＝4，②))①－②可得l的方程為x－y＋2＝0.答案x－y＋2＝0三、解答題10．已知圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0與圓C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B兩點(diǎn)．(1)求公共弦AB所在的直線方程；(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，,x2＋y2－2x＋10y－24＝0，))得x－2y＋4＝0，所以公共弦AB所在的直線方程為x－2y＋4＝0.(2)設(shè)所求的圓的方程為x2＋y2＋2x＋2y－8＋λ(x2＋y2－2x＋10y－24)＝0①整理得(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)x＋(2＋10λ)y－8－24λ＝0，圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,1＋λ)，－\f(1＋5λ,1＋λ)))，又圓心在y＝－x上，即eq\f(λ－1,1＋λ)＝eq\f(1＋5λ,1＋λ)，得λ＝－eq\f(1,2).代入①得x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.即所求的圓的方程為x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.11．求通過直線2x－y＋3＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程．解解法1：設(shè)所求的圓的方程為x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x－y＋3)＝0，配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1＋λ)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－2－\f(λ,2)))2＝(1＋λ)2＋eq\f(4＋λ2,4)－3λ－1.∵r2＝eq\f(5,4)λ2＋λ＋4＝eq\f(5,4)(λ＋eq\f(2,5))2＋eq\f(19,5)，∴當(dāng)λ＝－eq\f(2,5)時(shí)，半徑r＝eq\r(\f(19,5))最小．∴所求面積最小的圓的方程為5x2＋5y2＋6x－18y－1＝0.解法2：設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋3＝0，,x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，))消去y，得5x2＋6x－2＝0.∴判別式Δ>0，AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3,5)，縱坐標(biāo)y0＝2x0＋3＝eq\f(9,5)，即圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(9,5)))，半徑r＝eq\f(1,2)·|x1－x2|eq\r(1＋22)＝eq\r(\f(19,5))，∴所求面積最小的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,5)))2＝eq\f(19,5).12．已知圓C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圓C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B兩點(diǎn)，求公共弦AB的長．解解法1：由兩圓方程相減，得公共弦AB所在直線的方程為：4x＋3y－10＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－10＝0，,x2＋y2－10x－10y＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))令A(yù)(－2,6)，B(4，－2)．故|AB|＝eq\r(－2－42＋6＋22)＝10.解法2：同法1，先求出公共弦所在直線l的方程為4x＋3y－10＝0.過C1作C1D⊥AB于D，如圖，圓C1的圓心C1(5,5)，半徑r1＝5eq\r(2)，則|C1D|＝eq\f(|20＋15－10|,5)＝5.∴|AB|＝2|AD|＝2eq\r(C1A2－C1D2)＝2eq\r(50－25)＝10.思維探究13．已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a試求a為何值時(shí)，兩圓C1，C2：(1)相切；(2)相交；(3)相離？解對圓C1，C2的方程，經(jīng)配方后