2021年高考數(shù)學(xué)解答題滿分專練44 立體幾何（文）（解析版）

專題4.4立體幾何

真題回顧

1.在三棱柱48c481G中，ABLAC,4CJ_平面49C,E,尸分別是4C,8c的中點(diǎn).

（1）求證：EF〃平面ZBCi；

（2）求證：平面半血45Bi.

【試題來源】2020年江蘇省島?考數(shù)學(xué)試卷

【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.

【分析】（1）通過證明Ef7/Aq,來證得〃平面ABC一

（2）通過證明A5_L平面AB。，來證得平面A8C_L平面ABB-

【解析】（1）由于瓦尸分別是AC5c的中點(diǎn),所以EF//A%

由于所《平面ABC，AB1<=平面Age；,所以所〃平面ABC一

（2）由于3c，平面ABC，ABI平面A8C，所以用C_LAB.

由于AB_LAC,ACc&C=C,所以A5J_平面A&C,

由于平面AB四，所以平面4與。_1_平面4?4.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，屬于中檔題.

2.如圖，在長(zhǎng)方體A3CD—44GR中，點(diǎn)￡,尸分別在棱。口，BB1上，且2DE=ED-

BF=2FB\.證明：

（1）當(dāng)=時(shí)，EF±ACi

（2）點(diǎn)G在平面4所內(nèi).

【試題來源】2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)ZI）

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得ACJ_8D,根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)得ACJLB用，進(jìn)而可證AC_L

平面Bq。。，即得結(jié)果；（2）只需證明ECJIAF即可，在CG上取點(diǎn)M使得CM=2MG,

再通過平行四邊形性質(zhì)進(jìn)行證明即可.

【解析】（1）因?yàn)殚L(zhǎng)方體48CO—A片GA,所以平面

因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-ABGD1,AB=BC,所以四邊形ABCD為正方形「.AC1BD

因?yàn)锽BJBD=B,BB「3。匚平面3月￡>|。，因此AC_1_平面34A。，

因?yàn)镋Fu平面34。|力，所以AC_L所；

（2）在CG上取點(diǎn)M使得CM=2"G，連DM,MF,

因?yàn)镈]E=2ED,DDJ/CC\,DD,=CC,,所以EO=,ED//MC,,

所以四邊形。MGE為平行四邊形，??.DMIIEC.

因?yàn)檫场―A,M尸三D4,所以M、F、4。四點(diǎn)共面，所以四邊形為平行四邊形,

:.DMHAF,:.EC\HAF,所以E、品A、尸四點(diǎn)共面,

因此G在平面AE/內(nèi).

B

3.如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，0是圓錐底面的圓心，UA3C是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO

卜一點(diǎn)./力尸0=90°.

D

（1）證明：平面R18_L平面以C；

（2）設(shè)DO72，圓錐的側(cè)面積為扃，求三棱錐P-ABC的體積.

【試題來源】2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)口）

【答案】（1）證明見解析；（2）如.

8

【分析】（1）根據(jù)已知可得B4=PB=?C,進(jìn)而有△B4Cg□尸3C，可得

ZAPC=ZBPC=90°，即P3_LPC,從而證得PC_L平面QA8，即可證得結(jié)論；（2）

將已知條件轉(zhuǎn)化為母線/和底面半徑/?的關(guān)系，進(jìn)而求出底面半徑，由正弦定理，求出正三

角形A8C邊長(zhǎng)，在等腰直角三角形APC中求*AP，在H/QA尸。中，求出P0,即可求

出結(jié)論.

【解析】（1）連接。4。比。C,QO為圓錐頂點(diǎn)，。為底面圓心，.二。。，平面A8C，

,:P在DO匕OA=OB-OC,:.PA=PB-PC,

???UABC是圓內(nèi)接正三角形，r.AC=BC△R4C9□尸8c.

.\ZAPC=ZBPC=90°,即P3_LPC,PA_LPC,

PA^PB=P,「.PC±平面PAB,PCu平面PAC,平面PAB，平面PAC.

（2）設(shè)圓錐的母線為/,底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為4〃=百耳”=6，

OD2=l2-r2=2>解得r=1,/二百，AC=2rsin60°=g，

在等腰直角三角形APC中，AP=包AC=旦,

22

在MIR4。中，PO=VAP2-OA2=,

???三棱錐P-ABC的體積為=~P0-S^ABC=L旦旦3=也

ic35C3248

4.如圖，已知三棱柱48C-481G的底面是正三角形，側(cè)面8陰GC是矩形，M,N分別為

BC,81cl的中點(diǎn)，P為上一點(diǎn).過8cl和尸的平面交48于E,交力C于尸.

A

E

B

（1）證明：AA山MN,且平面平面

（2）設(shè)。為△小51cl的中心，若AO=AB=6,407平面尸，且/M/W=巴，求四棱錐

3

8-七用。/的體積.

【試題來源】2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)□）

【答案】（1）證明見解析；（2）24.

【分析】（1）由M,N分別為BC,耳￡的中點(diǎn)，MN〃CC「根據(jù)條件可得伍/"4,

可證MN〃AA，要證平面J_平面4AMN,只需證明改_L平面A.AMN即可；

（2）根據(jù)已知條件求得S四邊形￡膽尸和"到PN的距離，根據(jù)椎體體積公式，即可求得

VB-EB1cF?

【解析】（1）???M,N分別為BC,的中點(diǎn)，.?.MN〃8片

又AAJ/BB],:.MNHAA，

在等邊口48。中，M為3c中點(diǎn)，則8C_LAM,

又???側(cè)面BB￡C為矩形，BC±BB、,

?.,MNHBB\,MN1BC，由AWCy4M=M,MN,AMu平面AA"N,

/.8C_L平面AAMN,

乂???B\CJ/BC,且用&<z平面ABC,BCu平面ABC,「?〃平面ABC,

又???BCu平面￡81G尸，且平面EB|GFc平面A3C=￡F,

/.BXCX//EF，:.EFHBC,

又???5CJL平面4AMN,斯，平面AAMN,

?.?石尸u平面EqC/，，平面ESC/j_平面RAMN；

（2）過M作PN垂線，交點(diǎn)為H，畫出圖形，如圖，

???AO〃平面，AOu平面A4MN,平面A/MNc平面￡：與。尸=NP,

/.AO//NP，又?；NOHAP,?.A0=NP=6,

為Ai414G的中心.,ON=gAGsin600=gx6xsin600=有，

故：ON=AP=6則AM=3AP=3G，

???平面EBgF_L平面A[AMN,平面E與C/c平面A.AMN=NP,

MHu平面AA"N，.二MH_L平面EBgF,

EFAPAPBC6x6,

又???在等邊口鈣。中——=—，即?=F=2'

BCAMAM

由（1）知，四邊形E用GF為梯形,

EF+BC.NP=^^x6=24,

???四邊形七4。7的面積為S四邊形即G〃一

22

|s四邊形用G尸〃，h為M到PN的距離MH=2?Sin60。=3，

/.V=lx24x3=24.

3

5.如圖，在直三棱柱48C—力山Ci中，D,E分別為BC,4c的中點(diǎn)，AB=BC.

求證：（1）49〃平面OEG；

（2）BE工CiE.

【試題來源】2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【分析】（1）由題意結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征和線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論;

（2）由題意首先證得線面垂直，然后結(jié)合線面垂直證明線線垂直即可.

【解析】（1）因?yàn)?。，E分別為SC,4C的中點(diǎn)，所以

在直三棱柱45cd/Ci中，AB〃AB,所以

因?yàn)镋Qu平面OEG,小外仁平面力EG,所以力出〃平面O/G.

（2）因?yàn)?，B=8C,E為4。的中點(diǎn)，所以BEL4c.

因?yàn)槿庵鵄BC-A\B\C\是直棱柱，所以CG平面ABC.

因?yàn)锽/u平面48C,所以CG_L8E.

因?yàn)镚Cu平面4Cu平面4/CG,CiCnJC=C,所以8E_L平面4MCG.

因?yàn)镚Eu平面小4CG,所以

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),

考查空間想象能力和推理論證能力.

6.如圖，在四棱錐P—ABC。中，E4_L平面488,底部/8C。為菱形，E為8的中

點(diǎn).

E

B

（1）求證：80_1平面為。：

（2）若乙4BC=60。，求證：平面平面B4E；

（3）棱Pb上是否存在點(diǎn)尸，使得C尸〃平面P4E?說明理由.

【試題來源】2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文）

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【分析】（1）由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；（2）由兒何體的空間結(jié)

構(gòu)特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直；

（3）由題意，利用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點(diǎn).

【解析】（1）因?yàn)镽4_L平面A8C。，所以Q4_La）；

因?yàn)榈酌鍭BC。是菱形，所以ACJ_B￡＞；

因?yàn)镻ADAC=A,PAACu平面PAC，所以BO_L平面PAC.

（2）證明：I大I為底面ARCZ）是菱形且ZABC=60°.

所以AACD為正三角形，所以AE_LCZ），

因?yàn)锳5//CD，所以AE_LAB：

因?yàn)镻AJ_平面ABC。，AEu平面A3C。，所以A￡_LQ4：

因?yàn)镽4nAB=A,所以AE_L平面RA8,

AEu平面R4E，所以平面口鉆_|_平面24七.

（3）存在點(diǎn)尸為依中點(diǎn)時(shí)，滿足C/〃平面B4E；理由如下：

分別取尸員Q4的中點(diǎn)F,G,連接C￡RG,EG,

在三角形P48中，F(xiàn)G〃鉆且FG=，A8；

2

在菱形A3CD中，E為CD中點(diǎn)、,所以CE//A5且CE=gA8,所以CE7/FG且

CE=B3、即四邊形CEGb為平行四邊形，所以CF//EG；

又CF（z平面R4E，EGu平面Q4E，所以。尸〃平面R4E.

7.圖1是由矩形AO旗，心MBC和菱形59GC組成的一個(gè)平面圖形，其中

AB=1,BE=BF=2,"BC=60°，將其沿A氏BC折起使得的與8斤重合，連結(jié)DG，

如圖2.

（I）證明圖2中的AC,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC_L平面8CGE；

（2）求圖2中的四邊形ACG3的面積.

圖1

【試題來源】2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)」）

【答案】（1）見詳解；（2）4.

【分析】（1）因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦蜛8￡D，MJABC和菱形5回GC內(nèi)部的夾角，

所以AO//3E，班7/CG依然成立，又因上和尸粘在一起，所以得證.因?yàn)锳8是平面

8CGE垂線，所以易證.（2）欲求四邊形ACG。的面積，需求出CG所對(duì)應(yīng)的高，然后

乘以CG即可.

【解析】（1）???4）//班;，BF//CG，因?yàn)镋和尸粘在一起.

?.ADHCG，A,C,G,D四點(diǎn)共面.又???AB_LBE,A8JLBC.

.?.AB_L平面BCGE,?.?A5u平面ABC,..?平面ABC1平面BCGE,得證.

（2）取CG的中點(diǎn)M，連結(jié)EM、DW.因?yàn)锳B//DE,平面BCGE,所以O(shè)E_L平

面BCGE,故DEtCG,

由已知，四邊形BCGE是菱形，且NEBC=60°得EMJLCG,故CG_L￥面DEM.

因此ZWJLCG.在用△力中，DE=I,EM=6故DM=2.

所以四邊形ACGD的面積為4.

【名師點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題.首先是多面體粘合問題，考查考生在粘合過程中哪些

量是不變的.再者粘合后的多面體不是直棱柱，最后將求四邊形ACGO的面積考查考生的

空間想象能力.

8.如圖.在四棱錐P—ABC。中.底面ABC。為平行四邊形,[JPCD為等邊二角形.平

面PACJL平面PC。，PA1CD,CD=2,AD=3,

（1）設(shè)G,以分別為尸4,AC的中點(diǎn)，求證：GH0平面PAD；

（2）求證：%_1_平面夕。。；

（3）求直線4。與平面PAC所成角的正弦值.

【試題來源】2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文）

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）且.

3

【分析】（1）連接結(jié)合平行匹邊形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，得到GHUP。，

利用線面平行的判定定理證得結(jié)果：（2）取棱PC的中點(diǎn)N,連接ON,依題意，得

DNLPC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到ON_LQ4,利用線面垂直的判

定定理證得結(jié)果；（3）利用線面角的平面角的定義得到ND4N為直線AO與平面尸AC所

成的角，放在直角三角形中求得結(jié)果.

【解析】（1）證明：連接易知ACr|8O=77,BH=DH，

乂由8G=PG,故G"E]P。.

因?yàn)镚”a平面「AO，PDu平面PAQ，所以GHZ7平面PAO.

（2）取棱PC的中點(diǎn)N,連接DN.

依題意，得DN上PC，因?yàn)槠矫鍾4C_L平面尸C。，平面PACfl平面P8=PC，

所以。^，平面巳4。，又EAu平面PAC，故DN1PA,

又已知PA_LC。，CDCDN=D,所以P4_L平面尸CO.

（3）連接AN，

由（2）中ON_L平面R4C

可知4DAN為直線AD與平面PAC所成的角.

因?yàn)锳PC。為等邊三角形，8=2且N為PC的中點(diǎn),

所以DN=6,又DNLAN,在RAAND中,sinZD/4/V=—=—,

AD3

所以，直線AD與平面PAC所成角的正弦值為立.

3

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平

面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理能力.

9.如圖，長(zhǎng)方體力的底面48CO是正方形，點(diǎn)E在棱44i上，BELEG.

（1）證明：8E_L平面E81G；

（2）若4E=AiE,AB=3,求四棱維E-的體積.

【試題來源】2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)」）

【答案】（1）見詳解；（2）18

【分析】（1）先由長(zhǎng)方體得，/GJ■平面4A片8,得到與再由3E_LEG，

根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）先設(shè)長(zhǎng)方體側(cè)棱長(zhǎng)為幼，根據(jù)題中條

件求出〃=3；再取34中點(diǎn)尸，連結(jié)律，證明所，平面3BC。，根據(jù)四棱錐的體積

公式，即可求出結(jié)果.

【解析】（1）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體45CD—A旦G。中，51GJ■平面AA"/；

座u平面AA旦8,所以旦GIBE,

又BE上Eg,qC|CEC]=C[：且EC]U平面Eg。],與^匚平面七用。「

所以BE_L平面￡8?；

（2）設(shè)長(zhǎng)方體側(cè)棱長(zhǎng)為2。，則AE=AE=a，

由（1）可得EB]_LBE；所以￡叩+8爐=8用2,即23爐=3歐，

又4^=3,所以241+2A82=BB；,即2a2+18=4。2,解得。=3：

取B片中點(diǎn)尸，連結(jié)石尸，因?yàn)锳E=AE，則七尸〃A3；

所以EFJ,平面BB.C.C,所以四棱錐E-830。的體積為

匕-明”=；S矩形明CC.所=；BC?8g5=gx3x6x3=18?

【名師點(diǎn)睛】本題主要考杳線面垂直的判定，依據(jù)四棱錐的體積，熟記線面垂直的判定定理,

以及四棱錐的體積公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.

10.如圖，直四棱柱48CZ）-48QD的底面是菱形，44/=4,AB=2,N84>60。，E,M,

N分別是8C,BBi,40的中點(diǎn).

（1）證明：A/N〃平面C/OE；

（2）求點(diǎn)。到平面。。石的距離.

【試題來源】2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)I）

【答案】（1）見解析；（2）生叵.

17

【分析1（1）利用三角形中位線和可證得ME〃ND,證得四邊形為平

行四邊形，進(jìn)而證得MN//OE,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）根據(jù)題意求得三

棱錐G—82的體枳，再求出ACI。石的面枳，利用%DE求得點(diǎn)C到平面

GDE的距離，得到結(jié)果.

【解析】（1）連接ME，B}C

?.?M，E分別為34，8c中點(diǎn)，「.ME為MB。的中位線，

z.ME//B|C且ME=；B\C,

又N為4,0中點(diǎn)，且:.NDUB'CH.ND=；B。,

MEHND/.四邊形MNDE為平行四邊形，

:.MN11DE,乂用/70平面。[0￡,￡）Eu平面C[OE,

.?.MN//平面C|DE；

（2）在菱形ABC。中，E為BC中點(diǎn)，所以O(shè)E_LBC，

根據(jù)題意有。七=百，"=后,

因?yàn)槔庵鶠橹崩庵?，所以有OE_L平面BCC4,

所以DE_LEG，所以Sg￡G=gx百xJ17,

設(shè)點(diǎn)C到平面C}DE的距離為d,

根據(jù)題意有力廠血=%.GDE，則有g(shù)xgx石XJI7xd=gxgxlxQx4,

尋嚕,所以點(diǎn)C到平面C屏的距離為辭.

解得d二

11.在平行六面體A8CO—A8CR中，AA,=ABtAB,1B.q.

求證：（1）AB//平面AgC；

（2）平面J.平面RBC.

【試題來源】2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷）

【答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）先根據(jù)平行六面體得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論；（2）先根據(jù)

條件得菱形48以4,再根據(jù)菱形對(duì)角線相互垂直，以及已知垂直條件，利用線面垂直判定

定理得線面垂直，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論.

【解析】（1）在平行六面體48。-小8CQ1中，AB//A\B\.

因?yàn)槠矫鍺iBiC,4B1U平面力iBiC,所以48〃平面力出C.

（2）在平行六面體48CD小81Goi中，四邊形488Ml為平行四邊形.

因?yàn)?出=48,所以四邊形“為菱形，因此力8i_L〃反

因?yàn)橹鶪,BC〃B\C\,所以48」8c.

因?yàn)?8nBe=5,48U平面48C,8CU平面力由。，所以_L平面48C.

因?yàn)锳Bid平面ABB\A\,所以平面N即Mi_L平面A\BC.

【名師點(diǎn)睛】本題可能會(huì)出現(xiàn)對(duì)常見幾何體的結(jié)構(gòu)不熟悉導(dǎo)致幾何體中的位置關(guān)系無法得到

運(yùn)用或者運(yùn)用錯(cuò)誤，如柱體的概念中包含“兩個(gè)底面是全等的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行，

側(cè)面都是平行四邊形”,再如菱形對(duì)角線互相垂直的條件，這些條件在解題中都是已知條件,

缺少對(duì)這些條件的應(yīng)用可導(dǎo)致無法證明.

12.如圖，在四棱錐P—A3CQ中，底面A3C。為矩形，平面R4OJ_平面A8C。,

PALPD,PA=PD,E、尸分別為4力、PB的中點(diǎn).

（1）求證：PE1BC；

（2）求證：平面Q48_L平面尸CO；

（3）求證：EF〃平的PCD.

【試題來源】2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（文）（北京卷）

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】（1）因?yàn)樵?=刊>且E為AD的中點(diǎn)，所以PE_LA￡>.

因?yàn)榈酌鍭BC。為矩形，所以3a/A。，所以PE_L3C：

（2）因?yàn)榈酌鍭8CD為矩形，所以

因?yàn)槠矫鍼AZ）_L平面48c￡>,平面尸AO門平面A3co=AO，4Bi平面48CD,

所以A8_L平面尸4短，又P￡>u平面PAD，所以

又PA工PD，PA^AB=A,PA.ABI平面Q4B，.?.「￡>_L平面R45，

因?yàn)镻Du平面PCO，所以平面平面PCZ）；

（3）如圖，取尸。中點(diǎn)G，連接尸GG3.

因?yàn)樗倪呅蜛5CO為矩形，且E為4D的中點(diǎn)，所以ED〃BC,DE=gBC,

2

所以ED//FG，且ED=FG，所以四邊形EFGO為平行四邊形，

所以EF〃GD,又Ma平面PC。，G￡>u平面尸CD,所以所〃平面PC。.

【名師點(diǎn)睛】證明面面關(guān)系的核心是證明線面關(guān)系，證明線面關(guān)系的核心是證明線線關(guān)系.證

明線線平行的方法：（1）線面平行的性質(zhì)定理；（2）三角形中位線法；（3）平行四邊形法.證

明線線垂直的常用方法：（1）等腰三角形三線合一；（2）勾股定理逆定理；（3）線面垂直的

性質(zhì)定理；（4）菱形對(duì)角線互相垂直.

13.如圖，矩形A3C￡>所在平面與半圓弧CO所在平面垂直，M是CZ）上異于C，。的

點(diǎn).

（1）證明：平面平面BWC；

（2）在線段AW上是否存在點(diǎn)尸，使得MC〃平血PB。？說明理由.

【試題來源】2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（文）（新課標(biāo)【II卷）

【答案】（1）證明見解析（2）存在，理由見解析

【分析】（1）先證AD_LCM,再證CM_LMD,進(jìn)而完成證明.

（2）判斷出P為AM中點(diǎn)，，證明MC〃OP,然后進(jìn)行證明即可.

【解析】（1）由題設(shè)知，平面CM。_L平面488,交線為CD.

因?yàn)?C_LCO,8CU平面48CZ）,所以8C_L平面故8C_LZ）M.

因?yàn)镸為CO上異于C，。的點(diǎn)，且0c為直徑，所以。

又BCCCM=C,所以。M_L平面BMC.

而Z）Mu平面4MZ）,故平面4WZ）_L平面8A/C.

（2）當(dāng)P為4W的中點(diǎn)時(shí)，平面P8D.

證明如下：連結(jié)4c交80于O.因?yàn)榱?c。為矩形，所以。為4C中點(diǎn).

連結(jié)0P,因?yàn)槭瑸?W中點(diǎn)，所以MC〃0P.

平面P8。，0PU平面尸BD,所以〃平面P8D.

1/

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直,

第二問先斷出P為AM中點(diǎn)，然后作輔助線，由線線平行得到線面平行，考查學(xué)生空間想

象能力，屬于中檔題.

14.如圖，在三棱錐尸―A8C中，AB=BC=2?，PA=PB=PC=AC=4,。為AC

的中點(diǎn).

（1）證明：PO_L平面A8C；

（2）若點(diǎn)M在棱3C上，且MC=2M8,求點(diǎn)C到平面的距離.

【試題來源】2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（文）（新課標(biāo)【I卷）

【答案】（1）詳見解析⑵半

【分析】（1）連接。8,欲證PO_L平面A3C,只需證明尸O_LAC,PO_LOB即可；（2）

過點(diǎn)C作CH_LOM,垂足為〃，只需論證C”的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求

解即可.

【解析】（1）因?yàn)?P=CP=4C=4,。為4c的中點(diǎn)，所以O(shè)PUC,且。尸=2百.

連結(jié)08.因?yàn)獒?=8C=叵AC，所以△/出。為等腰直角一角形,

2

且OB_L/C,OB=-AC=2.

2

由二尸8?知，OP.LOB.

由OPLACP0±ABC.

（2）作C〃J_0M,垂足為H.又由（1）可得OPJ_C〃，所以CH_L平面尸OM.

故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離.

由題設(shè)可知0C=，AC=2,CM=ZBC=3^,4cB=45°.

233

所以。M=空,CH=OCMCS"ACB二處

30M5

所以點(diǎn)C到平面POM的距離為逑.

5

【名師點(diǎn)睛】立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面

的證明為主，解題的核心是能將叵題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二問可以通過作出點(diǎn)到

平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.

15.如圖，在平行四邊形A5cM中，AB=AC=3,NACM=90。，以AC為折痕將4

ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)。的位置，且ABJ_DA.

（1）證明：平面ACD_L平面ABC；

2

（2）。為線段AD上一點(diǎn)，P為線段8C上一點(diǎn)，且8尸求三棱錐Q—A8P

的體積.

【試題來源】2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（文）（新課標(biāo)【卷）

【答案】（1）見解析.（2）1.

【分析】（1）首先根據(jù)題的條件，可以得到NBAC=90,即胡JLAC，再結(jié)合已知條件"

±AD,利用線面垂直的判定定理證得Z8_L平面N8,因?yàn)榱?U平面48C,根據(jù)面面垂直

的判定定理，證得平面4CO_L平面48C；

（2）根據(jù)已知條件，求得相關(guān)的線段的長(zhǎng)度，根據(jù)第一問的相關(guān)垂直的條件，求得三棱錐

的高，之后借助于三棱錐的體積公式求得三棱錐的體積.

【解析】（1）由已知可得，ZBAC=90°,BA1AC.

又441且ACn4D=A.所以4B?平面NO

又4Bu平面4BC,所以平面ZCDJ_平面/8C.

27-

又BP=DQ二DA,所以3尸=2五.

作0EL4C,垂足為E則。石=□

由已知及（1）可得OUL平面N5C,所以0EJ_平面力4。，QE=\.

因此，三棱錐。-A8尸的體積為

V=—xlx—x3x2>/2sin45o=l.

yQ-ABP=-xQExSABP

32

【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體兒何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的判定以及三

棱錐的體積的求解，在解題的過程中，需要清楚題中的有關(guān)垂直的直線的位置，結(jié)合線面垂

直的判定定理證得線面垂直，之后應(yīng)用面面垂直的判定定理證得面面垂直，需要明確線線垂

直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，在求三棱錐的體積的時(shí)候，注意應(yīng)用體積公式求解即可.

16.如圖，