專題6.9 線段與角中的八大經典模型-2024-2025學年七年級數學上冊舉一反三系列（人教版2024）（解析版）

第第頁專題6.9線段與角中的八大經典模型【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【模型1單中點模型】 1【模型2相鄰雙中點模型】 3【模型3相間雙中點模型】 8【模型4半角模型】 14【模型5角疊角模型】 21【模型6角夾角模型】 26【模型7單角平分線模型】 32【模型8雙角平分線模型】 35模型1：單中點模型條件:C為AB的中點．結論:AC=BC=12AB，AB=2AC=2BC條件:C為AB上一點，D為BC的中點．結論:AD=12(AC+AB)，【模型1單中點模型】【例1】（23-24七年級·安徽合肥·階段練習）如圖，已知B，C兩點把線段AD分成2:5:3三部分，M為AD的中點，BM=6cm，求CM【答案】4【分析】本題主要考查了線段的和差，中點的定義，先根據題意設可設AB=2x?cm，BC=5x?cm，CD=3x?cm，即可表示AD，再根據中點的定義表示出AM，進而表示出BM=AM?AB，再結合BM【詳解】解：由B，C兩點把線段AD分成2:5:3三部分，可設AB=2x?cm，BC=5x?cm，所以AD=AB+BC+CD=10x?cm因為M是AD的中點，所以AM=MD=1所以BM=AM?AB=3x?cm因為BM=6?cm所以3x=6，解得x=2，所以CM=MD?CD=5x?3x=2x=2×2=4cm【變式1-1】（23-24七年級·吉林長春·階段練習）如圖，點C在線段AB上，點D是AC的中點，如果CD=4cm，AB=13cm，求線段

【答案】5【分析】本題考查了中點的性質及線段的和差，根據圖形得出線段之間的關系是解題的關鍵．根據線段中點的性質，可求出AC，再根據線段的和差即可得出答案．【詳解】解：∵點D是AC的中點，CD=4cm∴AC=2CD=2×4=8cm∵AB=13cm∴BC=AB?AC=13?8=5cm【變式1-2】（2024七年級·全國·專題練習）如圖，點B，D都在線段AC上，AB=18，點D是線段AB的中點，BD=3BC，求AC的長．【答案】21【分析】本題考查了與線段中點有關的計算、線段的和差，先求出BD=9，再結合BD=3BC得出BC=3，即可得解．【詳解】解：因為AB=18，點D是線段AB的中點，所以BD=18÷2=9．因為BD=3BC，所以BC=9÷3=3，所以AC=AB+BC=18+3=21．【變式1-3】（2024七年級·全國·專題練習）如圖，AB=10，點C是線段AB延長線上的動點，在線段BC上取一點N使得BN=2CN，點M為線段AC的中點，則MN?1

【答案】是定值，5【分析】此題考查了線段的和差運算，線段的中點有關的計算，解題的關鍵是熟練掌握線段的和差關系．根據題意設CN=x，則BN=2CN=2x，由點M為線段AC的中點，表示出MC的長度，進而表示出MN的長度，然后代入MN?1【詳解】解：是定值．理由：設CN=x，則BN=2CN=2x，所以BC=3x，所以AC=AB+BC=10+3x．因為點M為線段AC的中點．所以MC=1所以MN=MC?CN=5+3所以MN?1模型2：相鄰雙中點模型條件：C為AB上一點，E，F分別為AC，BC的中點．結論：EF=12條件：C為AB上一點，E，F分別為AB,BC的中點．結論：EF=12【模型2相鄰雙中點模型】【例2】（23-24七年級·廣東廣州·期末）如圖，點C是線段AB上的一點，點M是線段AC的中點，點N是線段BC的中點．(1)如果AB=12cm，AM=5cm，求(2)如果MN=8cm，求AB【答案】(1)2(2)16【分析】本題考查了線段中點有關的計算．（1）先求出AC，再求出BC，根據線段的中點求出BC的長即可；（2）求出BC=2CN，AC=2CM，把MN=CN+MC=8cm【詳解】（1）解：∵點M是線段AC的中點，∴AC=2AM，∵AM=5cm∴AC=10cm∵AB=12cm∴BC=AB?AC=2cm（2）解：∵點M是線段AC的中點，點N是線段BC的中點，∴BC=2NC，AC=2MC，∵MN=NC+MC=8cm∴AB=BC+AC=2MN=2×8=16cm【變式2-1】（24-25七年級·河北衡水·期中）如圖，已知數軸上A，B兩點所表示的數分別為?2和8．(1)若點A，B分別以每秒1和3個單位長度的速度向左移動，直接寫出移動多少秒時，A，B兩點的距離恰好為8？(2)若P為射線BA上的一點（點P不與A，B兩點重合），M為PA的中點，N為PB的中點，當點P在射線BA上運動時，線段MN的長度是否發(fā)生改變？若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長；若改變，請說明理由．(3)在第（2）問的條件下，點P所表示的數是多少時，PN=3PM？【答案】(1)當移動1秒或9秒時，A，B兩點的距離恰好為8(2)線段MN的長度不發(fā)生變化，其值為5，理由見詳解(3)點P所表示的數為12或?7，【分析】（1）設A、B兩點移動的時間為ts，然后根據題意可分當點B在點A（2）此題可分兩種情況討論，即分MN=MP+NP和MN=MP?NP兩種情況求得MN的長即可得到答案；（3）分當點P在A、B兩點之間運動和點P在點A的左側運動兩種情況求得AP的長，從而求得點P所表示的數．【詳解】（1）解：設A、B兩點移動的時間為ts，由題意可知ts后點A、B在數軸上所表示的數分別為當點B在點A的右側時，則有8?3t??2?t=8，解得：當點B在點A的左側時，則有?2?t?8?3t=8，解得：綜上所述：當移動1秒或9秒時，A，B兩點的距離恰好為8；（2）解：線段MN的長度不發(fā)生變化，其值為5．∵M為PA的中點，N為PB的中點，∴MP=1分下面兩種情況：①當點P在A、B兩點之間運動時（如圖）．MN=MP+NP===5；②當點P在點A的左側運動時（如圖）．MN=NP?MP===5．綜上所述，線段MN的長度不發(fā)生變化，其值為5．（3）解：當點P在A、B兩點之間運動時PN=3PM，∵MP=1∴AP=1又∵AP+BP=10，解得：AP=14AB=52當點P在點A的左側運動時PN=3PM，同理得：AP=1∵BP?AP=10，解得：AP=1此時點P所表示的數為?7．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用及數軸的知識，由于引進了數軸，我們把數和點對應起來，也就是把“數”和“形”結合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉化為簡單的問題，在學習中要注意培養(yǎng)數形結合的數學思想．【變式2-2】（2024七年級·全國·專題練習）（1）如圖，已知AB=12cm，點C為線段AB上的一個動點，D、E分別是AC、BC①若點C恰為AB的中點，則DE=②若AC=4cm，則DE=（2）如圖，點C為線段AB上的一個動點，D、E分別是AC、BC的中點；若AB=a，則DE=；【答案】（1）①6；②6；（2）a【分析】本題考查了兩點間的距離、線段的和差、線段的中點等知識點，掌握同一條直線上的兩條線段的中點間的距離等于這兩條線段和的一半成為解題的關鍵．（1）①根據線段的中點性質可得AC=CB=12AB=6、CD=12AC=3、CE=1（2）根據線段的中點性質可得AD=DC，【詳解】解：（1）①∵AB=12cm，點C恰為AB∴AC=CB=1∵D、E分別是AC、BC的中點,∴CD=12AC=3∴DE=3+3=6(cm②∵AB=12cm，AC=4∴CB=12?4=8cm∵D、E分別是AC、BC的中點,∴CD=12AC=2∴DE=2+4=6(cm故答案為：6，6；（2）∵點D、E分別是AC、BC的中點，∴AD=DC，∴DE=DC+CE=1故答案為：12【變式2-3】（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知點B在直線AP上，點M，N分別是線段AB,BP的中點．(1)如圖①，點B在線段AP上，AP=15，求MN的長；(2)如圖②，點B在線段AP的延長線上，AM?PN=3.5，點C為直線AB上一點，CA+CP=13，求CP的長．【答案】(1)MN=(2)3或10【分析】本題考查與線段中點有關的計算：（1）根據中點的定義，推出MN=1（2）根據中點的定義和線段的和差關系求出AP的長，分點C在點P的右側，點C在點A，P之間，點C在點A的左側，三種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得BM=12AB所以MN=BM+BN=1因為AP=15，所以MN=15（2）由題意，得AM=12AB所以AM?PN=1所以AP=7．當點C在點P的右側時，CA+CP=(CP+AP)+CP=13，即(CP+7)+CP=13，解得CP=3；當點C在點A，P之間時，CA+CP=AP=7≠13，不符合題意；當點C在點A的左側時，CA+CP=CA+(CA+AP)=13，即CA+(CA+7)=13，解得CA=3，所以CP=CA+AP=3+7=10．綜上所述，CP的長為3或10．模型3：相間雙中點模型條件:E，F分別為AC，DB的中點．結論:EF=12(AB+CD)=12(a+b【模型3相間雙中點模型】【例3】（23-24七年級·四川自貢·期末）如圖，A，B，C，D是直線l上的四個點，M，N分別是AB，CD的中點．(1)如果MB=2cm，NC=1.8cm，BC=5cm，則AD(2)如果MN=10cm，BC=6cm，則AD的長為___________(3)如果MN=a，BC=b，求AD的長，并說明理由．【答案】(1)12.6；(2)14；(3)2a?b，見解析．【分析】（1）根據線段的和，可得MB+CN的長，根據線段中點的性質，可得AB與MB的關系，CD與CN的關系，根據線段的和，可得答案；（2）先根據線段的和與差，計算出BM+CN的長，再根據線段中點的性質，可得AB與MB的關系，CD與CN的關系，根據線段的和，可得答案；（3）根據（2）的解題過程，即可解答；此題主要考查了線段中點的定義，線段的計算，理解線段中點的定義，熟練掌握線段的計算是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵MB=2cm，NC=1.8∴MB+NC=3.8cm∵M，N分別是AB，CD的中點，∴AB=2BM，CD=2CN，∴AB+CD=2BM+2CN=2BM+CN∴AD=AB+CD+BC=7.6+5=12.6cm故答案為：12.6；（2）解：∵MN=10cm，BC=6∴BM+CN=MN?BC=10?6=4cm∵M，N分別是AB，CD的中點，∴AB=2BM，CD=2CN，∴AB+CD=2BM+2CN=2BM+CN∴AD=AB+CD+BC=8+6=14cm故答案為：14；（3）解：∵MN=a，BC=b，∴BM+CN=a?b，∵M，N分別是AB，CD的中點，∴AB=2BM，CD=2CN，∴AB+CD=2BM+2CN=2BM+CN∴AB+CD=2a?b∵AD=AB+CD+BC，∴AD=2a?b【變式3-1】（24-25七年級·廣東江門·期中）已知線段AB=6，延長AB至點C，使BC=AB，反向延長線段AB至D，使AD=AB(1)按題意畫出圖形，并求出CD的長；(2)若M、N分別是AD、BC的中點，求MN的長．【答案】(1)18(2)12【分析】本題考查了線段的和與差以及線段中點的意義，結合圖形解題會變得形象直觀．（1）根據題意畫出圖形．可知AD=AB=BC，且CD=AD+AB+BC=18；（2）根據線段中點的意義，根據線段的和與差進一步解決問題．【詳解】（1）解：畫圖如下：∵BC=AB=6，∴CD=AD+AB+BD=AB+AB+AB=3×6=18；（2）如圖：∵M、N分別是AD、BC的中點，∴AM=12AD=∴MN=AM+AB+BN=3+6+3=12．【變式3-2】（23-24七年級·湖北武漢·階段練習）已知，點D為線段AB的中點．

(1)如圖1，若AB=4cm，點C為線段AD的中點，則BC=________cm(2)如圖2，若點E在線段AB上，且EB=5DE，求AEEB(3)若AB=a，點E在直線AB上，且BE=b(a>b)，點F為BE的中點，請?zhí)骄縁D與a、b之間的數量關系．【答案】(1)3(2)35或(3)FD=12【分析】本題主要考查了線段中點的有關計算，線段之間的數量關系，解題的關鍵是熟練掌握中點的定義，數形結合．（1）根據線段中點定義，數形結合，進行計算即可；（2）分兩種情況進行討論：當點E在點D的左側時，當點E在點D的右側時，分別畫出圖形，求出結果即可；（3）分兩種情況進行討論：當點E在線段AB的延長線上時，當點E在線段AB上時，分別畫出圖形，求出結果即可．【詳解】（1）解：∵點D為線段AB的中點，AB=4cm∴AD=BD=1∵點C為線段AD的中點，∴AC=CD=1∴BC=BD+CD=1+2=3cm故答案為：3．（2）解：∵點D為線段AB的中點，∴AD=BD，設DE=x，則EB=5x當點E在點D的左側時，如圖所示：

∴AD=BD=EB?DE=5x?x=4x，∴AE=AD?ED=4x?x=3x，∴AEEB當點E在點D的右側時，如圖所示：

∴AD=BD=EB+DE=5x+x=6x，∴AE=AD+ED=6x+x=7x，∴AEEB綜上分析可知，AEEB=3（3）解：∵點D為線段AB的中點，AB=a，∴AD=BD=1∵F為BE的中點，BE=b，∴BF=EF=1當點E在線段AB的延長線上時，如圖所示：

此時FD=DB+BF=1當點E在線段AB上時，如圖所示：

此時FD=BD?BF=1綜上分析可知，FD=12a?b【變式3-3】（2024七年級·全國·專題練習）如圖①，已知線段AB=m，CD=n，線段CD在射線AB上運動（點A在點B的左側，點C在點D的左側），且m?14(1)若BC=4，求AD的長．(2)當CD在線段AB的延長線上時，如圖②所示，若點M,N分別是線段AD,BC的中點，求MN的長．(3)當CD運動到某一時刻，使得點D與點B重合時，若點P是線段AB延長線上任意一點，請判斷PA+PBPC【答案】(1)17或25(2)7(3)是，見解析【分析】此題主要考查了線段中點的定義，線段的計算，理解線段中點的定義，熟練掌握線段的計算是解決問題的關鍵．先根據非負數的性質求出m=14，n=7，則AB=14，CD=7．（1）若BC=4，則有以下兩種情況，①當點C在點B的左側時，則BD=CD?BC=3，根據AD=AB+BD可得AD的長；②當點C在點B的右側時，根據AD=AB+BC+CD可得AD的長；（2）設BC=a，則AD=AB+BC+CD=21+a，根據線段中點定義得，AM=12AD=1221+a，（3）設PB=t，根據點D與點B重合，點C在點D的左側得點C在線段AB上，再根據點P在線段AB的延長線上畫出圖形，結合圖形得PA=14+t,PC=7+t，則PA+PB=27+t【詳解】（1）解：∵m?14≥0，7?n2≥0∴m?14=0，7?n=0，解得：m=14，n=7，∴AB=m=14，CD=n=7，若BC=4，則有以下兩種情況，①當點C在點B的左側時，如圖1①所示：∵AB=14，CD=7，BC=4，∴BD=CD?BC=7?4=3，∴AD=AB+BD=14+3=17；②當點C在點B的右側時，如圖1②所示：∵AB=14，CD=7，BC=4，∴AD=AB+BC+CD=14+4+7=25；綜上所述：線段AD的長為17或25．（2）解：設BC=a，如圖2所示：∴AD=AB+BC+CD=14+a+7=21+a，∵點M,N分別是線段AD,BC的中點，∴AM=12AD=∴BM=AM?AB=1∴MN=BN?BM=1（3）解：PA+PBPC設PB=t，∵點D與點B重合，點C在點D的左側，∴點C在線段AB上，又∵點P在線段AB的延長線上，如圖3所示：∴PA=AB+PD=14+t，∴PA+PB=14+t+t=27+t∴PA+PBPC∴PA+PBPC模型4：半角模型條件:∠AOC=α,∠BOC=β(α>β),∠EOF=α+結論:∠AOE+∠BOF=α+β2,【模型4半角模型】【例4】（23-24七年級·貴州六盤水·期末）如圖①所示，∠AOB=120°，將直角三角板的直角頂點放置在O點，OC平分∠AON．(1)若∠COM=35°，則∠AOM=______，∠BON=______．(2)如果∠COM=α，∠BON=β，試判斷α，β的數量關系，并說明理由．(3)如圖②當直角三角板繞著O點順時針旋轉一定角度，使得OM在∠AOC的內部，ON在∠BOC的外部，若∠COM=α，∠BON=β，α，β是否還存在（2）中的數量關系，若存在，請說明理由，若不存在，請求出α，β的數量關系．【答案】(1)20°；10°(2)2α?β=60°；理由見解析(3)不存在，此時α，β滿足2α+β=60°；理由見解析【分析】本題主要考查了結合圖形中角的計算，角平分線的定義，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握角平分線定義．（1）先根據∠COM=35°，求出∠CON=90°?35°=55°，根據角平分線定義得出∠AOC=∠CON=55°，然后求出結果即可；（2）根據∠MON=90°，∠COM=α，得出∠CON=90°?α，根據角平分線定義得出∠AON=2∠CON=290°?α=180°?2α，根據（3）根據∠MON=90°，∠COM=α，得出∠CON=90°?α，根據角平分線定義得出∠AON=2∠CON=290°?α=180°?2α，根據∠AON?∠AOB=∠BON，得出【詳解】（1）解：∵∠COM=35°，∴∠CON=90°?35°=55°，∵OC平分∠AON，∴∠AOC=∠CON=55°，∴∠AOM=55°?35°=20°，∠AON=2∠CON=110°，∴∠BON=∠AOB?∠AON=120°?110°=10°；（2）解：2α?β=60°，理由如下：∵∠MON=90°，∠COM=α，∴∠CON=90°?α，又∵OC平分∠AON，∴∠AON=2∠CON=290°?α∵∠AOB=∠AON+∠BON且∠AOB=120°，∴120°=180°?2α+β，即2α?β=60°．（3）解：不存在，此時α，β滿足2α+β=60°；理由如下：∵∠MON=90°，∠COM=α，∴∠CON=90°?α，又∵OC平分∠AON，∴∠AON=2∠CON=290°?α∵∠BON=β，∠AOB=120°，∠AON?∠AOB=∠BON，即180°?2α?120°=β，故2α+β=60°．【變式4-1】（23-24七年級·福建龍巖·期末）如圖，在平面內的五條射線OA、OB、OC、OD、OE中，射線OB、OC、OD是逆時針方向排列，∠AOB=2∠COD=2θ0°<θ<90°，射線OE平分(1)當射線OC、OD都在∠AOB內部，且θ=72°時，如圖1．①若∠DOE=20°，則∠BOC=______°；②若射線OD平分∠AOE，則∠DOE=______°；(2)當射線OC、OD分別在∠AOB內、外部時，如圖2，求證：∠BOC=2∠DOE；(3)當射線OC、OD都在∠AOB外部時，如圖3，若∠AOD=∠AOB，則∠BOC=______（用含θ的式子表示）．【答案】(1)①40°；②24°(2)見解析(3)3θ【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差計算：（1）根據角平分線的定義可得∠AOC=2∠2=2∠3+∠4，①根據題意可得∠2=∠COD?∠DOE=52°，從而得到∠AOC=2∠2=104°，即可求解；②根據射線OD平分∠AOE，可得∠AOE=2∠3=2∠4，進而得到∠COD=3∠3=72°（2）根據角平分線的定義可得∠AOC=2∠2=2∠3，從而得到∠DOE=∠COD?∠COE=θ?∠2，∠BOC=∠AOB?∠AOC=2θ?2∠2=2θ?∠2（3）根據∠AOB=2∠COD=2θ0°<θ<90°∠AOD=∠AOB=2θ，從而得到∠AOC=∠AOD?∠COD=θ，即可求解．【詳解】（1）解：∵射線OE平分∠AOC,∴∠AOC=2∠2=2∠3+∠4①∵θ=72°，∠DOE=20°，∴∠AOB=2∠COD=2θ=144°,∠DOE=∠3=20°，∴∠2=∠COD?∠DOE=72°?20°=52°，∴∠AOC=2∠2=104°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=40°，故答案為：40°②∵射線OD平分∠AOE，∴∠AOE=2∠3=2∠4，∴∠COD=∠2+∠3=3∠3=72°，∴∠DOE=24°；故答案為：24°（2）解：∵射線OE平分∠AOC，∴∠AOC=2∠2=2∠3，∴∠DOE=∠COD?∠COE=θ?∠2，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=2θ?2∠2=2θ?∠2∴∠BOC=2∠DOE=2θ?∠2（3）解：∵∠AOB=2∠COD=2θ0°<θ<90°∴∠AOD=∠AOB=2θ，∴∠AOC=∠AOD?∠COD=θ，∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=3θ．【變式4-2】（23-24七年級·安徽池州·期末）（1）如圖1，已知∠AOB內部有三條射線，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，若∠AOB=60°，求∠AOM+∠BON的度數；（2）若將（1）中的條件“ON平分∠BOC，OM平分∠AOC”改為“∠NOB=14∠COB，∠COM=34（3）如圖2，若ON、OC在∠AOB的外部時，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，當∠AOB=α，∠BOC=β時，猜想：∠MON與β的大小有關系嗎？如果沒有，指出結論并說明理由．【答案】（1）30°；（2）14α；（3）沒有關系，【分析】（1）根據角平分線性質可求∠MON，根據∠AOM+∠BON=∠AOB?∠MON即可解答；（2）由題意可得∠MON=∠MOC+∠NOC=34(∠AOC+∠BOC)=（3）根據角平分線性質可得∠MOC=12∠AOC=12【詳解】（1）∵ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠AOC∴∠MON=∠COM+∠CON=1∴∠AOM+∠BON=∠AOB?∠MON=60°?30°=30°；（2）∵∠AOB=α，∠NOB=14∠COB∴∠MON=∠MOC+∠NOC=3∴∠AOM+∠BON=α?3（3）與β的大小無關．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β，∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，∴∴∠MOC=12∠AOC=∴∠MON=∠MOC?∠NOC=1即∠MON=1∠MON與β的大小無關?！军c睛】此題考查了角的計算，以及角平分線，解決本題的關鍵是利用角的和與差．【變式4-3】（23-24七年級·北京西城·期末）已知：∠AOB=120°，射線OC是平面內一條動射線，射線OC繞點O順時針旋轉90°得到射線OD，OE平分∠AOD．

圖1圖2(1)如圖1，當射線OC在∠AOB外部時，若∠COE=70°，求∠BOD的度數；(2)如圖2，當射線OC、OD都在∠AOB內部時，若∠COE=α，則∠BOD=（用含α的式子表示）；(3)若OF平分∠BOC，直接寫出∠EOF度數0°<∠BOC<180°，【答案】(1)80°(2)2α?60°(3)15°或165°【分析】本題主要考查旋轉的性質、角平分線的性質和角度和差的關系，（1）根據旋轉的性質，角平分線的定義以即可計算出結果．（2）根據角平分線的定義和角的和差關系計算即可．（3）分類討論：當OC、OD位于∠AOB內部；當OC或OD位于∠AOB內部；當OC和OD位于∠AOB外部，利用旋轉的性質、角平分線的性質和角度之間和差的關系即可求得．【詳解】（1）解：∵射線OC繞點O順時針旋轉90°得到射線OD∴∠COD=90°∴∠EOD=∠COD?∠COE=90°?70°=20°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠EOD=20°，∴∠BOD=∠AOB?∠AOE?∠EOD=120°?20°?20°=80°．（2）∵∠COE=α∴∠DOE=∠COD?COE=90°?α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠DOE=90°?α，∴∠BOD=120°?∠DOE?∠AOE=120°?2（3）①當OC、OD位于∠AOB內部時，如圖，

設∠AOC=α，∵射線OC繞點O順時針旋轉90°得到射線OD，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=α+90°，∠BOC=∠AOB?∠AOC=120°?α，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，∴∠EOD=12∠AOD=則∠EOF=∠EOD+∠FOC?∠COD=α+90°②當OC或OD位于∠AOB內部時，如圖，

設∠AOC=β，則∠AOD=β+90°，∠BOC=120°?β，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，∴∠EOD=12∠AOD=則∠EOF=∠EOD+∠FOC?∠COD=β+90°

設∠AOC=γ，則∠AOD=90°?γ，∠BOC=γ+120°，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，∴∠EOD=12∠AOD=則∠EOF=∠EOD+∠FOC?∠COD=90°?γ③當OC和OD位于∠AOB外部時，如圖，

設∠AOC=α，則∠AOD=∠AOC?∠COD=90°?α，∠BOC=360°?∠AOB?∠AOC=240°?α，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，∴∠EOD=12∠AOD=則∠EOF=∠EOD+∠FOC+故∠EOF度數15°或165°．模型5：角疊角模型條件:∠AOC=α，∠BOD=β.結論:∠AOB+∠COD=α+β.【模型5角疊角模型】【例5】（23-24七年級·浙江·課后作業(yè)）已知∠ABC=∠DBE，射線BD在∠ABC的內部，按要求完成下列各小題．

嘗試探究：如圖1，已知∠ABC=90°，當BD是∠ABC的平分線時，∠ABE+∠DBC的度數為______；初步應用：如圖2，已知∠ABC=90°，若BD不是∠ABC的平分線，求∠ABE+∠DBC的度數；拓展提升：如圖3，若∠ABC=45°時，試判斷∠ABE與∠DBC之間的數量關系，并說明理由．【答案】180°;180°;90°.【分析】（1）根據角平分線的定義和垂直定義得∠CBE=45°，ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC；（2）由∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE可得；（3）由∠DBE=∠ABC=45°，得∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE.【詳解】嘗試探究：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，所以∠DBC=45°，因為∠DBE=∠ABC=90°，∠DBC+∠CBE=∠DBE所以∠CBE=45°．所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=90°+45°+45°=180°．初步應用：因為∠DBE=∠ABC=90°，

所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE=180°．答：∠ABE+∠DBC的度數為180°．拓展提升：∠ABE+∠DBC=90°．理由：

因為∠DBE=∠ABC=45°，所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE=90°．【點睛】考核知識點：角平分線定義.理解角的關系是關鍵.【變式5-1】（23-24七年級·福建廈門·期末）如圖，已知∠AOB與∠BOC互補．(1)若∠AOB=120°，求∠BOC的度數；(2)若OE為∠AOB的角平分線，射線OC在∠BOE的內部，射線OD在∠AOE的內部，且滿足∠COD=2∠AOD，探究∠BOD與【答案】(1)∠BOC=60°；(2)2∠DOE+∠BOD=180°．理由見解析【分析】（1）根據∠AOB與∠BOC互補，即可求解；（2）設∠AOD=α，∠BOC=β，求得3α+2β=180°，利用角平分線的定義以及角的和差求得2∠DOE=α+β，∠BOD=2α+β，據此即可求解．【詳解】（1）解：∵∠AOB與∠BOC互補，∠AOB=120°，∴∠BOC=180°?∠AOB=60°；（2）解：2∠DOE+∠BOD=180°．理由如下，設∠AOD=α，∠BOC=β，∴∠COD=2∠AOD=2α，∠AOB+∠BOC=α+2α+β+β=3α+2β=180°，∵OE為∠AOB的角平分線，∴∠AOE=1∴∠DOE=∠AOE?∠AOD=123α+β∠BOD=∠COD+∠BOC=2α+β，∴2∠DOE+∠BOD=3α+2β=180°．【點睛】本題考查角平分線的定義，補角的意義，掌握角平分線的定義以及補角的定義是正確解答的前提．【變式5-2】（23-24七年級·廣西崇左·期末）如圖，一副三角尺AOB與COD的直角頂點O重合在一起．(1)∠AOD+∠BOC=_____________；(2)試判斷∠AOC與∠BOD的大小關系，并說明理由；(3)若∠AOD=4∠BOC，OE為∠BOC的平分線，求∠AOD，∠DOE，∠AOE的度數．【答案】(1)180°(2)∠AOC=∠BOD，理由見解析(3)∠AOD=144°；∠DOE=72°；∠AOE=72°【分析】（1）根據題意可得∠AOB=∠COD=90°，從而得到∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°，即可；（2）根據∠AOB=∠COD=90°，可得∠AOB?∠BOC=∠COD?∠BOC，即可；（3）由（1）得：∠AOD+∠BOC=180°，再由∠AOD=4∠BOC，可得∠BOC=36°，可求出∠AOD的度數，再由OE為∠BOC的平分線，可得∠COE=∠BOE=12∠BOC=18°，然后根據∠DOE=∠COD?∠COE【詳解】（1）解：根據題意得：∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°；故答案為：180°（2）解：∠AOC=∠BOD，理由如下：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB?∠BOC=∠COD?∠BOC，即∠AOC=∠BOD；（3）解：由（1）得：∠AOD+∠BOC=180°，∵∠AOD=4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC=180°，解得：∠BOC=36°，∴∠AOD=4∠BOC=4×36°=144°；∵OE為∠BOC的平分線，∴∠COE=∠BOE=1∴∠DOE=∠COD?∠COE=72°；∠AOE=∠AOB?∠BOE=72°．【點睛】本題考查余角與補角以及角平分線，根據題意得到∠AOD+∠BOC=180°是正確解答的前提．【變式5-3】（23-24七年級·湖北武漢·期末）已知∠ABC＝∠DBE，射線BD在∠ABC的內部．（1）如圖1，已知∠ABC═90°，當BD是∠ABC的平分線時，求∠ABE的度數．（2）如圖2，已知∠ABE與∠CBE互補，∠DBC：∠CBE＝1：3，求∠ABE的度數；（3）如圖3，若∠ABC＝45°時，直接寫出∠ABE與∠DBC之間的數量關系．【答案】（1）∠ABE＝135°；（2）∠ABE＝126°；（3）∠ABE+∠DBC＝90°．理由見解析.【分析】（1）利用角平分線的性質，先求出∠DBC、∠CBE的度數，再計算∠ABE的度數；（2）由已知條件得到∠ABD=∠CBE，設∠DBC=α，∠CBE=3α，得到∠ABD=3α，∠ABE=3α+α+3α=7α，根據題意列方程即可得到結論；（3）把∠ABE+∠DBC轉化為∠ABC+∠DBE，代入計算得出結論．【詳解】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝45°，∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∠DBC+∠CBE＝∠DBE，∴∠CBE＝45°．∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+45°＝135°．故答案為135°．（2）∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∵∠DBC：∠CBE＝1：3，∴設∠DBC＝α，∠CBE＝3α，∴∠ABD＝3α，∠ABE＝3α+α+3α＝7α，∵∠ABE與∠CBE互補，∴7α+3α＝180°，∴α＝18°，∴∠ABE＝126°；（3）∠ABE+∠DBC＝90°．理由：∵∠DBE＝∠ABC＝45°，∴∠ABE+∠DBC＝∠ABC+∠CBE+∠DBC＝∠ABC+∠DBE＝90°．【點睛】本題考查角的和差關系及角的相關計算．通過觀察圖形，把∠ABE+∠DBC轉化為∠ABC+∠DBE是解決本題的關鍵．模型6：角夾角模型條件:∠AOC=n∠EOC，∠BOD=n∠DOF.結論:∠EOF=1n[∠AOB+(n-1)∠【模型6角夾角模型】【例6】（23-24七年級·陜西咸陽·階段練習）【問題背景】新定義：如果∠MON的內部有一條射線OP將∠MON分成的兩個角，其中一個角是另一個角的n倍，那么我們稱射線OP為∠MON的n倍分線，例如，如圖1，∠MOP=4∠NOP，則OP為∠MON的四倍分線．∠NOQ=4∠MOQ，則OQ也是∠MON的四倍分線．【問題再現】（1）若∠AOB=60°，OP為∠AOB的二倍分線，且∠BOP>∠POA，求∠BOP的度數；【問題推廣】（2）如圖2，點A，O，B在同一條直線上，OC為直線AB上方的一條射線．若OP，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線（∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB）．①若∠AOC=120°，求∠POQ的度數；②若∠AOC=α，∠POQ的度數是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請寫出計算過程；若發(fā)生變化，請說明理由．【拓展提升】（3）如圖3，點A，O，B在同一條直線上，OC為直線AB上方的一條射線．已知∠MON=90°，且OM，ON所在射線恰好分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線（∠MOC>∠AOM，∠BON>∠CON），求【答案】（1）40°；（2）①135°；②不變，見解析；（3）90°【分析】本題考查了新定義，幾何圖形中角度的計算．（1）根據題意可得：∠BOP=2∠AOP，∠BOP+∠AOP=60°，進而得出答案；（2）①由題意可得：∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ，根據∠AOC=120°，得出∠AOP=90°，∠BOQ=45°，再求解即可；②不變，根據題意得出∠COP=34∠AOC（3）設∠MOC=α，則∠NOC=90°?α，根據題意得出∠COM=3∠AOM，∠BON=3∠CON，列出方程13α+α+90°?α+390°?α=180°，求得【詳解】解：（1）因為∠AOB=60°，OP為∠AOB的二倍分線，且∠BOP>∠POA，所以∠BOP=2∠AOP，∠BOP+∠AOP=60°，所以∠AOP=20°．所以∠BOP=40°．（2）①因為OP，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線（∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB），所以∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ，因為∠AOC=120°，所以∠BOC=60°，所以∠AOP=30°，∠BOQ=15，所以∠COP=90°，∠COQ=45°，所以∠POQ=∠POC+∠COQ=135°．②不變．理由如下：因為OP，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線，∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB，所以∠COP=34∠AOC所以∠POQ=∠COP+∠COQ==3（3）設∠MOC=α，因為∠MON=90°，所以∠NOC=90°?α，因為OM，ON所在射線恰好分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線，∠MOC>∠AOM，所以∠COM=3∠AOM，∠BON=3∠CON，因為∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON=180°，所以13所以α=67.5°，所以∠MOC=67.5°，∠MOA=22.5°，所以∠AOC=90【變式6-1】（23-24七年級·浙江杭州·期末）如圖，OC平分∠AOB，OD、OE三等分∠AOB，已知∠COE=15°，求∠AOB的度數．【答案】90°【分析】本題考查了角平分線及三等分線的定義，角的和差，由角平分線及三等分線的定義可得∠BOC=12∠AOB，∠BOE=【詳解】解：OC平分∠AOB，∴∠BOC=1又∵OD、OE三等分∠AOB，∴∠BOE=1∴∠COE=∠BOC?∠BOE=1∴∠AOB=6∠COE=6×15°=90°．【變式6-2】（23-24七年級·河北廊坊·期末）如圖，點A，O，B在一條直線上，∠AOC=3∠COD，OE平分∠BOD．(1)若∠COD=10°，求∠AOC的余角的度數．(2)若∠AOC=α，求∠COE的度數（用含α的式子表示）．【答案】(1)60°(2)90°?【分析】（1）先利用∠AOC與∠COD的倍數關系求出∠AOC的度數，然后利用余角的定義求解即可；（2）先計算出∠COD，∠BOD的度數，然后利用角平分線的定義求出∠DOE的度數，最后利用角的和差關系求解即可．【詳解】（1）解：∵∠AOC=3∠COD，∠COD=10°，∴∠AOC=30°，∴∠AOC的余角的度數為90°?30°=60°（2）解：∵∠AOC=α，∠AOC=3∠COD，∴∠COD=13α又OE平分∠BOD，∴∠DOE=1∴∠COE=∠COD+∠DOE=1【點睛】本題考查了角平分線的有關計算，余角的定義等知識，正確識圖，找準角的有關關系是解題的關鍵．【變式6-3】（23-24七年級·山東濱州·期末）已知∠AOB=120°，在∠AOB內部作射線OC，使得(1)如圖，在∠BOC內部作射線ON，使得∠BON=3∠CON；作射線OM平分∠AOC，求∠MON的度數；(2)如果過點O作射線OD，使得2∠AOD=3∠BOD，則∠COD的度數為______．（不需寫演推過程）【答案】(1)∠MON=40°(2)32°或176°【分析】（1）根據題意可求出∠AOC=13∠AOB=40°，∠BOC=23∠AOB=80°．再根據∠BON=3∠CON和OM平分（2）分類討論：當OD在∠AOB內部時，設∠BOD=x°，則∠AOD=32x°，由∠BOD+∠AOD=∠AOB=120°，可列出關于x的方程，解出x的值，即得出∠BOD的大小，最后由∠COD=∠BOC?∠BOD計算即可；②當OD在∠AOB外部時，設∠BOD=y°，則∠AOD=32y°，由∠BOD+∠AOD+∠AOB=360°，可列出關于y的方程，解出【詳解】（1）解：∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°，∴∠AOC=1∵∠BOC=∠BON+∠CON=80°，∠BON=3∠CON，∴∠CON=1∵OM平分∠AOC，∴∠COM=1∴∠MON=∠COM+∠CON=40°．（2）分類討論：①如圖，當OD在∠AOB內部時，設∠BOD=x°，∵2∠AOD=3∠BOD，∴∠AOD=3∵∠BOD+∠AOD=∠AOB=120°，∴x°+3解得：x=48，∴∠BOD=48°．∵∠BOC=80°，∴∠COD=80°?48°=32°；②如圖，當OD在∠AOB外部時，設∠BOD=y°，則∠AOD=3∵∠BOD+∠AOD+∠AOB=360°，∴y°+3解得：y=96，∴∠BOD=96°．∴∠COD=80°+96°=176°．故答案為：32°或176°．【點睛】本題考查角平分線的有關計算，角的n等分點的有關計算，一元一次方程的應用．利用數形結合和分類討論的思想是解題關鍵．模型7：單角平分線模型條件:OM平分∠AOB.結論:∠AOM=∠BOM=12條件:射線OC在∠AOB內，OM平分∠BOC.結論:∠AOB+∠AOC=2∠AOM.【模型7單角平分線模型】【例7】（2024七年級·黑龍江·專題練習）如圖，點O是直線AB上的一點，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD．(1)試說明∠AOF=∠EOD；(2)求∠EOC+∠AOF的度數．【答案】(1)見解析(2)180°【分析】本題主要考查余角、補角，角平分線的性質，幾何中角度的計算，理解圖示中角度的關系，掌握余角、補角的計算是解題的關鍵．（1）根據同角的余角相等即可求解；（2）根據角平分線的性質，同角的余角相等可得，∠EOF=∠BOC，則∠EOC=∠EOB+∠BOC=∠EOB+∠EOF=∠BOF，由此即可求解．【詳解】（1）解：∵∠AOE=∠FOD=90°，∴∠AOF+∠EOF=∠EOD+∠EOF，∴∠AOF=∠EOD．（2）解：∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠DOB，∵∠AOE=90°，∴∠BOE=90°，∴∠BOD+∠DOE=∠EOF+∠DOE=90°，∴∠BOD=∠EOF，∴∠BOC=∠EOF，∵∠EOC=∠EOB+∠BOC，∴∠EOC=∠EOB+∠EOF，∴∠EOC+∠AOF＝【變式7-1】（23-24七年級·陜西西安·期末）如圖，OB，OE是∠AOC內的兩條射線，OD平分∠AOB，且∠COE=2∠BOE．若∠AOD=15°，∠AOC=120°，求∠DOE的度數．【答案】∠DOE=45°【分析】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計算．先根據角平分線的定義得出∠AOB=2∠AOD=30°，∠BOD=∠AOD=15°，再根據∠AOC=120°，算出∠BOC=∠AOC?∠AOB=90°，根據∠COE=2∠BOE，得出∠BOE=30°，根據∠DOE=∠DOB+∠BOE=15°+30°=45°求出結果即可．【詳解】解：∵OD平分∠AOB，∠AOD=15°，∴∠AOB=2∠AOD=30°，∠BOD=∠AOD=15°，∵∠AOC=120°，∴∠BOC=∠AOC?∠AOB=90°，∵∠COE=2∠BOE，又∵∠BOE+∠EOC=∠BOC=90°，∴3∠BOE=90°，∴∠BOE=30°，∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=15°+30°=45°．【變式7-2】（23-24七年級·甘肅武威·開學考試）如圖，∠ABC=60°，∠ABD=145°，BE平分∠ABC．求∠DBE的度數．【答案】115°【分析】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中角的計算，先根據角平分線定義得出∠ABE=1【詳解】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠ABE=1∴∠DBE=∠ABD?∠ABE=145°?30°=115°．【變式7-3】（23-24七年級·吉林·期末）已知∠AOB=∠COD=90°，OE平分∠BOC．(1)如圖，若∠AOC=30°，則∠DOE的度數是______°；（直接寫出答案）(2)將（1）中的條件“∠AOC=30°”改為“∠AOC是銳角”，猜想∠DOE與∠AOC的關系，并說明理由．【答案】(1)60(2)∠DOE=45°+1【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義：（1）先根據角之間的關系得到∠BOC=60°，再由角平分線的定義得到∠COE=30°，則∠DOE=∠COD?∠COE=60°；（2）仿照（1）求解即可．【詳解】（1）解：∵∠AOC=30°，∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD?∠COE=60°，故答案為：60；（2）解：∠DOE=45°+1∵∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=90°?∠AOC，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD?∠COE=90°?45°+1模型8：雙角平分線模型條件:射線OC在∠AOB內，OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC.結論:∠MON=12條件:射線OC在∠AOB外，OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC結論:∠MON=12【模型8雙角平分線模型】【例8】（2024七年級·全國·專題練習）已知：∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE=30°，∠BOD=10°，試求∠COF的度數．【答案】40°或20°【分析】本題主要考查角度的和差計算，角平分線的性質，理解題意作圖分析，掌握角平分線的性質計算角度的方法是解題的關鍵．根據題意作圖，分類討論：當∠BOD在∠AOB外部時，可得∠AOB=2∠AOE=60°，則∠AOD=∠COD=∠AOB+∠BOD=70°，∠BOC=∠COD+∠BOD=80°，由OF平分∠BOC，即可求