曲線的凹凸性與拐點

曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點函數(shù)的單調(diào)性反映在圖形上，就是曲線的上升或下降，但曲線在上升或下降的過程中，還有一個彎曲方向的問題.如圖4-9所示的函數(shù)y=f(x)的圖形在區(qū)間(a,b)內(nèi)雖然一直是上升的.圖4-9曲線的凹凸性與拐點但卻有不同的彎曲狀況.從左向右，曲線先是向上彎曲，通過點P后，扭轉(zhuǎn)了彎曲的方向，而向下彎曲.因此，研究函數(shù)圖形時，考察它的彎曲方向及扭轉(zhuǎn)彎曲方向的點是很必要的.首先給出如下定義.曲線的凹凸性與拐點定義2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，若對I上任意兩點x1，x2，恒有則稱f(x)在I上的圖形是凹的；若恒有則稱f(x)在I上的圖形是凸的.

曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸具有明顯的幾何意義，對于凹曲線，當(dāng)x逐漸增大時，其上每一點的切線的斜率是逐漸增大的，即導(dǎo)函數(shù)f′(x)是單調(diào)增加的(見圖4-10)；圖4-10曲線的凹凸性與拐點而對于凸曲線，當(dāng)x逐漸增大時，其上每―點的切線的斜率是逐漸減小的，即導(dǎo)函數(shù)f′(x)是單調(diào)減少的(見圖4-11).于是有下述判斷曲線凹凸性的定理.圖4-11曲線的凹凸性與拐點定理12(曲線凹凸性的判定定理)設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則(1)若在(a,b)內(nèi)，f″(x)>0，則f(x)在［a,b］上的圖形是凹的.

(2)若在(a,b)內(nèi)，f″(x)<0，則f(x)在［a,b］上的圖形是凸的.

曲線的凹凸性與拐點證就情形(1)給出證明.

f(x0)－f(x1)=f′(ξ1)h,ξ1∈(x1,x0),

f(x2)－f(x0)=f′(ξ2)h,ξ2∈(x0,x2),

兩式相減，得f(x2)+f(x1)－2f(x0)=f′(ξ2)－f′(ξ1)h.(4-13)

在［ξ1,ξ2］上對f′(x)再次應(yīng)用拉格朗日中值定理，得f′(ξ2)－f′(ξ1)=f″(ξ)(ξ2－ξ1),ξ∈(ξ1,ξ2),(4-14)

曲線的凹凸性與拐點將式(4-14)代入式(4-13)，得曲線的凹凸性與拐點討論曲線f(x)=2x2－ln

x的凹凸性.解函數(shù)的定義域是(0,+∞)，且【例36】曲線的凹凸性與拐點定義3連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點.

如何來尋找曲線y=f(x)的拐點呢？根據(jù)本節(jié)定理，二階導(dǎo)數(shù)f″(x)的符號是判斷曲線凹凸性的依據(jù).如果f″(x)在x0的左、右兩側(cè)鄰近異號，那么點(x

0,f(x0))即為拐點，所以要尋找拐點，只要找出f″(x)符號發(fā)生變化的分界點.如果f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么在這樣的分界點處必有f″(x)=0;除此之外，f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，也有可能是f″(x)的符號發(fā)生變化的分界點.因此，使得f″(x)=0與f″(x)不存在的點即為可能的拐點.曲線的凹凸性與拐點綜上所述，判定區(qū)間I上曲線的凹凸性與求曲線拐點的一般步驟為：(1)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f″(x).

(2)令f″(x)=0，解出方程在區(qū)間I內(nèi)的實根，并求出區(qū)間I內(nèi)所有使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點.

(3)對步驟(2)中求出的每一個點，檢查其鄰近左、右兩側(cè)f″(x)的符號，確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點.曲線的凹凸性與拐點【例37】討論曲線f(x)=e－x2的凹凸性，并求出該曲線的拐點.

解函數(shù)的定義域是(－∞,+∞)，且曲線的凹凸性與拐點【例38】判定曲線y=x4－2x3+1的凹凸性,并求出該曲線的拐點.解函數(shù)的定義域是(-∞,+∞)，且y′=4x3－6x2,y″=12x2－12x=12x(x－1).令y″=0,得x1=0,x2=1,它們將函數(shù)的定義域分成三個區(qū)間(－∞,0］,［0,1］,［1,+∞).在(－∞,0)及(1,+∞)內(nèi),y″>0,所以在(－∞,0］和［1,+∞)內(nèi),曲線y