第2章-邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1概述2.2邏輯代數(shù)中的常用運(yùn)算2.3邏輯代數(shù)中的基本定律和常用公式2.4邏輯函數(shù)及其表示方法2.5邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法2.6邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法2.7**邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)與變換的Multisim10仿真本章學(xué)習(xí)目的和要求1.正確理解基本邏輯運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算；2.熟悉邏輯代數(shù)中的基本定律、常用公式和基本規(guī)則；3.掌握邏輯函數(shù)的概念和常用表示方法及其相互轉(zhuǎn)換；了解邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式；4.掌握邏輯函數(shù)的變換和公式化簡(jiǎn)法；5.掌握邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法，會(huì)用卡諾圖化簡(jiǎn)具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)。2.1概述

兩種對(duì)立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系稱為二值數(shù)字邏輯或簡(jiǎn)稱數(shù)字邏輯。“邏輯”，是指事物之間的因果關(guān)系。當(dāng)0和1兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)碼表示不同的邏輯狀態(tài)時(shí)，它們之間可以按照指定的某種因果關(guān)系進(jìn)行推理運(yùn)算。這種運(yùn)算稱為邏輯運(yùn)算。

邏輯運(yùn)算使用的數(shù)學(xué)工具是邏輯代數(shù),是英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾(GeorgeBoo1e)創(chuàng)立的一門研究客觀事物邏輯關(guān)系的代數(shù),故又稱為布爾代數(shù)。

本章討論的邏輯代數(shù)就是布爾代數(shù)在二值邏輯電路中的應(yīng)用。邏輯代數(shù)的有些運(yùn)算公式在形式上和普通代數(shù)的運(yùn)算公式相似，但是兩者所包含的物理意義有本質(zhì)的區(qū)別。邏輯代數(shù)中也用字母表示變量，這種變量稱為邏輯變量。邏輯運(yùn)算表示的是邏輯變量以及常量之間邏輯狀態(tài)的推理運(yùn)算，而不是數(shù)量之間的運(yùn)算。雖然在二值邏輯中，每個(gè)變量的取值只有0和1兩種可能，只能表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，但是我們可以用多變量的不同狀態(tài)組合表示事物的多種邏輯狀態(tài)，處理任何復(fù)雜的邏輯問題。2.2.2

復(fù)合邏輯運(yùn)算2.2邏輯代數(shù)中的常用運(yùn)算2.2.1

基本邏輯運(yùn)算2.2.1

基本邏輯運(yùn)算

邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，一般用大寫英文字母A，B，C，…來表示。邏輯變量只有兩種取值，常用0和1來表示。這里的0和1不表示數(shù)量，也沒有大小的意義，而只代表兩種對(duì)立的狀態(tài)。

邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算只有與(AND)、或(OR)、非(NOT)三種。

與運(yùn)算(邏輯乘)“只有當(dāng)一件事的幾個(gè)條件全部具備之后，這件事才發(fā)生”。這種關(guān)系稱為與邏輯。與指的是所有的條件全都具備。

如圖2.2.1，電壓E通過開關(guān)A和B向燈泡L供電，只有開關(guān)A與B同時(shí)閉合時(shí)，燈泡L才亮。其邏輯狀態(tài)如表2.2.1所示。如果用0和1來表示開關(guān)和燈的狀態(tài)，設(shè)開關(guān)斷開和燈不亮均用0表示，而開關(guān)閉合和燈亮均用1表示，則可得出如表2.2.2所示形式的邏輯真值表(描述邏輯關(guān)系的表格)。其中L表示燈的狀態(tài)。

L=A·B

(2.2.1)用邏輯表達(dá)式來描述與邏輯，則寫為

式中小圓點(diǎn)“·”表示A、B的與運(yùn)算，也稱為邏輯乘。在不致引起混淆的前提下，乘號(hào)“·”可省略。與運(yùn)算的規(guī)則為：0·0=0；0·1=0；1·0=0；1·1=1。

圖2.2.2是表示與運(yùn)算的邏輯符號(hào)。能實(shí)現(xiàn)與邏輯運(yùn)算的電路為與門電路，簡(jiǎn)稱與門。

與邏輯運(yùn)算可以推廣到多個(gè)變量，其相應(yīng)的邏輯表達(dá)式是：L=A·B·C···(2.2.2)

2．或運(yùn)算（邏輯加）“當(dāng)一件事情的幾個(gè)條件中只要有一個(gè)條件得到滿足，這件事就會(huì)發(fā)生”。這種關(guān)系稱為或邏輯?；蚴侵溉我粋€(gè)條件具備的意思。

如圖2.2.3所示。電壓E通過開關(guān)A或B向燈泡供電。只要開關(guān)A或B閉合或兩者均閉合，則燈亮。

仿照前述，可以得出如表2.2.3所示的或邏輯電路狀態(tài)表和如表2.2.4所示的用0、1表示的或邏輯真值表。

用邏輯表達(dá)式來描述或運(yùn)算，則寫為

L=A+B(2.2.3)

式中符號(hào)“＋”表示A、B的或運(yùn)算，也稱為邏輯加。

或運(yùn)算規(guī)則為：0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1。

能實(shí)現(xiàn)或運(yùn)算的電路稱為或門電路，簡(jiǎn)稱或門。

圖2.2.4是表示或運(yùn)算的邏輯符號(hào)。3.非運(yùn)算（邏輯反）

非運(yùn)算是邏輯的否定，當(dāng)條件具備時(shí)，結(jié)果不會(huì)發(fā)生；而條件不具備時(shí)，結(jié)果一定會(huì)發(fā)生。

或運(yùn)算同樣可推廣到多個(gè)變量，其邏輯表達(dá)式是：

L=A+B＋C＋···

(2.2.4)

圖2.2.5中，電壓Ｅ通過R向燈泡供電，開關(guān)A閉合時(shí)，燈L不亮，開關(guān)A斷開時(shí),燈L才會(huì)亮。

非邏輯的邏輯表達(dá)式為:(2.2.5)

式中字母A上方的短橫線表示非運(yùn)算，讀作“非”或“反”。在邏輯運(yùn)算中，通常將A稱為原變量,而將稱為反變量或非變量。

非邏輯運(yùn)算規(guī)則是:,。

能實(shí)現(xiàn)非運(yùn)算的電路稱為非門，也稱反相器，其邏輯符號(hào)如圖2.2.6(a)、(b)所示，小圓圈表示非運(yùn)算。2.2.2

復(fù)合邏輯運(yùn)算1．與非運(yùn)算

在實(shí)際應(yīng)用中，除了與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算以外，還廣泛應(yīng)用與、或、非的不同組合的復(fù)合邏輯運(yùn)算，最常見的符合邏輯運(yùn)算有與非、或非、與或非、異或和同或等。

與非運(yùn)算是先與后非的復(fù)合運(yùn)算。與非運(yùn)算的邏輯符號(hào)如圖2.2.7所示，邏輯表達(dá)式為，真值表如表2.2.6所示。圖2.2.7與非運(yùn)算邏輯符號(hào)擴(kuò)展到多個(gè)變量時(shí)，相應(yīng)的邏輯表達(dá)式為：

(2.2.6)2．或非運(yùn)算“或”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱為或非運(yùn)算，或非運(yùn)算的邏輯符號(hào)如圖2.2.8所示，真值表如表2.2.7所示?；蚍沁壿嫳磉_(dá)式為擴(kuò)展到多個(gè)輸入變量時(shí)，則或非邏輯表達(dá)式為：

(2.2.7)3.

與或非運(yùn)算“與”、“或”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱為與或非運(yùn)算。圖2.2.9（ａ）是實(shí)現(xiàn)先與后或再非的組合電路，也稱與或非門。圖2.2.9（ｂ）為與或非運(yùn)算的邏輯符號(hào)，表2.2.8是與或非邏輯真值表。相應(yīng)的邏輯表達(dá)式為：(2.2.8)4.

異或運(yùn)算

異或運(yùn)算的邏輯關(guān)系是：當(dāng)兩個(gè)輸入信號(hào)相同時(shí)，輸出為0；當(dāng)兩個(gè)輸入信號(hào)不同時(shí)，輸出為1。異或邏輯符號(hào)和真值表分別如圖2.2.10和表2.2.9所示。圖2.2.10異或運(yùn)算邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式為：

(2.2.9)同或和異或的邏輯關(guān)系剛好相反：當(dāng)兩個(gè)輸入信號(hào)相同時(shí)，輸出為1，當(dāng)兩個(gè)輸人信號(hào)不同時(shí)，輸出為0。即異或非運(yùn)算結(jié)果等于同或，同或非運(yùn)算結(jié)果等于異或。同或邏輯符號(hào)和真值表分別如圖2.2.11和表2.2.10所示。同或邏輯表達(dá)式為：5．同或運(yùn)算

＝＝(2.2.10)⊙2.3邏輯代數(shù)中的基本定律和常用公式2.3.3邏輯代數(shù)中的三個(gè)基本規(guī)則2.3.2邏輯代數(shù)中的常用公式2.3.1邏輯代數(shù)中的基本定律2.3

邏輯代數(shù)中的基本定律和常用公式

與普通代數(shù)一樣，邏輯代數(shù)也有一系列的定律、定理和規(guī)則，用它們對(duì)邏輯函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行處理，可以完成對(duì)邏輯電路的化簡(jiǎn)、變換、分析和設(shè)計(jì)。2.3.1

邏輯代數(shù)中的基本定律

邏輯代數(shù)中的基本定律見表2.3.1，包括9個(gè)定律，即交換律、結(jié)合律、分配律、互補(bǔ)律、0-1律、對(duì)合律、重疊律、吸收律和反演律。其中有的定律與普通代數(shù)定律相似，有的定律與普通代數(shù)不同，使用時(shí)切勿混淆。

由與、或、非三種基本運(yùn)算可以邏輯推理得到上表中的與、或、非運(yùn)算的基本定律公式。例2.3.1證明吸收律證：

定律公式還可以用真值表來證明，即檢驗(yàn)等式兩邊函數(shù)的真值表是否一致。例2.3.2用真值表證明反演律和證：分別列出兩公式等號(hào)兩邊函數(shù)的真值表即可得證，見表2.3.2和表2.3.3。2.3.2邏輯代數(shù)中的常用公式

這些公式是利用基本定律基本公式導(dǎo)出的。直接運(yùn)用這些導(dǎo)出公式可以給化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的工作帶來很大方便。現(xiàn)將表2.3.4中的各式證明如下。1.證明式(1)：

證：

當(dāng)兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，若它們分別含B和兩個(gè)因子而其它因子相同，則兩項(xiàng)定能合并，且可以將和兩個(gè)因子消去。2.證明式(2)：

證：

變量Ａ與另兩個(gè)變量的乘積項(xiàng)BC之“和”等于變量A分別與另兩個(gè)變量的和之“積”?？梢岳盟?jiǎn)邏輯函數(shù)，也可以用來對(duì)邏輯函數(shù)的與或形式和或與形式之間進(jìn)行變換。3.證明式(3)：

證：證：

在邏輯函數(shù)的或與（和之積）表達(dá)式中，若兩個(gè)和項(xiàng)中分別包含A和，而這兩個(gè)和項(xiàng)的其余部分組成第三個(gè)和項(xiàng)時(shí)，則這第三個(gè)和項(xiàng)是多余的，可以消去。4.證明式(4)：證：

如果兩個(gè)乘積項(xiàng)中分別包含Ａ和兩個(gè)因子，而這兩個(gè)乘積項(xiàng)的其余因子組成第三個(gè)乘積項(xiàng)時(shí)，則這第三個(gè)乘積項(xiàng)是多余的，可以消去。由此不難導(dǎo)出：5.證明式（5）：

；證：

當(dāng)Ａ和一個(gè)乘積項(xiàng)的非相乘，且Ａ為乘積項(xiàng)的因子時(shí)，則Ａ這個(gè)因子可以消去。

當(dāng)和一個(gè)乘積項(xiàng)的非相乘時(shí)，且A為乘積項(xiàng)的因子時(shí)，其結(jié)果就等于。

由證明可知，這些常用公式都是從基本公式導(dǎo)出的結(jié)果。顯然，也還能夠推導(dǎo)出更多的常用公式。

對(duì)于任何一個(gè)邏輯等式，以某個(gè)邏輯變量或邏輯函數(shù)同時(shí)取代等式兩端任何一個(gè)邏輯變量后，等式依然成立。2.3.3邏輯代數(shù)中的三個(gè)基本規(guī)則1.

代入規(guī)則

利用代入規(guī)則可以方便地?cái)U(kuò)展公式。例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：，依此類推，摩根定理對(duì)任意多個(gè)變量都成立。2.

對(duì)偶規(guī)則

將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行變換，將L中的與“·”換成或“＋”，或“+”換成與“·”；“0”換成“1”，“1”換成“0”，所得新函數(shù)表達(dá)式叫做L的對(duì)偶式，用L’表示。

由原函數(shù)L的表達(dá)式，求它的非函數(shù)時(shí)，可以將L中的與“·”換成或“＋”，或“+”換成與“·”；再將原變量換為非變量(如A換成)，非變量換為原變量；并將1換成0，0換成1；那么所得的邏輯函數(shù)式就是。這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則。

如,則

若兩個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式相等，那么它們的對(duì)偶式也一定相等。這就是對(duì)偶規(guī)則。

變換時(shí)仍然要保持“先括號(hào)，然后與，最后或”的運(yùn)算順序。3.

反演規(guī)則

利用反演規(guī)則，可以比較容易地求出一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。例2.3.3

求函數(shù)的反函數(shù)。解：

例2.3.4

求函數(shù)的反函數(shù)。解：

運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)必須注意以下兩個(gè)原則：

(1)仍需遵守“先括號(hào)內(nèi)運(yùn)算、然后與運(yùn)算、最后或運(yùn)算”的運(yùn)算優(yōu)先次序。

(2)不屬于單個(gè)變量上的非號(hào)應(yīng)保留不變。

2.4.2邏輯函數(shù)的表示方法

2.4邏輯函數(shù)及其表示方法2.4.1邏輯函數(shù)的建立2.4.3邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

邏輯變量分為輸入邏輯變量和輸出邏輯變量。描述輸入邏輯變量和輸出邏輯變量之間的因果關(guān)系的函數(shù)稱為邏輯函數(shù)。由于邏輯變量是只取0或1的二值邏輯變量，因此邏輯函數(shù)也是二值邏輯函數(shù)。由于邏輯函數(shù)是從生活和生產(chǎn)實(shí)踐中抽象出來的，所以只有那些能明確地用“是”或“否”作出回答的事物，才能定義為邏輯函數(shù)。2.4.1邏輯函數(shù)的建立2.4邏輯函數(shù)及其表示方法例2.4.1

三個(gè)人表決一件事情，表決結(jié)果按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則決定，試用邏輯函數(shù)表達(dá)表決意見與表決結(jié)果之間的邏輯關(guān)系。解：第一步：設(shè)置自變量和因變量。將三人的意見設(shè)置為自變量A、B、C，并規(guī)定只能有同意或不同意兩種意見。將表決結(jié)果設(shè)置為因變量L，顯然也只有通過和沒通過這兩種情況。第二步：狀態(tài)賦值。對(duì)于自變量A、B、C設(shè)：同意為邏輯“1”，不同意為邏輯“0”。對(duì)于因變量L設(shè)：事情通過為邏輯“1”，沒通過為邏輯“0”。第三步：根據(jù)題義及上述設(shè)置規(guī)定，列出函數(shù)的真值表如表2.4.1所示。表2.4.1例2.4.1真值表輸入輸出ABCL00000010010001111000101111011111

若輸入邏輯變量A、B、C…的取值確定以后，輸出邏輯變量L的值也唯一地確定了，就稱L是A、B、C…的邏輯函數(shù)，寫作：

由真值表可以看出，當(dāng)自變量A、B、C取確定值后，因變量L的值就完全確定了。所以，L就是A、B、C的函數(shù)。A、B、C稱為輸入邏輯變量，L稱為輸出邏輯變量。表2.4.1例2.4.1真值表輸入輸出ABCL00000010010001111000101111011111L=f（A，B，C…）(2.4.1)

我們必須牢記邏輯函數(shù)兩個(gè)突出的特點(diǎn)：（1）邏輯變量和邏輯函數(shù)只能取兩個(gè)值0和1。（2）函數(shù)和變量之間的關(guān)系是由“與”、“或”、“非”三種基本運(yùn)算決定的。

邏輯真值表是將輸入邏輯變量的各種可能的取值和相應(yīng)的函數(shù)值排列在一起而組成的表格。為避免遺漏，各變量的取值組合一般應(yīng)該按照二進(jìn)制數(shù)遞增的次序排列。2.4.2

邏輯函數(shù)的表示方法

常用的邏輯函數(shù)表示方法有邏輯真值表、邏輯表達(dá)式(邏輯函數(shù)式或簡(jiǎn)稱邏輯式)、邏輯圖、波形圖、卡諾圖等。本節(jié)只討論前面四種方法，用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法將在后面再做專門介紹。1.

真值表真值表的特點(diǎn)：（1）直觀明了；（2）方便。真值表的主要缺點(diǎn)：（1）無法用公式、定律定理進(jìn)行運(yùn)算。（2）變量多時(shí)，表較大，顯得繁瑣。

由真值表轉(zhuǎn)換為邏輯函數(shù)表達(dá)式的方法是：在真值表中依次找出函數(shù)值等于1的變量組合，變量值為1的寫成原變量，變量值為0的寫成反變量，把組合中各個(gè)變量相乘。這樣，對(duì)應(yīng)于函數(shù)值為1的每一個(gè)變量組合就可以寫成一個(gè)乘積項(xiàng)。然后，把所有的乘積項(xiàng)相加，就得到相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式(與或表達(dá)式)了。如右表對(duì)應(yīng)的邏輯表達(dá)式為:2．邏輯表達(dá)式

邏輯表達(dá)式就是由邏輯變量和“與”、“或”、“非”三種運(yùn)算所構(gòu)成的表達(dá)式。這是一種用公式表示邏輯函數(shù)的方法。表2.4.1例2.4.1真值表輸入輸出ABCL00000010010001111000101111011111

例2.4.2

列出函數(shù)的真值表。

解：該函數(shù)有兩個(gè)變量，有4種取值的可能組合，將他們按順序排列起來即得真值表，如表2.4.2所示

邏輯表達(dá)式也可以轉(zhuǎn)換成真值表。方法為：畫出真值表的表格，將變量及變量的所有取值組合按照二進(jìn)制遞增的次序列入表格左邊，然后按照表達(dá)式，依次對(duì)變量的各種取值組合進(jìn)行運(yùn)算，求出相應(yīng)的函數(shù)值，填入表格右邊對(duì)應(yīng)的位置，即得真值表。表2.4.2的真值表A

BL0

00

11

01

11001

邏輯表達(dá)式是我們最先接觸邏輯函數(shù)的表示方法。這種表示方法的優(yōu)點(diǎn)有：用基本邏輯符號(hào)高度抽象、概括地表示各個(gè)變量之間的邏輯關(guān)系，書寫簡(jiǎn)介方便。(2)便于運(yùn)用邏輯代數(shù)的公式、定理進(jìn)行運(yùn)算和變換。(3)便于用邏輯圖實(shí)現(xiàn)函數(shù)。只要用相應(yīng)的門電路的邏輯符號(hào)代替表達(dá)式中的有關(guān)運(yùn)算，即可得到邏輯圖。邏輯表達(dá)式的主要缺點(diǎn)是同一個(gè)邏輯函數(shù)有不同的表達(dá)式，不易判斷各個(gè)表達(dá)式彼此是否相等；而且在邏輯函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)難以看出邏輯函數(shù)的值，沒有真值表直觀。

用與、或、非等邏輯符號(hào)表示邏輯函數(shù)中各變量之間的邏輯關(guān)系所得到的圖形稱為邏輯圖。它是由邏輯符號(hào)及它們之間的連線而構(gòu)成的圖形。由邏輯函數(shù)表達(dá)式可以畫出其相應(yīng)的邏輯圖。3．邏輯圖

例2.4.3

畫出邏輯函數(shù)的邏輯圖。解：如圖2.4.1所示。圖2.4.1例2.4.3的邏輯圖解：圖2.4.2例2.4.4的邏輯圖

由邏輯圖也可以寫出其相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。例2.4.4

寫出如圖2.4.2所示邏輯圖的邏輯函數(shù)表達(dá)式。

邏輯電路圖中的邏輯符號(hào)，與實(shí)際使用的電路器件有著明顯的聯(lián)系，所以它比較接近工程實(shí)際；但是對(duì)于稍復(fù)雜一些的電路圖，我們很難直接看出其功能，而且邏輯圖不易書寫（繪制），不易記憶。

4.

波形圖

將邏輯函數(shù)輸入變量每一種可能出現(xiàn)的取值與對(duì)應(yīng)的輸出值按時(shí)間順序依次排列起來，就得到了表示該邏輯函數(shù)的波形圖。這種波形圖也稱為時(shí)序圖。

用波形圖來描述邏輯函數(shù)L=AB+BC，則只需將表2.4.3所示的真值表給出的輸入變量與對(duì)應(yīng)的輸出變量取值依時(shí)間順序排列起來，就可以得到所需要的波形圖了。表2.4.3L=AB+BC的真值表ABCL00000101001110010111011100010011圖2.4.3

L=AB+BC的波形圖(1)最小項(xiàng)ｎ個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，若ｍ為包含ｎ個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且這ｎ個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在ｍ中僅出現(xiàn)一次，則稱ｍ為該組變量的最小項(xiàng)。例如，A、B、C三個(gè)變量的最小項(xiàng):

、、、、、、和ABC

。共8個(gè)(即23個(gè))。ｎ個(gè)變量的最小項(xiàng)總共有2ｎ個(gè)。2.4.3

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式1.

最小項(xiàng)和最大項(xiàng)

表2.4.4

三變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及編號(hào)最小項(xiàng)變量取值A(chǔ)BC編號(hào)000001010011100101110111m0m1m2m3m4m5m6m7

同理，可將4個(gè)變量的16個(gè)最小項(xiàng)記作m0～m15。最小項(xiàng)的重要性質(zhì)：①在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最小項(xiàng)，且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。②全體最小項(xiàng)之和為1。③任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0。④具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并成一項(xiàng)并消去一對(duì)因子。若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子不同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性。例如，和兩個(gè)最小項(xiàng)僅第三個(gè)因子不同，所以它們具有相鄰性。這兩個(gè)最小項(xiàng)相加時(shí)定能合并成一項(xiàng)并將一對(duì)不同的因子消去例如

在n個(gè)變量邏輯函數(shù)中，若M為ｎ個(gè)變量之和，而且這ｎ個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在M中只出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項(xiàng)。三變量A、B、C的最大項(xiàng)有共8個(gè)(即23個(gè))。對(duì)于n個(gè)變量，則有2n個(gè)最大項(xiàng)?？梢妌個(gè)變量的最大項(xiàng)數(shù)目和最小項(xiàng)數(shù)目是相等的。(2)

最大項(xiàng)

最大項(xiàng)的主要性質(zhì):①在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最大項(xiàng)，而且只有一個(gè)最大項(xiàng)為0。②全體最大項(xiàng)之積為0。③任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1。④只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和。最大項(xiàng)和最小項(xiàng)之間存在如下關(guān)系:如，則

Mi=

(2.4.2)

將給定的邏輯函數(shù)式化為若干乘積項(xiàng)之和的形式(亦稱“積之和”形式)，然后再利用基本公式A+=1將每個(gè)乘積項(xiàng)中缺少的因子補(bǔ)全，這樣就可以將與或的形式化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。這種標(biāo)準(zhǔn)形式在邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)以及計(jì)算機(jī)輔助分析和設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。

例如，給定邏輯函數(shù)為則可化為

m3+m5+m7或?qū)懽?/p>

2.

邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式例2.4.5

將邏輯函數(shù)L（A,B,C）轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式。解：該函數(shù)為三變量函數(shù)，而表達(dá)式中每項(xiàng)只含有兩個(gè)變量，不是最小項(xiàng)。要變?yōu)樽钚№?xiàng)，就應(yīng)補(bǔ)齊缺少的變量，辦法為將各項(xiàng)乘以1，如AB項(xiàng)乘以。L（A,B,C）

=m7+m6+m3+m1或者

L（A,B,C）=∑m（1,3,6,7）在邏輯函數(shù)包含的最小項(xiàng)個(gè)數(shù)較多時(shí)，這種用最小項(xiàng)下標(biāo)編號(hào)來表示最小項(xiàng)的方法比較簡(jiǎn)便。

2.5

邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法2.5.1

邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式2.5.2

邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法

與—或表達(dá)式

或—與表達(dá)式

與非—與非表達(dá)式

或非—或非表達(dá)式

與—或非表達(dá)式2.5

邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法2.5.1邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式

上述多種表達(dá)式中，與—或表達(dá)式是邏輯函數(shù)的最基本表達(dá)形式。因此，在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，通常是將邏輯式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)與—或表達(dá)式，然后再根據(jù)需要轉(zhuǎn)換成其他形式。

最簡(jiǎn)與—或表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)是：（1）與項(xiàng)最少，即表達(dá)式中“+”號(hào)最少。（2）每個(gè)與項(xiàng)中的變量數(shù)最少，即表達(dá)式中“·”號(hào)最少。

與項(xiàng)最少，可以使電路實(shí)現(xiàn)時(shí)所需的邏輯門的個(gè)數(shù)最少；每個(gè)與項(xiàng)中的變量數(shù)最少，可以使電路實(shí)現(xiàn)時(shí)所需邏輯門的扇入系數(shù)即輸入端個(gè)數(shù)最少。這樣就可以保證電路最簡(jiǎn)，成本最低。對(duì)于其他類型的電路，也可以得出類似的“最簡(jiǎn)”標(biāo)準(zhǔn)。例如或－與表達(dá)式,其“最簡(jiǎn)”的標(biāo)準(zhǔn)可以變更為：或項(xiàng)最少；每個(gè)或項(xiàng)中的變量數(shù)最少。

用公式化簡(jiǎn)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，就是直接利用邏輯代數(shù)的基本公式和基本規(guī)則進(jìn)行化簡(jiǎn)。公式化簡(jiǎn)法沒有固定的步驟，常用的化簡(jiǎn)方法有以下幾種：

2.5.2

邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法1.

并項(xiàng)法

運(yùn)用公式，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)變量。例如:

運(yùn)用吸收律消去多余的與項(xiàng)。如:2.

吸收法運(yùn)用吸收律消去多余的因子。如:3.消去法

先通過乘以

（=1）或加上（=0），增加必要的乘積項(xiàng)，再用以上方法化簡(jiǎn)。如:4.配項(xiàng)法。使用配項(xiàng)法要注意防止越配越繁。例2.5.2

化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

例2.5.1化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

解：

解：

（利用）

（利用）

（利用）

例2.5.3

化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

解：(利用反演律)

解：(利用反演律)（利用）（利用）（配項(xiàng)法）（利用）（利用）例2.5.4

化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)解法1：（增加冗余項(xiàng)）（消去1個(gè)冗余項(xiàng)）由本例可知，邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)結(jié)果(有時(shí))不是唯一的。解法2：（再消去1個(gè)冗余項(xiàng)）（增加冗余項(xiàng)）（再消去1個(gè)冗余項(xiàng)）（再消去1個(gè)冗余項(xiàng)）最簡(jiǎn)的與－或邏輯函數(shù)表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的邏輯圖；僅用與非門畫出最簡(jiǎn)表達(dá)式的邏輯圖。

例2.5.5

已知邏輯函數(shù)表達(dá)式為，試求：

解：圖2.5.1例2.5.5的邏輯電路

圖2.5.2改用與非門實(shí)現(xiàn)的例2.5.5電路

圖2.5.1為根據(jù)最簡(jiǎn)與－或表達(dá)式畫出的邏輯圖，它用到與門、或門、和非門3種類型的邏輯門；圖2.5.2為根據(jù)與非－與非表達(dá)式畫出的邏輯圖，它只用到兩個(gè)輸入端與非門一種類型的邏輯門。顯然后者成本較低。

將與－或表達(dá)式變換為與非－與非表達(dá)式時(shí)，首先對(duì)與－或表達(dá)式取兩次非，然后根據(jù)摩根定律分開下面的取非線。將與－或表達(dá)式變換成或非－或非表達(dá)式時(shí)，先對(duì)與－或表達(dá)式中的每個(gè)乘積項(xiàng)單獨(dú)取兩次非，后按照摩根定律分開下面的取非線，最后對(duì)整個(gè)表達(dá)式取兩次非。

例2.5.6

試對(duì)邏輯表達(dá)式進(jìn)行變換，僅用或非門畫出該表達(dá)式的邏輯圖。

解：仿照上例，只用或非門來實(shí)現(xiàn)也是可以的，只需把函數(shù)向或非形式進(jìn)行變換：(摩根定律)(或非－或非表達(dá)式)圖2.5.3例2.5.6的邏輯電路圖

公式化簡(jiǎn)法的優(yōu)點(diǎn)是不受變量數(shù)目的限制。缺點(diǎn)是：沒有固定的步驟可循；需要熟練運(yùn)用各種公式和定理；需要一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)；特別是很較難判定化簡(jiǎn)結(jié)果是否最簡(jiǎn)，而且同一邏輯函數(shù)可能有多個(gè)不同的表達(dá)式我們就必須確定它們是否是表達(dá)同一個(gè)邏輯函數(shù)。因此，在變量數(shù)不多的情況下，通常多采用卡諾圖化簡(jiǎn)法化簡(jiǎn)。2.6邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法2.6.1.

卡諾圖的構(gòu)成2.6.2.

邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法2.6.3

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

相鄰的最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同而其余變量都相同，如ABC和，ABCD和。相鄰最小項(xiàng)可以利用公式來消去一個(gè)變量，如，。邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)實(shí)質(zhì)上就是相鄰最小項(xiàng)的合并。

2.6邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法2.6.1.卡諾圖的構(gòu)成

將邏輯函數(shù)真值表中的最小項(xiàng)排列成矩陣，并且矩陣的橫向和縱向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列（即相鄰的數(shù)碼只有一位碼不同），這樣構(gòu)成的圖形稱為卡諾圖?？ㄖZ圖的排列特點(diǎn)就是具有很強(qiáng)的相鄰性。

首先是直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項(xiàng)在邏輯上一定是相鄰的。其次是對(duì)邊相鄰性，即與中心軸對(duì)稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。所以，四角的最小項(xiàng)也都是相鄰的。凡是兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)，它們?cè)趫D中也是相鄰的。所以，2變量的最小項(xiàng)有2個(gè)最小項(xiàng)與之相鄰，3變量的最小項(xiàng)有3個(gè)最小項(xiàng)與之相鄰，4變量的最小項(xiàng)有4個(gè)最小項(xiàng)與之相鄰，5變量的最小項(xiàng)有5個(gè)最小項(xiàng)與之相鄰，以此類推。

2.6.2.

邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)，就是把邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中，每一個(gè)最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方格填上１，其余的方格填上0（也可以空著都不填）。1．利用真值表填卡諾圖

某邏輯函數(shù)的真值表如表2.6.1所示，給出該邏輯函數(shù)的卡諾圖。例2.6.1圖2.6.2例2.6.1的卡諾圖2.根據(jù)邏輯表達(dá)式填卡諾圖(1)如果邏輯表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，則只要將函數(shù)式中出現(xiàn)的最小項(xiàng)在卡諾圖對(duì)應(yīng)的小方格中填入1，沒出現(xiàn)的最小項(xiàng)則在卡諾圖對(duì)應(yīng)的小方格中填入0(或者空著)。例2.6.2

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

解：該函數(shù)為三變量，且為最小項(xiàng)表達(dá)式，寫成簡(jiǎn)化形式然后畫出三變量卡諾圖，將卡諾圖中m0、m3、m6、m7對(duì)應(yīng)的小方格填1，其他小方格填0。

(2)如果邏輯表達(dá)式不是最小項(xiàng)表達(dá)式，但是“與-或表達(dá)式”，可將其先化成最小項(xiàng)表達(dá)式，再填入卡諾圖。也可直接填入，直接填入的具體方法是：分別找出每一個(gè)與項(xiàng)所包含的所有小方格，全部填入1。例2.6.3

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

解：

按照上式,將Σm(5,8,9,10,11,13)中的對(duì)應(yīng)的6個(gè)方格填1,其余填0,圖2.6.4例2.6.3的卡諾圖

只要是與-或表達(dá)式,也可以直接填圖。方法是：把每一個(gè)與項(xiàng)所屬于的方格都填上1,其余填0。例如本例中,與項(xiàng)應(yīng)該包含既屬于A同時(shí)又屬于的方格,從圖2.6.4可知,只有最下邊一排四個(gè)格子既屬于A同時(shí)又屬于,所以最下邊四個(gè)格子都填1,而與項(xiàng)則是既屬于B又同時(shí)屬于和D的方格只有第2列中間的兩個(gè),把它們填上1,得到的結(jié)果與先化成最小項(xiàng)表達(dá)式再填圖完全一樣,就是圖2.6.4。(3)如果邏輯表達(dá)式不是“與—或表達(dá)式”，可先將其化成“與—或表達(dá)式”再填入卡諾圖。圖2.6.5例2.6.4的卡諾圖例2.6.4

繪出的卡諾圖。解：現(xiàn)將函數(shù)化成與-或表達(dá)式2.6.3

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法1．卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的原理(m3和m2合并)

(m7和m6合并)(m3、m2和m7、m6合并)

(m10、m11、m14、m15合并)

(m2、m3、m6、m7、m10、

m11、m14、m15合并)2n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可消去n個(gè)變量而合并為l項(xiàng)。圖2.6.6卡諾圖化簡(jiǎn)原理

2．用卡諾圖合并最小項(xiàng)的原則

（1）圈要盡可能大，這樣消去的變量就多。但是每個(gè)圈內(nèi)只能含有相鄰項(xiàng)2n個(gè)（n=0,1,2,3……）。要特別注意對(duì)邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個(gè)數(shù)盡量少，這樣化簡(jiǎn)后的邏輯函數(shù)的與項(xiàng)就少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項(xiàng)。（4）取值為1的方格可以被重復(fù)圈在不同的包圍圈中，但在新畫的包圍圈中至少要含有1個(gè)末被圈過的1的方格，否則該包圍圈是多余的。2．用卡諾圖合并最小項(xiàng)的原則

(1)畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。

(2)合并相鄰的最小項(xiàng)，即根據(jù)前述原則畫圈。

(3)寫出化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。每一個(gè)圈寫一個(gè)最簡(jiǎn)與項(xiàng)，規(guī)則是，取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得最簡(jiǎn)與—或表達(dá)式。3．用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟

例2.6.5

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：(1)由表達(dá)式畫出卡諾圖如圖2.6.8(a)所示。圖2.6.8例2.6.5的卡諾圖法化簡(jiǎn)(2)畫包圍圈合并最小項(xiàng)，如圖2.6.8(b)所示,得簡(jiǎn)化的與—或表達(dá)式：

例2.6.6

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：

解：(1)由表達(dá)式畫出卡諾圖如圖2.6.9(a)所示。(2)畫包圍圈合并最小項(xiàng)，得圖2.6.9例2.6.6的卡諾圖法化簡(jiǎn)注意：圖中的長(zhǎng)方形虛線圈是多余的，應(yīng)去掉。

例2.6.7

某邏輯函數(shù)的真值表如表2.6.2所示，用卡諾圖化簡(jiǎn)該邏輯函數(shù)。表2.6.2例2.6.7真值表ABCL00000101001110010111011101111110解法1：（1）由真值表畫出卡諾圖，如圖2.6.10(a)所示。圖2.6.10例2.6.7卡諾圖（2）畫包圍圈合并最小項(xiàng)，得解法2：（1）由表達(dá)式畫出卡諾圖，如圖2.6.10(b)所示。（2）畫包圍圈合并最小項(xiàng)，得

真值表、卡諾圖是唯一的，但包圍圈的畫法有時(shí)有不唯一，故化簡(jiǎn)結(jié)果有時(shí)不是唯一的。

當(dāng)一個(gè)邏輯函數(shù)用卡諾圖表示后，里面的0很少且相鄰性很強(qiáng)，這時(shí)用圈0法更簡(jiǎn)便。但要注意，圈0后，先寫出反函數(shù)，再取非，方得到原函數(shù)L。4．卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的另一種方法--圈0法例2.6.8

已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如圖2.6.10所示，分別用“圈0法”和“圈1法”寫出其最簡(jiǎn)與—或式。解：（1）用圈0法畫包圍圈如圖2.6.10（a）所示，得取非，得：

對(duì)取非:圖2.6.10例2.6.8的卡諾圖

圖2.6.10例2.6.8的卡諾圖（2）用圈1法畫包圍圈如圖2.6.10（b）所示，得：5.

具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)(1)什么是無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)所有2n個(gè)最小項(xiàng)中有時(shí)會(huì)有一些最小項(xiàng)是受約束的項(xiàng)(不允許出現(xiàn))或者是任意項(xiàng)(有這些項(xiàng)還是無這些項(xiàng)對(duì)邏輯函數(shù)沒有影響)，這些約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱無關(guān)最小項(xiàng)。例2.6.9

在十字路口有紅綠黃三色交通信號(hào)燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號(hào)燈之間邏輯關(guān)系。

無關(guān)最小項(xiàng)在邏輯函數(shù)中要么不會(huì)出現(xiàn)，要么對(duì)邏輯函數(shù)無影響，因此這些無關(guān)最小項(xiàng)在卡諾圖中相應(yīng)的方格中是1或是0都無所謂。在填卡諾圖時(shí)，這些無關(guān)最小項(xiàng)在相應(yīng)的方格中填“×”，以示區(qū)別。在畫包圍圈時(shí)，可把“×”當(dāng)1看待，也可把“×”當(dāng)0看待。究竟把“×”當(dāng)1還是當(dāng)0，應(yīng)根據(jù)化簡(jiǎn)需要而定。解：設(shè)紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。車用L表示，車行L=1，車停L=0。列出該函數(shù)的真值表如表2.6.3所示。

L=∑m（）+∑d（）表2.6.3例2.6.9的真值表紅燈A綠燈B黃燈C車L000×00100101011×1000101×110×111×

在這個(gè)函數(shù)中，有5個(gè)最小項(xiàng)是不會(huì)出現(xiàn)的，如（三個(gè)燈都不亮）、（紅燈綠燈同時(shí)亮）等。因?yàn)橐粋€(gè)正常的交通燈系統(tǒng)不可能出現(xiàn)這些情況，如果出現(xiàn)了，車可以行也可以停，即邏輯值任意。

帶有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式為：

本例函數(shù)可寫成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）

(2)具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)表2.6.3例2.6.9的真值表紅燈A綠燈B黃燈C車L000×00100101011×1000101×110×111×

例2.6.10

某邏輯函數(shù)輸入是8421BCD碼（即不可能出現(xiàn)

1010～1111這6種輸入組合），其邏輯表達(dá)式為：

L=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15），用卡諾圖法化簡(jiǎn)該邏輯函數(shù)。解：（1）畫出4變量卡諾圖，如圖2.6.12（a）所示。將1、4、

5、6、7、9號(hào)小方格填入1；將10、11、12、13、14、

15號(hào)小方格填入×。（3）寫出邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與—或表達(dá)式:如果不考慮無關(guān)項(xiàng)，則：

可見不是最簡(jiǎn)。2.7**

邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)與變換Multisim10仿真2.7.1Multisim10主要功能及特點(diǎn)2.7.2Multisim10安裝2.7.3Multisim10的基本操作2.7**

邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)與變換Multisim10仿真2.7.1Multisim10主要功能及特點(diǎn)Multisim10為模擬、數(shù)字以及模擬/數(shù)字混合電路提供了快速并且精確的仿真。Multisim

10提供了邏輯分析儀、安捷倫儀器、波特圖儀、失真分析儀、頻率計(jì)數(shù)器、函數(shù)信號(hào)發(fā)生器、數(shù)字萬用表、網(wǎng)絡(luò)分析儀、頻譜分析儀、瓦特表和字信號(hào)發(fā)生器等18種虛擬儀器，其功能與實(shí)際儀表相同。Multisim

10除了提供虛擬儀表，還提供了直流工作點(diǎn)分析、交流分析、敏感度分析、3dB點(diǎn)分析、批處理分析、直流掃描分析、失真分析、傅里葉分析、模型參數(shù)掃描分析、蒙特卡羅分析、噪聲分析、噪聲系數(shù)分析、溫度掃描分析、傳輸函數(shù)分析、用戶自定義分析和最壞情況分析等19種分析。Multisim

10還具有強(qiáng)大的作圖功能，可將仿真結(jié)果進(jìn)行顯示、調(diào)節(jié)、儲(chǔ)存、打印和輸出。用作圖器還可對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行測(cè)量、設(shè)置標(biāo)記、重建坐標(biāo)系以及添加網(wǎng)格。

(1)系統(tǒng)高度集成，界面直觀，操作方便。(2)支持模擬電路、數(shù)字電路以及模擬/數(shù)字混合電路的設(shè)計(jì)仿真。(3)電路分析手段完備。(4)提供多種輸入輸出接口。主要特點(diǎn)：2.7.2Multisim10安裝

啟動(dòng)安裝：將Multisim10安裝光盤放入光驅(qū)，光盤會(huì)自啟動(dòng)，單擊Next繼續(xù)。

第一安裝階段：閱讀授權(quán)協(xié)議，單擊Yes接受協(xié)議；閱讀出現(xiàn)的系統(tǒng)升級(jí)對(duì)話框，單擊Next進(jìn)行系統(tǒng)窗口文件的升級(jí)；程序提醒用戶關(guān)閉所有的Windows應(yīng)用程序，重新啟動(dòng)計(jì)算機(jī)。注意，計(jì)算機(jī)重新啟動(dòng)后，安裝程序不會(huì)繼續(xù)執(zhí)行安裝，必須重新啟動(dòng)安裝程序，點(diǎn)擊start/allprograms/Startup/ContinueSetup，安裝程序重新啟動(dòng)。

第二安裝階段：安裝程序重新啟動(dòng)后，第一階段出現(xiàn)過的界面和對(duì)話框還會(huì)再一次出現(xiàn)，按以上相應(yīng)步驟執(zhí)行。接下來輸入用戶姓名、公司名稱和Multisim10的20位系列碼，單擊Next繼續(xù)。選擇Multisim10的安裝位置，可選擇缺省位置，也可單擊Browse選擇另一位置，或輸入文件夾名。單擊Next繼續(xù)，Multisim10將完成安裝。

第三安裝階段：

Multisim10安裝完畢后，可以選擇是否安裝AdobeAcrobatReaderVersion4，單擊Next并根據(jù)指導(dǎo)進(jìn)行安