四川省德陽市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2德陽市高中2023級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學(xué)試卷說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4頁．考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效：考試結(jié)束后，將答題卡交回，2．本試卷滿分100分，120分鐘完卷．第Ⅰ卷（選擇題共36分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.若集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義求解即可.【詳解】易知既滿足，又滿足的數(shù)只有，故，顯然B正確.故選：B2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題“，”為全稱命題，該命題的否定為“，”.故選：A.3.下列函數(shù)中與是同一函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出每個(gè)選項(xiàng)對應(yīng)函數(shù)的定義域和解析式即可判斷.【詳解】對于A：，合題意；對于B：定義域?yàn)?，不合題意；對于C：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，不合題意；對于D：當(dāng)偶數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?，不合題意；故選：A.4.，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式特點(diǎn)，代入解析式求解即可.【詳解】.故選：C5.方程的解所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可判定.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，易知嚴(yán)格增，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得方程的解所在的區(qū)間為，故選：B.6.若，則（）A或 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】把化為，再利用齊次式進(jìn)行弦化切代入求解.【詳解】.故選：D7.當(dāng)生物死亡后，它體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來是一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．在最近的一次發(fā)掘中，三星堆3、4號祭祀坑出土了170多顆象牙．某志愿者檢測到某顆象牙的碳14含量只剩下原來的，根據(jù)該志愿者的檢測結(jié)果，可推斷，這頭大象大約生活在距今（）．（精確到百年，參考數(shù)據(jù)：）A.3800年 B.4200年 C.4600年 D.5000年【答案】C【解析】【分析】設(shè)該生物的死亡時(shí)間為t，根據(jù)題意列出關(guān)于t的方程，利用指數(shù)方程的求解，轉(zhuǎn)化成對數(shù)求解即可得到答案．【詳解】設(shè)這頭大象大約生活在距今t年，則，這頭大象大約生活在距今約4600年，故選：C.8.已知：，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助0，1和幫助判定即可得出答案.【詳解】由題可知，所以，，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，故，即.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而得解.二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得3分，部分選對的得1分，有選錯(cuò)的得0分．）9.若，則可以為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)選項(xiàng)逐個(gè)求解正弦值即可判斷.【詳解】對于A，，符合題意；對于B，，不合題意；對于C，，不合題意；對于D，，符合題意；故選：AD10.若四個(gè)冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖，則的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用冪函數(shù)在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖象的特點(diǎn)，確定出的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，在的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)依次增大，可得.故選：BC11.下列選項(xiàng)中，的充分不必要條件可以是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由充分必要條件的概念，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性，對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對于A，若，則，得，又函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)，時(shí)，無意義，即不滿足，故是的充分不必要條件，滿足題意；對于B，若，則，但由得不到，例如，但，當(dāng)時(shí)，有，故是的必要不充分條件，不合題意；對于C，若，由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，但由得不到，例如，但，反之，若，則，從而，故是的必要不充分條件，不合題意；對于D，若，則，有，當(dāng)，時(shí)，無意義，即不滿足，故是的充分不必要條件，滿足題意.故選：AD12.定義在上的函數(shù)，能斷定4是周期的是（）A.滿足 B.滿足C.奇函數(shù)滿足 D.奇函數(shù)滿足【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)的恒等式和奇偶性，賦值變形即可判定.【詳解】對于A：，所以8是的周期，不能判定4是函數(shù)的周期，故A錯(cuò)誤；對于B：，故合題意；對于C：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，所以，故合題意；對于D：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，所以，故合題意；故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題共64分）三、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．將答案直接填在答題卡上）13.若，則__________．【答案】2【解析】【分析】分類討論結(jié)合互異性即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以或，若，，不滿足互異性；若或2，又，所以，故答案為：2.14.已知一個(gè)扇形的周長為4，則扇形面積的最大值為______.【答案】1【解析】【分析】表示出扇形的面積，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，則弧長，，即，該扇形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.該扇形的面積的最大值為.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式與扇形的面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.若角的終邊過點(diǎn)，則角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)定義得，，根據(jù)誘導(dǎo)公式求得，，即可求得角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)槿呛瘮?shù)定義及角的終邊過點(diǎn)，，所以，，所以角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：16.函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先求出定義域，然后將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成方程有解問題，最終轉(zhuǎn)化成求值域的問題，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題得，函數(shù)有零點(diǎn)，即在有解，即在有解，令，因?yàn)榕c都是遞增的，所以增，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共52分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟．）17.化簡求值：（1）；（2）已知：，求的值．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)、對數(shù)、冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求解；（2）對數(shù)化成指數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解.【小問1詳解】原式．【小問2詳解】，，故．18.若集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求解集合B，然后利用并集運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)交集運(yùn)算得，然后根據(jù)和分類討論求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，集合，又集合，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，①?dāng)，即時(shí)，；②當(dāng)，即時(shí)，要使，則必須，解得.綜上，的取值范圍是.19.已知．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)，求的值域．【答案】（1）最小正周期，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的周期以及單調(diào)性，即可求得答案；（2）根據(jù)時(shí)，確定，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知，故函數(shù)的最小正周期，令，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，故時(shí)，的值域?yàn)?20.已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的值；（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，求證：在上單調(diào)遞增.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）按照、及分類討論，根據(jù)單調(diào)性的定義及性質(zhì)即可求解；（2）先由函數(shù)是奇函數(shù)求得，再根據(jù)單調(diào)性的定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性按照步驟證明即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，在上顯然單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，取，因?yàn)?，所以在上不可能單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，取，因?yàn)?，所以在上不可能單調(diào)遞增；綜上，若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則.【小問2詳解】令，函數(shù)定義域?yàn)?，若是奇函?shù)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，，設(shè)，因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，所以，則，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.21.連續(xù)兩年，世界清潔能源裝備大會在德陽召開，德陽已成為世界清潔能源裝備之都．已知德陽市某重裝企業(yè)從2021年起，每年投入百萬元（代表年份，，為常數(shù)）用于研發(fā)清潔能源新產(chǎn)品．2023年世界清潔能源裝備大會后，該企業(yè)決定進(jìn)一步加大對清潔能源新產(chǎn)品的研發(fā)力度，從2024年起，在原計(jì)劃投入的基礎(chǔ)上，再追加投入百萬元．（1）若2024年投入10百萬元，求值；（2）若要保證每年的投入持續(xù)增加，求的取值范圍．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）列出方程，求出答案；（2）求出的解析式，需當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，考慮當(dāng)，和兩種情況，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值，得到不等式，求出答案.【小問1詳解】由題意，即，，解得；【小問2詳解】設(shè)第年投入百萬元，則由題意，必須當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，①當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞增，②，③接下來，只需當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，，因?yàn)?，解得，綜上，的取值范圍為．22.對稱美在日常生活中隨處可見，在數(shù)學(xué)中也非常常見．高一某同學(xué)通過自主探究發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)時(shí)：若恒有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；若恒有，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱；②函數(shù)關(guān)于直線對稱，必為偶函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，則必為奇函數(shù)；③三次函數(shù)一定有對稱中心；四次函數(shù)不一定有與軸垂直的對稱軸.請您對上訴結(jié)論作進(jìn)一步探究，結(jié)合自己的實(shí)際，解答以下問題：（1）求三次函數(shù)的對稱中心；（2）若四次函數(shù)有垂直于軸的對稱軸，求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）6（3）【解析】【分析】（1）法一：利用因式分解將函數(shù)解析式變?yōu)?，利用函?shù)平移及奇函數(shù)性質(zhì)求得對稱中心；法二：利用待定系數(shù)法將函數(shù)解析式變?yōu)?，利用函?shù)平移及奇函數(shù)的性質(zhì)求得對稱中心；（2）根