【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(北師大版)選修2-1教案：第2章-創(chuàng)新思維點撥：空間向量及其運算

創(chuàng)新思維點撥：空間向量及其運算【高考導航】本節(jié)內(nèi)容是高中教材新增加的內(nèi)容，在近兩年的高考考查中多作為解題的方法進行考查，主要是解題的方法上因引入向量得以擴展.

【綜合應用創(chuàng)新思維點撥】一、學科內(nèi)綜合思維點撥【例1】已知兩個非零向量e1、e2不共線，假如=e1+e2，=2e1+8e2，=3e1-3e2.求證：A、B、C、D共面.思維入門指導：要證A、B、C、D四點共面，只要能證明三向量、、共面，于是只要證明存在三個非零實數(shù)、μ、υ使+μ+υ=0即可.證明:設(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+υ(3e1-3e2)=0.則(+2μ+3υ)e1+(+8μ-3υ)e2=0.∵e1、e2不共線，∴故、、共面，所以A、B、C、D四點共面.點撥：查找到三個非零實數(shù)使三向量符合共面對量基本定理的方法是待定系數(shù)法.二、應用思維點撥【例2】某人騎車以每小時α公里的速度向東行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為2α時，感到風從東北方向吹來.試求實際風速和風向.思維入門指導：速度是矢量即為向量.因而本題先轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)學模型，然后進行求解，求風速和風向?qū)嵸|(zhì)是求一向量.解:設a表示此人以每小時α公里的速度向東行駛的向量.在無風時,此人感到風速為-a,設實際風速為v,那么此人感到的風速向量為v-a.如圖9-5-2.設=-a,=-2a.由于+=,從而=v-a.這就是感受到的由正北方向吹來的風.其次，由于+=，從而v-2=.于是，當此人的速度是原來的2倍時感受到由東北方向吹來的風就是.由題意,得∠PBO=45°,PA⊥BO，BA=AO，從而△PBO為等腰直角三角形.故PO=PB=α.即|v|=α.答：實際吹來的風是風速為α的西北風.點撥：向量與物理中的矢量是同樣的概念，因而物理中的有關矢量的求解計算在數(shù)學上可化歸到平面對量或空間向量進行計算求解.學問的交叉點正是高考考查的重點，也能體現(xiàn)以力氣立意的高考方向.三、創(chuàng)新思維點撥【例3】如圖9-5-3(1)，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點.（1）用向量法證明E、F、G、H四點共面；（2）用向量法證明BD∥平面EFGH.思維入門指導:(1)要證E、F、G、H四點共面，依據(jù)共面對量定理的推論，只要能找到實數(shù)x,y,使=x+y即可;(2)要證BD∥平面EFGH,只需證向量與共線即可.證明:(1)如圖9-5-3(2),連結BG,則=+=+(+)=++=+.由共面對量定理推論知，E、F、G、H四點共面.(2)∵=-=-=(-)=,∴EH∥BD.又EH面EFGH，BD面EFGH，∴BD∥平面EFGH.點撥：利用向量證明平行、共面是創(chuàng)新之處，比較以前純幾何的證明，顯而易見用向量證明比較簡潔明快.這也正是幾何問題爭辯代數(shù)化的特點.【例4】如圖9-5-4，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為D1C1的中點，試求A1C1與DE所成角.思維入門指導：在正方體AC1中，要求A1C1與DE所成角,只需求與所成角即可.要求與所成角，則可利用向量的數(shù)量積，只要求出·及||和||即可.解:設正方體棱長為m,=a,=b,=c.則|a|=|b|=|c|=m，a·b=b·c=c·a=0.又∵=+=+=a+b,=+=+=c+a,∴·=(a+b)(c+a)=a·c+b·c+a2+a·b=a2=m2.又∵||=m,||=m,∴cos<,>===.∴<,>=arccos.即A1C1與DE所成角為arccos.點撥：A1C1與DE為一對異面直線.在以前的解法中求異面直線所成角要先找（作），后求.而應用向量可以不作或不找直接求.簡化了解題過程，降低了解題的難度.解題過程中先把及用同一組基底表示出來,再去求有關的量是空間向量運算常用的手段.四、高考思維點撥【例5】（2000，全國，12分）如圖9-5-5，已知平行六面體ABCD一A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證：C1C⊥BD；(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r,能使A1C⊥平面C1BD?請給出證明.思維入門指導：依據(jù)兩向量的數(shù)量積公式a·b=|a|·|b|cos<a,b>知，兩個向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0,即a⊥ba·b=0,所以要證明兩直線垂直,只要證明兩直線對應的向量數(shù)量積為零即可.(1)證明:設=a,=b,=c.由題可知|a|=|b|.設、、中兩兩所成夾角為,于是=-=a-b,·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cos-|c|·|b|cos=0,∴C1C⊥BD.(2)解:若使A1C⊥平面C1BD,只須證A1C⊥BD,A1C⊥DC1,由于:·=(+)·(-)=(a+b+c)·(a-c)=|a|2+a·b-b·c-|c|2=|a|2+|b|·|a|·cos-|b|·|c|cos-|c|2=0,得當|a|=|c|時A1C⊥DC1.同理可證當|a|=|c|時,A1C⊥BD.∴=1時,A1C⊥平面C1BD.點撥：對于向量數(shù)量積的運算一些結論仍是成立的.（a-b）·（a+b）=a2-b2；(a±b)2=a2±2a·b+b2.五、經(jīng)典類型題思維點撥【例6】證明：四周體中連接對棱中點的三條直線交于一點，且相互平分.（此點稱為四周體的重心）思維入門指導：如圖9-5-6所示四周體ABCD中，E、F、G、H、P、Q分別為各棱中點.要證明EF、GH、PQ相交于一點O，且O為它們的中點.可以先證明兩條直線EF、GH相交于一點O，然后證明P、O、Q三點共線，即、共線.從而說明PQ直線也過O點.證明：∵E、G分別為AB、AC的中點，∴EG∥BC.同理HF∥BC.∴EG∥HF.從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF、GH相交于一點O，且O為它們的中點，連接OP、OQ.∵=+,=+,而O為GH的中點，∴+=0,GP∥CD，QH∥CD.∴=,=.∴+=+++=0+-=0.∴=-.∴PQ經(jīng)過O點，且O為PQ的中點.點撥:本例也可以用共線定理的推論來證明,事實上,設EF的中點為O.連接OP、OQ,則=-,而==-,=-2,則=-+2,∴=(+)，從而看出O、P、Q三點共線且O為PQ的中點，同理可得GH邊經(jīng)過O點且O為GH的中點，從而原命題得證.六、探究性學習點撥【例7】如圖9-5-7所示，對于空間某一點O，空間四個點A、B、C、D（無三點共線）分別對應著向量a=，b=,c=,d=.求證：A、B、C、D四點共面的充要條件是存在四個非零實數(shù)α、β、γ、δ，使αa+βb+γc+δd=0，且α+β+γ+δ=0.思維入門指導：分清充分性和必要性，應用共面對量定理.證明：(必要性)假設A、B、C、D共面，由于A、B、C三點不共線，故，兩向量不共線，因而存在實數(shù)x、y，使=x+y,即d-a=x(b-a)+y(c-a),∴(x+y-1)a-xb-yc+d=0.令α=x+y-1,β=-x,γ=-y,δ=1.則αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0.（充分性）假如條件成立，則δ=-(α+β+γ),代入得αa+βb+γc+δd=αa+βb+γc-(α+β+γ)d=0.即α(a-d)+β