【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)階段性測(cè)試題12(算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明)

階段性測(cè)試題十二(算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2021·武漢市武昌區(qū)調(diào)研)已知i是虛數(shù)單位，則eq\f(2＋i,3－i)＝()A．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i B．eq\f(7,2)－eq\f(1,2)iC．eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i D．eq\f(7,2)＋eq\f(1,2)i[答案]C[解析]eq\f(2＋i,3－i)＝eq\f(2＋i3＋i,3－i3＋i)＝eq\f(5＋5i,10)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i.2．(文)(2022·濟(jì)南模擬)復(fù)數(shù)z＝eq\f(i,1＋i)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[答案]A[解析]z＝eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1＋i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(i,2)，所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，在第一象限．(理)(2022·鄭州六校質(zhì)量檢測(cè))設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，若eq\f(z,1＋i)＝2－i成立，則點(diǎn)P(a，b)在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[答案]A[解析]由于eq\f(z,1＋i)＝2－i，所以z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，所以點(diǎn)P(a，b)在第一象限．3．(文)(2022·福建高考)閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的n的值為()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]本題考查了程序框圖的相關(guān)概念．S1：n＝1,21>12→是，S2：n＝2,22>22→否，輸出n＝2.關(guān)鍵是理解賦值語(yǔ)句n＋1及條件2n>n2.(理)(2022·福建高考)閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的S的值等于()A．18 B．20C．21 D．40[答案]B[解析]本題考查程序框圖，當(dāng)n＝1時(shí)，S＝3，當(dāng)n＝2時(shí)，S＝3＋22＋2＝9，當(dāng)n＝3時(shí)，S＝9＋23＋3＝20>15，故輸出S＝20.4．若下邊的程序框圖輸出的S是126，則條件①可為()A．n≤15 B．n≤6C．n≤7 D．n≤8[答案]B[解析]由程序框圖可知這是計(jì)算S＝0＋2＋22＋…＋2n＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2的程序，當(dāng)S＝2n＋1－2＝126時(shí)，即2n＋1＝128，解得n＝6，此時(shí)n＝n＋1＝7，不滿足條件，所以選B．5．(文)為確保信息平安，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密規(guī)章為：明文a，b，c，d對(duì)應(yīng)密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時(shí)，則解密得到的明文為A．4,6,1,7 B．7,6,1,4C．6,4,1,7 D．1,6,4,7[答案]C[解析]因加密規(guī)章可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝14,2b＋c＝9,2c＋3d＝23,4d＝28,))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝4,c＝1,d＝7)).故明文為6,4,1,7.(理)設(shè)M＝(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)，且a＋b＋c＝1(a，b，c均為正數(shù))，由綜合法得M的取值范圍是()A．[0，eq\f(1,8)] B．[eq\f(1,8)，1)C．[1,8] D．[8，＋∞)[答案]D[解析]由a＋b＋c＝1，M＝(eq\f(b,a)＋eq\f(c,a))(eq\f(a,b)＋eq\f(c,b))(eq\f(a,c)＋eq\f(b,c))≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)．)6．(2021·濟(jì)南模擬)下面有四個(gè)命題：①集合N中最小的數(shù)是1；②若－a不屬于N，則a屬于N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④x2＋1＝2x的解集可表示為{1,1}．其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]①假命題，集合N中最小的數(shù)是0；②假命題，如a＝eq\f(1,2)時(shí)，命題不成立；③假命題，如a＝0，b＝1，則a＋b＝1；④假命題，{1,1}與集合中元素的互異性沖突，其解集應(yīng)為{1}．7．(文)設(shè)z＝1－i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)eq\f(2,z)＋i2的虛部是()A．1 B．－1C．i D．－i[答案]A[解析]由于z＝1－i(i是虛數(shù)單位)，所以復(fù)數(shù)eq\f(2,z)＋i2＝eq\f(2,1－i)＋i2＝1＋i－1＝i，所以復(fù)數(shù)eq\f(2,z)＋i2的虛部是1.(理)設(shè)復(fù)數(shù)z＝1＋bi(b∈R)且|z|＝2，則復(fù)數(shù)z的虛部為()A．eq\r(3) B．±eq\r(3)C．±1 D．±eq\r(3)i[答案]B[解析]z＝1＋bi，且|z|＝2，即1＋b2＝4，解得b＝±eq\r(3).8．(文)已知M是ex＋e－x的最小值，N＝eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)，則下圖所示程序框圖輸出的S為()A．2 B．1C．eq\f(1,2) D．0[答案]A[解析]∵ex＋e－x≥2eq\r(ex·e－x)＝2，∴M＝2，N＝eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝tan45°＝1，所以M>N，又框圖的功能是求M，N中的較大值，故輸出的值為2.(理)已知函數(shù)y＝eq\f(1,x)與x＝1，x軸和x＝e所圍成的圖形的面積為M，N＝eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)，則程序框圖輸出的S為()A．1 B．2C．eq\f(1,2) D．0[答案]C[解析]由于2N＝eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝tan45°＝1，所以N＝eq\f(1,2)，M＝eq\i\in(1,e,)eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(e,1)＝1，所以M>N，又框圖的功能是求M，N中的較小值，故輸出的值為eq\f(1,2).9．(2022·新課標(biāo)Ⅱ)執(zhí)行下圖程序框圖，假如輸入的x，t均為2，則輸出的S＝()A．4 B．5C．6 D．7[答案]D[解析]本題考查程序框圖的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)．x＝2，t＝2，變量變化狀況如下：MSk131252273故選D．10．(文)設(shè)x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2，a2＋b＝4，則eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的最大值為()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]由于ax＝by＝2，所以x＝loga2，y＝logb2，所以eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝2log2a＋log2b＝log2(a2b)≤log2(eq\f(a2＋b,2))2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝b＝2時(shí)取等號(hào)．(理)定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，滿足f(3－x)＝f(x)，(x－eq\f(3,2))f′(x)<0，若x1<x2，且x1＋x2>3，則有()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不確定[答案]B[解析]由于函數(shù)y＝f(x)，滿足f(3－x)＝f(x)，所以函數(shù)y＝f(x)的對(duì)稱軸為x＝eq\f(3,2).又由于(x－eq\f(3,2))f′(x)<0，所以x<eq\f(3,2)時(shí)，f′(x)>0，x>eq\f(3,2)時(shí)，f′(x)<0，所以函數(shù)y＝f(x)在(－∞，eq\f(3,2)]上單調(diào)遞增；在[eq\f(3,2)，＋∞)上單調(diào)遞減．又由于x1<x2，且x1＋x2>3，所以3－x2<x1<x2，且x2∈(eq\f(3,2)，＋∞)，觀看圖像，得f(x1)>f(x2)．第Ⅱ卷(非選擇題共100分)二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上)11．(文)(2022·北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，則x＝________.[答案]2[解析]本題考查了復(fù)數(shù)乘法、復(fù)數(shù)相等的學(xué)問(wèn)．(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，x＝2.(理)(2022·北京高考)復(fù)數(shù)(eq\f(1＋i,1－i))2＝________.[答案]－1[解析]本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算．復(fù)數(shù)eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝eq\f(2i,2)＝i，故(eq\f(1＋i,1－i))2＝i2＝－1.12．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)eq\f(3,2－i2)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為________．[答案]eq\f(3,5)[解析]復(fù)平面上復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是它的模，而|eq\f(3,2－i2)|＝eq\f(3,|2－i|2)＝eq\f(3,5)，本題不需要把復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為a＋bi(a，b∈R)形式．13．程序框圖如下：假如上述程序運(yùn)行的結(jié)果為S＝132，那么推斷框中橫線上應(yīng)填入的數(shù)字是________．[答案]10[解析]由題設(shè)條件可以看出，此程序是一個(gè)求幾個(gè)數(shù)的連乘積的問(wèn)題，第一次乘入的數(shù)是12，以后所乘的數(shù)依次削減1，由于132＝11×12，故循環(huán)兩次，故推斷框中應(yīng)填k≤10.14．觀看下列等式：eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,22)，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＝1－eq\f(1,3×22)，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋eq\f(5,3×4)×eq\f(1,23)＝1－eq\f(1,4×23)，……，由以上等式推想到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于n∈N*，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋…＋eq\f(n＋2,nn＋1)×eq\f(1,2n)＝________.[答案]1－eq\f(1,n＋1·2n)[解析]由已知中的等式：eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,22)eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＝1－eq\f(1,3×22)，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋eq\f(5,3×4)×eq\f(1,23)＝1－eq\f(1,4×23)，…，所以對(duì)于n∈N*，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋…＋eq\f(n＋2,nn＋1)×eq\f(1,2n)＝1－eq\f(1,n＋12n).15．(2021·溫州適應(yīng)性測(cè)試)已知coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，coseq\f(π,5)coseq\f(2π,5)＝eq\f(1,4)，coseq\f(π,7)coseq\f(2π,7)coseq\f(3π,7)＝eq\f(1,8)，……(1)依據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是____________________________________；(2)若數(shù)列{an}中，a1＝coseq\f(π,3)，a2＝coseq\f(π,5)coseq\f(2π,5)，a3＝coseq\f(π,7)·coseq\f(2π,7)coseq\f(3π,7)，…，前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(1023,1024)，則n＝________.[答案](1)coseq\f(π,2n＋1)·coseq\f(2π,2n＋1)·…·coseq\f(nπ,2n＋1)＝eq\f(1,2n)(n∈N*)(2)10[解析](1)從題中所給的幾個(gè)等式可知，第n個(gè)等式的左邊應(yīng)有n個(gè)余弦相乘，且分母均為2n＋1，分子分別為π，2π，…，nπ，右邊應(yīng)為eq\f(1,2n)，故可以猜想出結(jié)論為coseq\f(π,2n＋1)·coseq\f(2π,2n＋1)·…·coseq\f(nπ,2n＋1)＝eq\f(1,2n)(n∈N*)．(2)由(1)可知an＝eq\f(1,2n)，故Sn＝eq\f(\f(1,2)[1－\f(1,2)n],1－\f(1,2))＝1－eq\f(1,2n)＝eq\f(2n－1,2n)＝eq\f(1023,1024)，∴n＝10.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)(1)與復(fù)2－12i相等？(2)與復(fù)數(shù)12＋16i互為共軛復(fù)數(shù)？(3)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方？[解析](1)依據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝2，,m2－2m－15＝－12.))解得m＝－1.(2)依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝12，,m2－2m－15＝－16.))解得m＝1.(3)依據(jù)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m17．(本小題滿分12分)一企業(yè)生產(chǎn)的某產(chǎn)品在不做電視廣告的前提下，每天銷售量為b件．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得到如下規(guī)律：若對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行電視廣告的宣揚(yáng)，每天的銷售量S(件)與電視廣告每天的播放量n(次)的關(guān)系可用如圖所示的程序框圖來(lái)體現(xiàn)．(1)試寫出該產(chǎn)品每天的銷售量S(件)關(guān)于電視廣告每天的播放量n(次)的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使該產(chǎn)品每天的銷售量比不做電視廣告時(shí)的銷售量至少增加90%，則每天電視廣告的播放量至少需多少次？[解析](1)設(shè)電視廣告播放量為每天i次時(shí)，該產(chǎn)品的銷售量為Si(0≤i≤n，i∈N)．由題意，Si＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，i＝0，,Si－1＋\f(b,2i)，1≤i≤n，i∈N*.))于是當(dāng)i＝n時(shí)，Sn＝b＋(eq\f(b,2)＋eq\f(b,22)＋…＋eq\f(b,2n))＝b(2－eq\f(1,2n))(n∈N)．所以，該產(chǎn)品每天銷售量S(件)與電視廣告播放量n(次/天)的函數(shù)關(guān)系式為S＝b(2－eq\f(1,2n))，n∈N.(2)由題意，有b(2－eq\f(1,2n))≥1.9b?2n≥10?4(n∈N*)．所以，要使該產(chǎn)品的銷售量比不做電視廣告時(shí)的銷售量至少增加90%，則每天廣告的播放量至少需4次．18．(本小題滿分12分)求證關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是a≤1.[分析]需證明充分性和必要性．證充分性時(shí)，可分a＝0，a<0和0<a≤1三種狀況證明；證必要性，就是查找方程有一個(gè)負(fù)根和兩個(gè)負(fù)根的條件.[證明]充分性：當(dāng)a＝0時(shí)，方程為2x＋1＝0，其根為x＝－eq\f(1,2)，方程有一個(gè)負(fù)根，符合題意．當(dāng)a<0時(shí)，Δ＝4－4a>0，方程ax2＋2x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且eq\f(1,a)<0，方程有一正一負(fù)根，符合題意．當(dāng)0<a≤1時(shí)，Δ＝4－4a≥方程ax2＋2x＋1＝0有實(shí)根，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)<0,\f(1,a)>0))，故方程有兩個(gè)負(fù)根，符合題意．綜上知：當(dāng)a≤1時(shí)，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)根．必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)根．當(dāng)a＝0時(shí)，方程為2x＋1＝0符合題意．當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2＋2x＋1＝0應(yīng)有一正一負(fù)或兩個(gè)負(fù)根．則eq\f(1,a)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a≥0,－\f(2,a)<0,\f(1,a)>0)).解得a<0或0<a≤1.綜上知：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一負(fù)根則a≤1.故關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是a≤1.19．(本小題滿分12分)設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，當(dāng)實(shí)數(shù)m(1)z是純虛數(shù)．(2)z是實(shí)數(shù)．(3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的其次象限．[解析](1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2－2m－2＝0，,m2＋3m＋2≠0.))解得m＝3.所以當(dāng)m＝3時(shí)，z是純虛數(shù)．(2)由m2＋3m得m＝－1或m＝－2，又m＝－1或m＝－2時(shí)，m2－2m所以當(dāng)m＝－1或m＝－2時(shí)，z是實(shí)數(shù)．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2－2m－2<0，,m2＋3m＋2>0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2>0,m2－2m－3<0,m2＋3m＋2>0))解得：－1<m<1－eq\r(3)或1＋eq\r(3)<m<3.所以當(dāng)－1<m<1－eq\r(3)或1＋eq\r(3)<m<3時(shí)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的其次象限．20．(本小題滿分13分)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，試問(wèn)A，B，C是否成等差數(shù)列，若不成等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由．若成等差數(shù)列，請(qǐng)給出證明．[解析]A、B、C成等差數(shù)列．證明如下：∵eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，∴eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3.∴eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－aC．在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝