《優(yōu)化探究》2022屆高三數(shù)學(xué)人教A版理科一輪復(fù)習(xí)提素能高效訓(xùn)練-第7章-立體幾何-7-4

A組考點(diǎn)基礎(chǔ)演練一、選擇題1．(2021年正定摸底)已知直線a與平面α，β，α∥β，a?α，點(diǎn)B∈β，則在β內(nèi)過點(diǎn)B的全部直線中()A．不愿定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在很多條與a平行的直線D．存在唯一一條與a平行的直線解析：設(shè)直線a和點(diǎn)B所確定的平面為γ，則α∩γ＝a，記β∩γ＝b，∵α∥β，∴a∥b，故存在唯一一條直線b與a平行．答案：D2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ為三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A．若m∥n，m?α，則n∥αB．若m∥n，m?α，n?β，則α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，則β∥γD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β解析：直線n可能在平面α內(nèi)，A錯(cuò)誤；兩平面可相交，此時(shí)直線m，n均于交線平行即可，B錯(cuò)誤；兩平面可相交，C錯(cuò)誤；由于m∥n，m⊥α，所以n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，D正確．故選D.答案：D3．設(shè)l，m，n表示不同的直線，α，β，γ表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α；②若m∥l，且m∥α，則l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，則l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，則l∥m.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3 D．4解析：易知①正確；②錯(cuò)誤，l與α的具體關(guān)系不能確定；③錯(cuò)誤，以墻角為例即可說明，④正確，可以以三棱柱為例證明，故選B.答案：B4．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥n，n?α，則m∥αC．若m∥α，m∥β，則α∥βD．若α∥β，α∥γ，則β∥γ解析：m、n平行于α，m、n可能相交也可能異面，如圖中正方體的棱A1B1，B1C1都與底面ABCD平行，但這兩條棱相交，故選項(xiàng)A不正確；在正方體中，AB∥A1B1，A1B1?平面A1B1BA，而AB不平行于平面A1B1BA，故選項(xiàng)B不正確；正方體的棱B1C1既平行于平面ADD1A1答案：D5．如圖，L，M，N分別為正方體對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則平面LMN與平面PQR的位置關(guān)系是()A．垂直 B．相交不垂直C．平行 D．重合解析：如圖，分別取另三條棱的中點(diǎn)A，B，C將平面LMN延展為平面正六邊形AMBNCL，由于PQ∥AL，PR∥AM，且PQ與PR相交，AL與AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.答案：C二、填空題6．一個(gè)面截空間四邊形的四邊得到四個(gè)交點(diǎn)，假如該空間四邊形的兩條對(duì)角線與這個(gè)截面平行，那么此四個(gè)交點(diǎn)圍成的四邊形是________．解析：如圖，由題意得AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH.∵AC?平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EF，∴AC∥EF，同理AC∥GH，所以EF∥GH.同理，EH∥FG，所以四邊形EFGH為平行四邊形．答案：平行四邊形7．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO解析：假設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，由于P為DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA.連接DB，由于P，O分別為DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO，故Q滿足Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q為CC1的中點(diǎn)8.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn)，若A1P∥平面AEF，則線段A1P解析：取B1C1中點(diǎn)M，則A1M∥AE；取BB1中點(diǎn)N，則MN∥EF，∴平面A1MN∥平面AEF.若A1P∥平面AEF，只需P∈MN，則P位于MN中點(diǎn)時(shí)，A1P最短；當(dāng)P位于M或N時(shí)，A1P最長．不難求得A1P的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))三、解答題9.如圖，已知平行四邊形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點(diǎn)．(1)求證：GH∥平面CDE；(2)若CD＝2，DB＝4eq\r(2)，求四棱錐F-ABCD的體積．解析：(1)證明解法一∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.又EF＝AD＝BC，∴四邊形EFBC是平行四邊形，∴H為FC的中點(diǎn)．又∵G是FD的中點(diǎn)，∴HG∥CD.∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，∴GH∥平面CDE.解法二連接EA，∵四邊形ADEF是正方形，∴G是AE的中點(diǎn)．∴在△EAB中，GH∥AB.又∵AB∥CD，∴GH∥CD.∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，∴GH∥平面CDE.(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.∵AD＝BC＝6，∴FA＝AD＝6.又∵CD＝2，DB＝4eq\r(2)，CD2＋DB2＝BC2，∴BD⊥CD.∵S?ABCD＝CD·BD＝8eq\r(2)，∴VF-ABCD＝eq\f(1,3)S?ABCD·FA＝eq\f(1,3)×8eq\r(2)×6＝16eq\r(2).10．(2021年開封摸底)已知四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，E是棱SC的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面SAB；(2)求三棱錐S-BED的體積．解析：(1)取線段SB的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥BC且EF＝eq\f(1,2)BC，由已知AD∥BC且AD＝eq\f(1,2)BC，所以EF∥AD，且EF＝AD，所以AF∥DE，又AF?平面SAB，DE?平面SAB，所以DE∥平面SAB.(2)由于E是棱SC的中點(diǎn)，所以VS-BDE＝VC-BDE＝VE-BDC＝eq\f(1,3)S△BDC·eq\f(1,2)SA＝eq\f(1,12).B組高考題型專練1.(2022年高考四川卷)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A(1)若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC1A1(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE∥平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論．解析：(1)證明：由于四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.由于AB，AC為平面ABC內(nèi)兩條相交直線，所以AA1⊥平面ABC.由于直線BC?平面ABC，所以AA1⊥BC.又AC⊥BC，AA1，AC為平面ACC1A1內(nèi)兩條相交直線，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)取線段AB的中點(diǎn)M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)O為A1C，由已知可知O為AC1的中點(diǎn)．連接MD，OE，則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，所以MD綊eq\f(1,2)AC，OE綊eq\f(1,2)AC，因此MD綊OE.連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE∥MO.由于直線DE?平面A1MC，MO?平面A1MC.所以直線DE∥平面A1MC，即線段AB上存在一點(diǎn)M(線段AB的中點(diǎn))，使直線DE∥平面A1MC.2．(2022年高考安徽卷)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2eq\r(17)，點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)證明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積．解析：(1)證明：由于BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.(2)連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK.由于PA＝PC，O是AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面內(nèi)，所以PO⊥底面ABCD.又由于平面GEFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.由于平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，從而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，從而KB＝eq\f(1,4)DB＝eq\f(1,2)OB，即K為OB的中點(diǎn)．再由PO∥GK得GK＝eq\f(1,2)PO，即G是PB的中點(diǎn)，且GH＝eq\f(1,2)BC＝4.由已知可得OB＝4eq\r(2)，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(68－32)＝6，所以GK＝3.故四邊形GEFH的面積S＝eq\f(GH＋EF,2)·GK＝eq\f(4＋8,2)×3＝18.3.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱錐C-A1DE的體積．解析：(1)證明：連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1又D是AB中點(diǎn)，連接DF，則BC1∥DF.由于DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由于ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD由已知AC