2022高三一輪復(fù)習(xí)學(xué)案(理數(shù))(人教)第七章-立體幾何與空間向量-第4課時(shí)-直線、平面的平行和垂直

第4課時(shí)直線、平面的平行和垂直考綱索引1.直線與平面平行、垂直.2.平面與平面平行、垂直.課標(biāo)要求1.以立體幾何的定義、公理和定理為動身點(diǎn),生疏和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行、垂直關(guān)系的簡潔命題.學(xué)問梳理1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形a

b

a

條件

結(jié)論

a∩α=

2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件

結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α3.直線與平面垂直定義:假如直線l與平面α的直線都垂直,則直線l與此平面α垂直.

(1)判定直線和平面垂直的方法:①定義法.②利用判定定理:假如一條直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直,則這條直線與這個(gè)平面垂直.

③推論:假如在兩條平行直線中,有一條垂直于平面,那么另一條直線也這個(gè)平面.

(2)直線和平面垂直的性質(zhì):①直線垂直于平面,則垂直于平面內(nèi)直線.

②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線.

③垂直于同始終線的兩平面.

4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法:①定義法.②利用判定定理:假如一個(gè)平面過另一個(gè)平面的,則這兩個(gè)平面相互垂直.

(2)平面與平面垂直的性質(zhì):假如兩平面相互垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的直線垂直于另一個(gè)平面.

基礎(chǔ)自測1.(教材改編)下列條件中,能判定直線l⊥平面α的是().A.l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直B.l與平面α內(nèi)很多條直線垂直C.l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直D.l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直2.設(shè)a,b,c是三條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則a⊥b的一個(gè)充分條件是().A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,b?βC.α⊥a,b∥α D.a⊥α,b⊥α3.(教材改編)給出下列四個(gè)命題:①垂直于同一平面的兩條直線相互平行;②垂直于同一平面的兩個(gè)平面相互平行;③若一個(gè)平面內(nèi)有很多條直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面相互平行;④若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任始終線,那么這條直線垂直于這個(gè)平面.其中真命題的個(gè)數(shù)是().A.1B.2C.3D.4.(課本精選題)已知不重合的直線a,b和平面α.①若a∥α,b?α,則a∥b;②若a∥α,b∥α,則a∥b;③若a∥b,b?α,則a∥α;④若a∥b,a∥α,則b∥α或b?α.上面命題中正確的是.(填序號)

5.(課本改編)過△ABC所在平面α外一點(diǎn)P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,∠C=90°,則點(diǎn)O是邊AB的點(diǎn).

(2)若PA=PB=PC,則點(diǎn)O是△ABC的心.

(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點(diǎn)O是△ABC的心.

指點(diǎn)迷津1.判定定理或性質(zhì)定理使用時(shí),條件要完備.如:證明b∥α?xí)r,不要忽視b?α;用線面平行的性質(zhì)定理時(shí),不要忽視α∩β=b等.2.六個(gè)平行轉(zhuǎn)化關(guān)系:3.六種轉(zhuǎn)化關(guān)系:考點(diǎn)透析考向一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

例1(2022·安徽)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為.點(diǎn)G,E,F,H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點(diǎn),平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.(1)求證:GH∥EF;(2)若EB=2,求四邊形GEFH的面積.【審題視點(diǎn)】利用BC∥平面GEFH,可證得GH∥BC,即可證出GH∥BC.再由PO∥平面GEFH,可證得GK是梯形GEFH的高,由此可求得四邊形GEFH的面積.變式訓(xùn)練1.如圖,在四周體PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).求證:(1)DE∥平面BCP;(2)四邊形DEFG為矩形.(第1題)考向二平面與平面平行的判定與性質(zhì)

例2(2021·山東高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷)如圖,沿等腰直角三角形ABC的中位線DE,將平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱錐A-BCDE.(1)求證:平面ABC⊥平面ACD;(2)過CD的中點(diǎn)M的平面α與平面ABC平行,試求平行α與四棱錐A-BCDE各個(gè)面的交線所圍成的多邊形的面積與△ABC的面積之比.【審題視點(diǎn)】平面翻折后可得AD⊥平面BCDE.依據(jù)α∥平面ABC得出交線位置,可求面積之比.變式訓(xùn)練2.如圖所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體,點(diǎn)E在AA1上,點(diǎn)F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中點(diǎn)(1)E,B,F,D1四點(diǎn)共面;(2)平面A1GH∥平面BED1F(第2題)考向三直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例3(2021·東北三校聯(lián)考)如圖,在四周體ABCD中,O,E分別是BD,BC的中點(diǎn),AB=AD=,CA=CB=CD=BD=2.(1)求證:BD⊥AC;(2)求三棱錐E-ADC的體積.【審題視點(diǎn)】BD⊥AO,BD⊥CO?BD⊥平面AOC?BD⊥AC,AO⊥CO,AO⊥BD?AO⊥平面BDC?VE-ADC.變式訓(xùn)練3.(2022·重慶)在如圖所示四棱錐P-ABCD中,底面是以O(shè)為中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M為BC上一點(diǎn),且BM=.(1)求證:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱錐P-ABMO的體積.(第3題)考向四平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例4(2021·煙臺四校達(dá)標(biāo)檢測)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)(1)求證:平面PAC⊥平面BDD1;(2)求證:PB1⊥平面PAC.【審題視點(diǎn)】(1)利用AC⊥面BDD1;(2)利用計(jì)算關(guān)系PB1⊥PC,PB1⊥PA.【方法總結(jié)】面面垂直的關(guān)鍵是線面垂直.兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù),運(yùn)用時(shí)要留意“平面內(nèi)的直線”.變式訓(xùn)練4.(2021·海濱區(qū)期末練習(xí))在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC∩BD=O.(1)若AC⊥PD,求證:AC⊥平面PBD;(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求證:PB=PD.(第4題)考向五平行與垂直的綜合應(yīng)用

例5(2021·濟(jì)南兩所名校模擬)如圖(1),在梯形BCDE中,BC∥DE,BA⊥DE,且EA=DA=AB=2CB=2,如圖(2),沿AB將四邊形AB-CD折起,使得平面AB-CD與平面ABE垂直,M為CE的中點(diǎn).(1)(2)(1)求證:AM⊥BE;(2)求三棱錐C-BED的體積.【審題視點(diǎn)】取BE中點(diǎn)N,MN∥BC∥DA?MN⊥平面ABE?BE⊥平面AMN?AM⊥BE.【方法總結(jié)】平行與垂直之間的轉(zhuǎn)化常用結(jié)論:①a⊥α,b∥α?a⊥b;②a∥b,a∥α?b⊥a;③a∥β,a∥α?a⊥β;④a⊥α,b∥α?a∥b.變式訓(xùn)練5.如圖,在四周體ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,點(diǎn)E,F分別是AB、BD的中點(diǎn).求證:(1)直線EF∥平面ACD;(2)平面EFC⊥平面BCD.(第5題)經(jīng)典考題典例(2022·北京)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,BC(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求證:C1F∥平面ABE(3)求三棱錐E-ABC的體積.【解題指南】(1)證明BB1⊥AB,從而證得平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)證明四邊形FGEC1為平行四邊形,進(jìn)而可證得C1F∥平面(3)先計(jì)算AB,再求得三棱錐E-ABC的體積.【解】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.又AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)如圖,取AB的中點(diǎn)G,連接EG,FG.由于E,F,G分別是A1C1,BC,AB的中點(diǎn)所以FG∥AC,且.由于AC∥A1C1,且AC=A1C所以FG∥EC1,且FG=EC1,所以四邊形FGEC1為平行四邊形.真題體驗(yàn)1.(2022·湖北)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點(diǎn).求證(1)直線BC1∥平面EFPQ;(2)直線AC1⊥平面PQMN.(第1題)2.(2022·江蘇)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn).已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求證:(1)直線PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.(第2題)

參考答案與解析學(xué)問梳理3.任一(1)相交垂直于(2)全部平行平行4.垂線交線基礎(chǔ)自測1.D2.C3.B4.④5.(1)中(2)外(3)垂考點(diǎn)透析【例1】(1)由于BC∥平面GEFH,BC?平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.同理可證EF∥BC,因此GH∥EF.(2)連接AC,BD交于點(diǎn)O,BD交EF于點(diǎn)K,連接OP,GK.由于PA=PC,O是AC的中點(diǎn),所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.又BD∩AC=O,且AC,BD都在平面ABCD內(nèi),所以PO⊥平面ABCD.又平面GEFH⊥平面ABCD,且PO?平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.由于平面PBD∩平面GEFH=GK,所以PO∥GK.所以GK⊥平面ABCD.又EF?平面ABCD,所以GK⊥EF.變式訓(xùn)練經(jīng)典考題真題體驗(yàn)1.(1)如圖,連接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體知AD1∥BC1.由于F,P分別是AD,DD1的中點(diǎn),所以FP∥AD1.從而BC1∥FP