【八年級下冊數(shù)學(xué)湘教版】第三章 圖形與坐標（壓軸題專練）

第三章圖形與坐標（壓軸題專練）一、選擇題1．（2023上·河南商丘·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，點P為線段外一動點且，以為邊作等邊，則當線段的長取到最大值時，點P的橫坐標為（

）A．1.5 B．2 C．3 D．12．（2023下·福建廈門·七年級?？计谥校τ诮o定的兩點，若存在點，使得三角形的面積等于1，則稱點為線段的“單位面積點”，已知在平面直角坐標系中，為坐標原點．點，，．若將線段沿軸正方向平移個單位長度，使得線段上存在線段的“單位面積點”，則的值可以是（

）A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.53．（2023·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，在正方形中，已知點，．將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)角度后，點的對應(yīng)點恰好落在坐標軸上，則點的對應(yīng)點的坐標為（

）

A．或 B．或或C．或 D．或4．（2023上·全國·九年級專題練習）如圖，把正方形鐵片置于平面直角坐標系中，頂點的坐標為，點在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點按順時針方向依次旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置，…則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)次后，點的坐標為（）A． B． C． D．5．（2023·河南商丘·統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標系中，，，將沿折疊，點O的對應(yīng)點為點C，將沿x軸正方向平移得到，當經(jīng)過點B時，點F的坐標為（

）A． B． C． D．6．（2019上·遼寧撫順·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點B、O分別落在點、處，點在x軸上，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在x軸上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在x軸上，依次進行下去……，若點，．則點的坐標是（

）A． B． C． D．7．（2022下·湖北黃石·七年級黃石八中校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根據(jù)這個規(guī)律探索可得第2019個點的坐標是（

）A．（64，2） B．（64，3） C．（1010，505） D．（2021，2020）8．（2021下·四川廣安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點出發(fā)，向右平移3個單位長度到達點，再向上平移6個單位長度到達點，再向左平移9個單位長度到達點，再向下平移12個單位長度到達點，再向右平移15個單位長度到達點……按此規(guī)律進行下去，該動點到達的點的坐標是（

）A． B． C． D．9．（2021下·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）某校數(shù)學(xué)課外小組，在坐標紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第棵樹種植在點處，其中，，當時，，表示非負實數(shù)的整數(shù)部分，例如，．按此方案，第2021棵樹種植點的坐標為（

）．A． B． C． D．10．（2021下·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一只螞蟻從原點O出發(fā)向右移動1個單位長度到達點P1；然后逆時針轉(zhuǎn)向90°移動2個單位長度到達點P2；然后逆時針轉(zhuǎn)向90°，移動3個單位長度到達點P3；然后逆時針轉(zhuǎn)向90°，移動4個單位長度到達點P4；…，如此繼續(xù)轉(zhuǎn)向移動下去．設(shè)點Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，則x1+x2+x3+…+x2021＝（）A．1 B．﹣1010 C．1011 D．202111．（2021下·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的頂點A（﹣3，0），B在x軸的負半軸上，頂點C（﹣1，3），D在第二象限內(nèi)，對角線AC與BD的交點為M．將矩形ABCD沿x軸正方向滾動（無滑動），使其一邊保持落在x軸上，點M的對應(yīng)點分別為M1，M2，M3，…，則M2021的坐標為（）A．（5050，1） B．（5050，）C．（5050，1） D．（5050，）12．（2021下·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系上有點A（1，﹣1），點A第一次向左跳動至A1（﹣1，0），第二次向右跳動至A2（2，0），第三次向左跳動至A3（﹣2，1），第四次向右跳動至A4（3，1）…依照此規(guī)律跳動下去，點A第9次跳動至A9的坐標（）A．（﹣5，4） B．（﹣5，3） C．（6，4） D．（6，3）二、填空題13．（2024上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，點，，在軸正半軸上，點，，在射線上，，若，且，，均為等邊三角形，則線段的長度為_________14．（2023上·北京東城·八年級東直門中學(xué)?？计谥校┤鐖D，長方形中，，，以長方形的頂點D為坐標原點，邊所在的直線為x軸建立如圖所示坐標系，在長方形的對稱軸上存在點，使得、、、均為等腰三角形．請寫出一個符合的點P坐標：_________；滿足條件的點P共有_____個．15．（2023上·四川成都·九年級成都市樹德實驗中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別是．點P到的距離定義如下：點Q為三邊上的動點，當最小時，我們稱此時的長度為點P到的距離，記為．已知矩形的四個頂點依次是，若點P在矩形的四條邊上，則滿足的點P有______個．16．（2023下·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，直線與x軸的夾角為30°，點在x軸上，且，過點作交于點，以為邊在右側(cè)作等邊三角形；過點作的垂線分別交x軸、干點、，以為邊在的右側(cè)作等邊三角形，過點作的垂線分別交x軸、于點、，以，為邊在的右側(cè)作等邊三角形，…，按此規(guī)律進行下去，則點的縱坐標為______，點的縱坐標為______．

17．（2023下·廣東汕頭·八年級汕頭市潮陽實驗學(xué)校校考期中）如圖，矩形的頂點在軸上，點的坐標為，點在邊上，沿翻折后點恰好落在軸上點處，若為等腰三角形，點的坐標為____________．18．（2023下·廣東梅州·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，點D的坐標為，，將旋轉(zhuǎn)到的位置，點在上，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標為____．19．（2023·四川成都·成都七中?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點并且平行于x軸的直線記作直線y=m．給出如下定義：點先關(guān)于直線對稱得到點，再將點關(guān)于直線對稱得點，則稱點為點P關(guān)于直線和直線的二次對稱點．若點關(guān)于直線對稱得到點，點為點C關(guān)于直線和直線的二次對稱點，當是直角三角形時，則______．

20．（2023·山東菏澤·菏澤市牡丹區(qū)第二十二初級中學(xué)校考一模）在平面直角坐標系中一組菱形，，，，…按如圖方式放置，已知點，，，…，，點，，，…，，則菱形的面積為______．

三、解答題21．（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知，實數(shù)m，n，t滿足．(1)求m，n，t的值；(2)如圖，在平面直角坐標系中，A，B都是y軸正半軸上的點，C，D都是x軸正半軸上的點（點D在C右邊），，．①如圖（1），若點A與B重合，，求B點的坐標；②如圖（2），若點A與B不重合，，，直接寫出的面積．22．（2023上·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，，點是軸正半軸上一動點.(1)求證：軸是線段的垂直平分線；(2)以為邊作等邊，點在第一象限，作射線交軸于點，設(shè)；若，求的度數(shù)(用含有的式子表示)；探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．23．（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，已知兩點，．(1)若a，b滿足．①直接寫出的周長；②P在第一象限內(nèi)，若為等腰直角三角形，直接寫出點P的坐標，(2)如圖2，C是x軸上點A右側(cè)的動點，D在第一象限內(nèi)，滿足．①探究三條線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②設(shè)與的面積的比值為k，直接寫出k的取值范圍．24．（2023上·福建莆田·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點在軸上，點在軸上，，．

(1)如圖1，求點的坐標；(2)如圖2，若點在第一象限且滿足，線段交軸于點，求線段的長；(3)如圖3，在（2）的條件下，若在第四象限有一點，滿足．請?zhí)骄恐g的數(shù)量關(guān)系．25．（2023上·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校校考期末）在平面直角坐標系中，已知點，點，連接，平分交于點C，點E為x軸上一動點．

(1)如圖1，過點E作交于點D，若點D為中點，且，，求的長度；(2)如圖2，連接，過點C作且，交x軸于點F，連接，若，，求的值；(3)如圖3，連接，過點A作交的延長線于點N，交y軸于點M，連接，若，，求證：．26．（2023上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點坐標為，點坐標為，以為邊作長方形．點是邊上一點（不與點、點重合），連接，以為直角邊在第一象限作，其中．(1)當點的坐標為時，求點的坐標；(2)連接，當為等腰三角形時，請直接寫出點的橫坐標．（提示：若等腰直角三角形的直角邊長為，根據(jù)勾股定理可求得斜邊長為）27．（2023上·湖北武漢·八年級期末）如圖,直線交軸于點,交軸于點,且滿足.(1)如圖1,若點的坐標為，過點A作于點,交于點,求點的坐標;(2)在（1）的條件下，連接,求的度數(shù);(3)如圖2,若點為的中點,點為軸正半軸上一動點,連接,過作交軸于點,當點在運動過程中,式子的值是否發(fā)生變化?若不變,求出該式子的值.28．（2023上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，已知，，，且已知．

(1)求證：；(2)如圖①，過x軸上一點作于E，交y軸于點F．①求證：；②求F點的坐標；(3)將沿x軸向左平移，邊與y軸交于一點P（P不同于A和C兩點），過P作一直線與的延長線交于Q點，與x軸交于點M，且，在平移過程中，求證：．29．（2023上·湖北黃石·八年級?？茧A段練習）如圖1，點A、D在y軸正半軸上，點B、C在x軸上，平分與y軸交于D點，．(1)求證：；(2)如圖2，點C的坐標為，點E為AC上一點，且，求的長；(3)在（1）中，過D作于F點，點H為上一動點，點G為上一動點．（如圖（3），當H在上移動，點G點在上移動時，始終滿足，試判斷這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明．30．（2023上·湖南長沙·八年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，A點在第二象限、坐標為．

(1)若關(guān)于的多項式是完全平方式，直接寫出點A的坐標：________；(2)如圖1，為等腰直角三角形．分別以和為邊作等邊和等邊，連接，；①若，求的長；②求的度數(shù)．(3)如圖2，過點A作軸于點，點為軸正半軸上一點，為延長線上一點，以為直角邊作等腰直角三角形，，過點A作軸交于點，連接．試猜想線段，和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．31．（2023上·江西南昌·八年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，，，，滿足，點與點關(guān)于軸對稱．(1)直接寫出，兩點的坐標；(2)如圖1，分別以為直角邊向右側(cè)作等腰和等腰，連接交軸于點，連接．①求出D，兩點的坐標；②求證：；(3)如圖2，點為軸上一動點，點在直線上，以為直角邊向右側(cè)作等腰，若連接，，三點恰好圍成一個等腰直角三角形，請直接寫出的值．

第三章圖形與坐標（壓軸題專練）答案全解全析一、選擇題1．（2023上·河南商丘·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，點P為線段外一動點且，以為邊作等邊，則當線段的長取到最大值時，點P的橫坐標為（

）A．1.5 B．2 C．3 D．1【答案】A【分析】以為邊作等邊，連接，然后證明得，從而可判斷當N，A，B三點共線時，最大，即最大，然后利用等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】如圖1，以為邊作等邊，連接，

由題意，∴，∴，∴，∵，∴當N，A，B三點共線時，最大，即最大，如圖2，過P作軸，垂足為T，∵是等邊三角形，，∴，∵點A的坐標為，∴．∵，∴，∴，∴點P的橫坐標為1.5．當P在x軸下方時，同上可求點P的橫坐標為1.5．故選：A．2．（2023下·福建廈門·七年級?？计谥校τ诮o定的兩點，若存在點，使得三角形的面積等于1，則稱點為線段的“單位面積點”，已知在平面直角坐標系中，為坐標原點．點，，．若將線段沿軸正方向平移個單位長度，使得線段上存在線段的“單位面積點”，則的值可以是（

）A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5【答案】A【分析】設(shè)線段上存在線段的“單位面積點”是，分兩種情況進行討論：線段在線段的下方；線段在線段的上方，分別求解即可．【詳解】解：設(shè)線段上存在線段的“單位面積點”是，如圖，，當線段在線段的下方時，此時，點，，，，，，，點到的距離為，可將線段沿軸正方向平移個單位長度，沿軸正方向平移，，，當線段在線段的上方時，此時，同理可得：點到的距離為，可將線段沿軸正方向平移，即，綜上所述，的取值范圍為：或，的值可以是0.5，故選：A．3．（2023·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，在正方形中，已知點，．將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)角度后，點的對應(yīng)點恰好落在坐標軸上，則點的對應(yīng)點的坐標為（

）

A．或 B．或或C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分三種情況進行討論：①點對應(yīng)點恰好落在軸正半軸上時；②點對應(yīng)點恰好落在軸負半軸上時；③點對應(yīng)點恰好落在軸負半軸上時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)可得點的對應(yīng)點的坐標．【詳解】解：，，軸，，四邊形是正方形，且點、在上方，，，，，當正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)角度后，①點對應(yīng)點恰好落在軸正半軸上時，如圖，，，，，，，，在和中，，，，，，點的對應(yīng)點的坐標為；②點對應(yīng)點恰好落在軸負半軸上時，如圖，，此時，，點的對應(yīng)點的坐標為，③點對應(yīng)點恰好落在軸負半軸上時，如圖，同①可知，，，，點的對應(yīng)點的坐標為，綜上所述：點的對應(yīng)點的坐標為或或，故選：B．4．（2023上·全國·九年級專題練習）如圖，把正方形鐵片置于平面直角坐標系中，頂點的坐標為，點在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點按順時針方向依次旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置，…則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)次后，點的坐標為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】按照題意，連接右下角軸上的點與，如圖所示，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)逐步求出各個位置時點的坐標，找到循環(huán)規(guī)律求解即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：

點，點，，則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，第一次；如圖所示：

，，則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，第二次，如圖所示：

，，則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，第三次，如圖所示：

，，則由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，第四次，…數(shù)形結(jié)合，發(fā)現(xiàn)點的位置4次一個循環(huán)，，∵，的縱坐標與相同為，橫坐標為，∴，故選：C．5．（2023·河南商丘·統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標系中，，，將沿折疊，點O的對應(yīng)點為點C，將沿x軸正方向平移得到，當經(jīng)過點B時，點F的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，過C點作于點M，根據(jù)平移有：，根據(jù)翻轉(zhuǎn)可知：，即證明，則有，即，在中，，即可求出，即，根據(jù)對稱有：，即有，可得，根據(jù)，，可得，即，則有，根據(jù)平移可知：點C向右平移得到點F，即可求解．【詳解】連接，過C點作于點M，如圖，根據(jù)平移有：，∴，根據(jù)翻轉(zhuǎn)，可知：，，，∴，∴，∴，即，∵，，∴，，∴，，，，∵在中，，∴，∴，即，根據(jù)對稱，點O的對應(yīng)點為點C，有：，∴，∵，∴，即，∵，∴在中，，在中，，∴，∴解得：，即，∴，∵，∴根據(jù)平移可知：點C向右平移得到點F，∴，∴，故選：A．6．（2019上·遼寧撫順·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點B、O分別落在點、處，點在x軸上，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在x軸上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在x軸上，依次進行下去……，若點，．則點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)已知求出三角形三邊長度，然后通過旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)，…，由圖象可知點在x軸上，，根據(jù)這個規(guī)律可以求得的坐標．【詳解】解：由圖象可知點在x軸上，，，，，，．故選C．7．（2022下·湖北黃石·七年級黃石八中校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根據(jù)這個規(guī)律探索可得第2019個點的坐標是（

）A．（64，2） B．（64，3） C．（1010，505） D．（2021，2020）【答案】A【分析】把第一個點（1，0）作為第一列，（2，1）和（2,0）作為第二列，以此類推，第一列有1個點，第二列有2個點，…第n列有n個點，可得前n列共有個點，第n列最下面的點的坐標為（n，0），由此可得第2016個點的坐標為（63，0），最后根據(jù)規(guī)律解答第2019個點即可．【詳解】解：把第一個點（1，0）作為第一列，（2，1）和（2,0）作為第二列，以此類推，第一列有1個點，第二列有2個點，…第n列有n個點，前n列共有個點，第n列最下面的點的坐標為（n，0）第2016個點的坐標為（63，0）第2017個點的坐標為（64，0）第2018個點的坐標為（64，1）第2019個點的坐標為（64，2）故選：A．8．（2021下·四川廣安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點出發(fā)，向右平移3個單位長度到達點，再向上平移6個單位長度到達點，再向左平移9個單位長度到達點，再向下平移12個單位長度到達點，再向右平移15個單位長度到達點……按此規(guī)律進行下去，該動點到達的點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），???，探究規(guī)律可得A2021（3033，-3030），從而求解．【詳解】解：由題意A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），???，可以看出，9=，15=，21=，得到規(guī)律：點A2n+1的橫坐標為，其中的偶數(shù)，點A2n+1的縱坐標等于橫坐標的相反數(shù)+3，，即，故A2021的橫坐標為，A2021的縱坐標為，∴A2021（3033，-3030），故選：C．9．（2021下·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）某校數(shù)學(xué)課外小組，在坐標紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第棵樹種植在點處，其中，，當時，，表示非負實數(shù)的整數(shù)部分，例如，．按此方案，第2021棵樹種植點的坐標為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)所給的xk、yk的關(guān)系式找到種植點的橫坐標和縱坐標的變化規(guī)律，然后將2021代入求解即可．【詳解】解：由題意可知，，，，，……，將以上等式相加，得：，當k=2021時，；，，，，……，將以上等式相加，得：，當k=2021時，，∴第2021棵樹種植點的坐標為，故選：A．10．（2021下·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一只螞蟻從原點O出發(fā)向右移動1個單位長度到達點P1；然后逆時針轉(zhuǎn)向90°移動2個單位長度到達點P2；然后逆時針轉(zhuǎn)向90°，移動3個單位長度到達點P3；然后逆時針轉(zhuǎn)向90°，移動4個單位長度到達點P4；…，如此繼續(xù)轉(zhuǎn)向移動下去．設(shè)點Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，則x1+x2+x3+…+x2021＝（）A．1 B．﹣1010 C．1011 D．2021【答案】A【分析】根據(jù)各點橫坐標數(shù)據(jù)得出規(guī)律，進而得出；經(jīng)過觀察分析可得每4個數(shù)的和為，把2020個數(shù)分為505組，求出，即可得到相應(yīng)結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)平面坐標系結(jié)合各點橫坐標得出：、、、、、、、的值分別為：1，1，，，3，3，，；，，，，，，，，，故選：A．11．（2021下·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的頂點A（﹣3，0），B在x軸的負半軸上，頂點C（﹣1，3），D在第二象限內(nèi)，對角線AC與BD的交點為M．將矩形ABCD沿x軸正方向滾動（無滑動），使其一邊保持落在x軸上，點M的對應(yīng)點分別為M1，M2，M3，…，則M2021的坐標為（）A．（5050，1） B．（5050，）C．（5050，1） D．（5050，）【答案】A【分析】先求出的坐標為，，的坐標為，，的坐標為，，的坐標為，，的坐標為，，根據(jù)此規(guī)律寫出的坐標即可．【詳解】解：矩形的頂點，頂點，的坐標為，，的坐標為，，的坐標為，，的坐標為，，的坐標為，，的坐標為，．故選：A．12．（2021下·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系上有點A（1，﹣1），點A第一次向左跳動至A1（﹣1，0），第二次向右跳動至A2（2，0），第三次向左跳動至A3（﹣2，1），第四次向右跳動至A4（3，1）…依照此規(guī)律跳動下去，點A第9次跳動至A9的坐標（）A．（﹣5，4） B．（﹣5，3） C．（6，4） D．（6，3）【答案】A【分析】通過圖形觀察發(fā)現(xiàn)，第奇數(shù)次跳動至點的坐標，橫坐標是次數(shù)加上1的一半的相反數(shù)，縱坐標是次數(shù)減去1的一半，然后寫出即可．【詳解】如圖，觀察發(fā)現(xiàn)，第1次跳動至點的坐標（-1,0）即（，），第3次跳動至點的坐標（-2,1）即（，），第5次跳動至點的坐標（，）即（-3,2），……第9次跳動至點的坐標（，）即（-5,4），故答案選A．二、填空題13．（2024上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，，在軸正半軸上，點，，在射線上，，若，且，，均為等邊三角形，則線段的長度為_________【答案】【分析】由得出，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，由三角形外角的定義及性質(zhì)得出，從而得到，，進而得出，同理可得，，從而得出，即可得解．【詳解】解：，，是等邊三角形，，，點，，在射線上，，，，，，，，同理可得：，，同理可得：，…，，，故答案為：．14．（2023上·北京東城·八年級東直門中學(xué)校考期中）如圖，長方形中，，，以長方形的頂點D為坐標原點，邊所在的直線為x軸建立如圖所示坐標系，在長方形的對稱軸上存在點，使得、、、均為等腰三角形．請寫出一個符合的點P坐標：__________；滿足條件的點P共有_____個．【答案】5【分析】設(shè)直線交于點，交于點，先確定，，則點的縱坐標為1，再分三種情況討論，一是點為的中點，則；二是是等腰三角形，且，點在線段上，由勾股定理得，則，所以；若點在線段的延長線上，則；三是是等腰三角形，且，點在線段上，則，此時，若點在線段的延長線上，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：直線是矩形的對稱軸，且與、相交，直線垂直平分且垂直平分，直線上的所有點都滿足、，且直線軸，和是等腰三角形，且只要是等腰三角形，則也是等腰三角形，如圖1，設(shè)直線交于點，交于點，，，，，，，點的縱坐標為1，當點為的中點時，則點在矩形的另一條對稱軸上，，，和都是等腰三角形，此時，；如圖2，是等腰三角形，且，點在線段上，，，，，，；若點在線段的延長線上，則，；如圖3，是等腰三角形，且，點在線段上，，，，，若點在線段的延長線上，則，綜上所述，滿足條件的點共有5個，故答案為：，5．15．（2023上·四川成都·九年級成都市樹德實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別是．點P到的距離定義如下：點Q為三邊上的動點，當最小時，我們稱此時的長度為點P到的距離，記為．已知矩形的四個頂點依次是，若點P在矩形的四條邊上，則滿足的點P有______個．

【答案】5【分析】分點在，，，上，四種情況進行求解即可．【詳解】解：如圖：

∵，，∴軸，，∴，，①當點在線段上，點與點重合時，，∵，∴，滿足題意；當點往下移動至點時，逐漸變小至，不存在；當點繼續(xù)往下移動至點時，，當時，；②當點在上時，，不存在；③當點在上時，當，，存在兩個點，使；④當點在上時，作交于點，此時，符合題意；綜上，滿足的點P有5個；故答案為：5．16．（2023下·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，直線與x軸的夾角為30°，點在x軸上，且，過點作交于點，以為邊在右側(cè)作等邊三角形；過點作的垂線分別交x軸、干點、，以為邊在的右側(cè)作等邊三角形，過點作的垂線分別交x軸、于點、，以，為邊在的右側(cè)作等邊三角形，…，按此規(guī)律進行下去，則點的縱坐標為______，點的縱坐標為______．

【答案】【分析】根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)，求出，，，…，可得點，，的縱坐標，從而得的縱坐標，即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴的邊長，，∴點的縱坐標為，∵等邊三角形，∴，，∵，∴，∴軸，∴，∵，∴，，∴，∴點的縱坐標為，同理得：，∴，∴點的縱坐標為，…，∴點的縱坐標為，∴點的縱坐標為，故答案為：，．17．（2023下·廣東汕頭·八年級汕頭市潮陽實驗學(xué)校?？计谥校┤鐖D，矩形的頂點在軸上，點的坐標為，點在邊上，沿翻折后點恰好落在軸上點處，若為等腰三角形，點的坐標為____________．

【答案】或或【分析】解：如圖，為等腰三角形，當，，可得，從而可得答案；當時，如圖，則，，從而可得答案；當時，如圖，設(shè)，，建立方程，從而可得答案．【詳解】解：如圖，為等腰三角形，當，，

∴，，∴，∴，當時，如圖，則，

∴，∴；當時，如圖，設(shè)，∴，

∴，解得：，∴，∴；綜上：或或．故答案為：或或．18．（2023下·廣東梅州·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，點D的坐標為，，將旋轉(zhuǎn)到的位置，點在上，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標為____．

【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，與的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心P，連接，，，過P作軸于F，證明并求出的長，然后求出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半可得，利用勾股定理列式求出，再求出，即可得到點P，即旋轉(zhuǎn)中心的坐標．【詳解】解：如圖，與的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心P，與，的交點分別為，，

連接，，，過P作軸于F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，而，，∴，∴，∴，都是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，，∵點，∴．故答案為：．19．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點并且平行于x軸的直線記作直線y=m．給出如下定義：點先關(guān)于直線對稱得到點，再將點關(guān)于直線對稱得點，則稱點為點P關(guān)于直線和直線的二次對稱點．若點關(guān)于直線對稱得到點，點為點C關(guān)于直線和直線的二次對稱點，當是直角三角形時，則______．

【答案】【分析】表示出點和點的坐標，再利用勾股定理列方程即可解答．【詳解】解：點關(guān)于直線對稱得到點，，設(shè)，點為點C關(guān)于直線和直線的二次對稱點，，得，，當是直角三角形時，只存在一種情況，，可得方程，解得，故答案為：．20．（2023·山東菏澤·菏澤市牡丹區(qū)第二十二初級中學(xué)?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵幸唤M菱形，，，，…按如圖方式放置，已知點，，，…，，點，，，…，，則菱形的面積為______．

【答案】9【分析】先求出以及的長度，根據(jù)菱形的面積公式即可得出答案．【詳解】解：∵，，點，，∴，∵菱形，，∴的中點坐標為，由菱形的對角線互相平分可得：，∴，，同理可得：，，根據(jù)此規(guī)律可得，又∵，，∴，∴菱形的面積為，故答案為：9．三、解答題21．（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知，實數(shù)m，n，t滿足．(1)求m，n，t的值；(2)如圖，在平面直角坐標系中，A，B都是y軸正半軸上的點，C，D都是x軸正半軸上的點（點D在C右邊），，．①如圖（1），若點A與B重合，，求B點的坐標；②如圖（2），若點A與B不重合，，，直接寫出的面積．【答案】(1)，，；(2)①B點的坐標為；②的面積為5．【分析】（1）利用非負數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）①由，求得，過點D作交的延長線于點，交y軸于點，證明是等腰直角三角形，推出，得到，再證明，據(jù)此求解即可；②過點D作交的延長線于點，交y軸于點，同理，證明，推出，，得到，求得，再利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，，，∴，，，∴，，；（2）解：①∵點A與B重合，，，∴，∴，∵，∴，過點D作交的延長線于點，交y軸于點，如圖，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴B點的坐標為；②過點D作交的延長線于點，交y軸于點，如圖，∵，，∴，∵，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，，∴，設(shè)，∵，∴，，∴，解得，即，∴，∴的面積=．22．（2023上·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，，點是軸正半軸上一動點.(1)求證：軸是線段的垂直平分線；(2)以為邊作等邊，點在第一象限，作射線交軸于點，設(shè)；若，求的度數(shù)(用含有的式子表示)；探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)①；②，證明見解析【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）由點，得出，結(jié)合軸，即可得出答案；（2）①由（1）可得：軸是線段的垂直平分線，，，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，從而得出，，最后由等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理計算即可得出答案；②延長至，使，連接、，證明即可得出答案．【詳解】（1）證明：點，，，軸，軸是線段的垂直平分線；（2）解：①如圖，由（1）可得：軸是線段的垂直平分線，，，是等邊三角形，，，，，，，；②，證明：如圖，延長至，使，連接、，，則垂直平分，，由（1）可得：軸是線段的垂直平分線，，，是等邊三角形，，，，由①可得：，，，，，是等邊三角形，，軸是線段的垂直平分線，，，，，，，，，．23．（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，已知兩點，．(1)若a，b滿足．①直接寫出的周長；②P在第一象限內(nèi)，若為等腰直角三角形，直接寫出點P的坐標，(2)如圖2，C是x軸上點A右側(cè)的動點，D在第一象限內(nèi)，滿足．①探究三條線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②設(shè)與的面積的比值為k，直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)①；②或或；(2)①；②【分析】1）①首先根據(jù)絕對值和平方的非負性求出，，然后利用勾股定理求出，進而求解即可；②根據(jù)題意分3種情況討論：①，；②，；③，，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①在上截取，連接，首先證明出是等邊三角形，得到，，然后證明出，得到，求出，進而求解即可；②首先證明出是等邊三角形，得到，然后得到當點C和點A重合時，，過點D作，此時的長度最小，得到，然后證明出，得到，進而求出．【詳解】（1）①∵∴∴，∴，，∵，∴，∴，∵∴∴的周長；②如圖所示，當，時，過點P作軸，∵∴∵∴∴∵，∴∴，∴∴點P的坐標為；如圖所示，當，時，過點P作軸，同理可證，∴，∴∴點P的坐標為；如圖所示，當，時，過點P作軸，軸，同理可證，∴，根據(jù)題意可得，四邊形是正方形∴∴∴∴∴∴∴點P的坐標為，綜上所述，點P的坐標為或或；（2）①如圖所示，在上截取，連接，∵∴∴∵∴△CAE是等邊三角形∴，又∵∴∴∵，∴∴；②由①可得，，∴∵∴是等邊三角形∵∵C是x軸上點A右側(cè)的動點，∴∴在中，∴如圖所示，當點C和點A重合時，，過點D作，∴此時的長度最小，∴點H是的中點，∴∵，，∴∴∴∴∵C是x軸上點A右側(cè)的動點，∴∴．24．（2023上·福建莆田·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點在軸上，點在軸上，，．(1)如圖1，求點的坐標；(2)如圖2，若點在第一象限且滿足，線段交軸于點，求線段的長；(3)如圖3，在（2）的條件下，若在第四象限有一點，滿足．請?zhí)骄恐g的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，，(2)(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)，，在中，有：，進而有，問題隨之得解；（2）求出，即，可得，接著求出，證明，即有，可得，得出，進而有，可得，即有，問題隨之得解；（3）由（2）可知：，可得，進而有，延長至F，使，連接，過A點作于M點，根據(jù)，即有，進一步有，即可證明，接著證明，問題隨之得解．【詳解】（1）解：∵，，∴在中，有：，∴，∵，∴，∴，，；（2）解：∵，，∴在中，，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，即，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴在中，；（3）解：，理由如下：由（2）可知：，∵，，∴，∴，∴，延長至F，使，連接，過A點作于M點，如圖，

∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，，∴∴，∴，即．25．（2023上·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校校考期末）在平面直角坐標系中，已知點，點，連接，平分交于點C，點E為x軸上一動點．(1)如圖1，過點E作交于點D，若點D為中點，且，，求的長度；(2)如圖2，連接，過點C作且，交x軸于點F，連接，若，，求的值；(3)如圖3，連接，過點A作交的延長線于點N，交y軸于點M，連接，若，，求證：．【答案】(1)1(2)8(3)見解析【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由三角形中位線定理可求，，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求，即可求解；（2）由“”可證，可得，由面積和差關(guān)系可求解；（3）由，可得，，由，可得，由，可得，即可得．【詳解】（1）解：如圖1，取的中點，連接，點，點，，，點為中點，點是的中點，，，，，平分，，，，是等腰直角三角形，，；（2）解：∵，，∴，，，又平分，，，，，，，，，；（3）證明：如圖3，過點作交軸于，軸于，，，是等腰直角三角形，，，，，∵，，，，，，，，，，，∵，∴，過點N作軸于點P，則，軸∴，∵，，∴，，又∵，∵，，∴∴∴∵，，，，，．26．（2023上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點坐標為，點坐標為，以為邊作長方形．點是邊上一點（不與點、點重合），連接，以為直角邊在第一象限作，其中．(1)當點的坐標為時，求點的坐標；(2)連接，當為等腰三角形時，請直接寫出點的橫坐標．（提示：若等腰直角三角形的直角邊長為，根據(jù)勾股定理可求得斜邊長為）【答案】(1)(2)3或或【分析】（1）過點作于點，利用點的坐標表示出線段的長度，利用直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到，求出線段的長度，則結(jié)論可得；（2）設(shè)點的坐標為，則，過點作于點，延長交于點，利用(1)的結(jié)論得到，，利用矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理求得和，再利用分類討論的思想方法得到關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：點坐標為，，點的坐標為，過點作于點，如圖，，，，，，在和中．，，，則，故點E的坐標為．（2）設(shè)點的坐標為，則，過點作于點，延長交于點，如圖，由（1）知∶，，，四邊形為矩形，，，，四邊形為矩形，，，，，當為等腰三角形時，①時，，，，(不合題意，舍去)或②時，，，，，(不合題意，舍去)或．③時，，，，，綜上，點的橫坐標為或6或3．27．（2023上·湖北武漢·八年級期末）如圖,直線交軸于點,交軸于點,且滿足.(1)如圖1,若點的坐標為，過點A作于點,交于點,求點的坐標;(2)在（1）的條件下，連接,求的度數(shù);(3)如圖2,若點為的中點,點為軸正半軸上一動點,連接,過作交軸于點,當點在運動過程中,式子的值是否發(fā)生變化?若不變,求出該式子的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值和完全平方的非負性，先求出a、b，再證明，即可得到；（2）過O分別作于M點，作于N點，先利用證明，則有，即可求解；（3）連接，根據(jù)D為的中點，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知，再利用證明，則有，進而可知即可求解．【詳解】（1）解：把整理得：解得，即在與中，則；（2）解：過O分別作于M點，作于N點，如圖在四邊形中，在與中，平分（3）解：的值不發(fā)生改變，等于5，理由如下：連接，如圖所示：，D為的中點，，即，在與中，．28．（2023上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，已知，，，且已知．(1)求證：；(2)如圖①，過x軸上一點作于E，交y軸于點F．①求證：；②求F點的坐標；(3)將沿x軸向左平移，邊與y軸交于一點P（P不同于A和C兩點），過P作一直線與的延長線交于Q點，與x軸交于點M，且，在平移過程中，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析，②(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求得的值，即可得出的坐標，進而求得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊對等角即可得證；（2）①證明，得出，可得結(jié)論；②由①的結(jié)論可得；（3）過點作交于點，證明，得出，根據(jù)，得出，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（2）①如圖，∵，∴，∴，∵，∴平分，∴，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，∵∴，②∵，，∴；（3）過點作交于點，則，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴∴，∵，∴，∴．29