湖南省衡陽市第八名校2024屆高三上學(xué)期第一次模擬測試數(shù)學(xué)試題

湖南省衡陽市第八名校2024屆高三上學(xué)期第一次模擬測試數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合A={x|?1≤x≤1}，B={x|y=lg(2x?1)}A．{x|?1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1}C．{x|?1≤x≤0} D．{x|0<x≤1}2．為了得到函數(shù)y=sin(2x?πA．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)縮短到原來的12C．縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)縮短到原來的123．已知兩個單位向量e1與e2的夾角為π3，若a=e1+A．?12 B．12 C．4．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3=7，S6=63，若關(guān)于A．12 B．16 C．24 D．365．已知直線l的傾斜角α滿足120°<α≤135°A．[?1，?3C．(?3，?1]6．若復(fù)數(shù)1+ai1?i2023A．-1 B．0 C．1 D．27．已知△ABC中，AC=1，AB=2，BC=3，在線段AB上取一點(diǎn)M，連接CM，如圖①所示．將△ACM沿直線CM折起，使得點(diǎn)A到達(dá)A'的位置，此時△BCM內(nèi)部存在一點(diǎn)N，使得A'A．25 B．35 C．48．若函數(shù)f(x)=ax+bx在(0A．a(chǎn)=ln1.1，b=10 C．a(chǎn)=e0.2，b=0.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9．定義在D上的函數(shù)f(x)，如果滿足：存在常數(shù)M>0，對任意x∈D，都有|f(x)|≤M成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，下列函數(shù)中，是在其定義域上的有界函數(shù)的有（）A．y=2B．y=C．y=D．y=x?[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）10．將一枚質(zhì)地均勻且標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的骰子隨機(jī)擲兩次，記錄每次正面朝上的數(shù)字，甲表示事件“第一次擲出的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次擲出的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是7”.則（）A．事件甲與事件丙為互斥事件B．事件甲與事件丁是相互獨(dú)立事件C．事件乙包含于事件丙D．事件丙與事件丁是對立事件11．已知點(diǎn)F是拋物線C：x2=8y，直線l經(jīng)過點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，且A．AFB．直線l的斜率是±C．|AB|=9D．設(shè)原點(diǎn)為O，則△OAB的面積為2612．已知函數(shù)f(x)=x?tanx，x∈{x|0<x<5π2，x≠πA．當(dāng)x∈(0，π2)時，C．若x2>x1，則三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．已知(1+x)8=14．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知3S315．已如圓臺的高為2，上底面圓O1的半徑為2，下底面圓O2的半徑為4，A，B兩點(diǎn)分別在圓O1、圓O2上，若向量O1A與向量O216．如圖，在矩形ABCD中，|AB|=2|AD|，A1，A2分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，M，N分別為線段A2C（不含端點(diǎn)）和AD上的動點(diǎn)，滿足|MA2||CD|=|DN||AD|四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知數(shù)列{an}（1）求數(shù)列{a（2）若bn=log2an18．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，（1）求角A的大??；（2）若b+c=6，點(diǎn)D在邊BC上，且AD平分∠BAC，求AD的長度.19．如圖，已知五面體ABCDE，其中△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC．（1）證明：AD⊥BC；（2）若AB=4，BC=2，且二面角A?BD?C所成角θ的正切值是2，試求該幾何體ABCDE的體積．20．某市在200萬成年人中隨機(jī)抽取了100名成年市民進(jìn)行平均每天讀書時長調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制市民平均每天讀書時長的頻率分布直方圖（如圖），將平均每天讀書時長不低于1.5小時的市民稱為“閱讀愛好者”，并將其中每天讀書時長不低于2.（1）試估算該市“閱讀愛好者”的人數(shù)，并指出其中“讀書迷”約為多少人；（2）省某機(jī)構(gòu)開展“儒城”活動評選，規(guī)則如下：若城市中5500的成年人平均每天讀書時長不低于a小時，則認(rèn)定此城市為“儒城”．若該市被認(rèn)定為“儒城”，則評選標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)滿足什么條件？（精確到（3）該市要成立“墨葫蘆”讀書會，吸納會員不超過20萬名．根據(jù)調(diào)查，如果收取會費(fèi)，則非閱讀愛好者不愿意加入讀書會，而閱讀愛好者愿意加入讀書會．為了調(diào)控入會人數(shù)，設(shè)定會費(fèi)參數(shù)x(x>1)，適當(dāng)提高會費(fèi)，這樣“閱讀愛好者”中非“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會減少10lnx00，“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會減少10ln21．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F（1）求雙曲線C的方程；（2）若|AF1|=4（3）若M(?2，0)，試問：是否存在直線l22．已知函數(shù)f(x)=ke（1）判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)；（2）當(dāng)k=1時，若對x∈[0，1]，函數(shù)F(x)=x+1f(x)+x+1?2x

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由y=lg(2x?1)可知2故答案為：D.

【分析】解出集合B，利用交集計算即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：為了得到函數(shù)y=sin(2x?π故答案為：B.

【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.3．【答案】C【解析】【解答】解：兩個單位向量e1與e2的夾角為π3，

則e→1=e→2，e→1·e→故答案為：C.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.4．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，則S3=a11-q31-q=7，S6=a11-q61-q=63，

解得q=2，a1=1，∴an=2n-1，S2n=22n-1，∴關(guān)于n的不等式S2n?tan+33≥0，

故答案為：C.

【分析】由等比數(shù)列的前n項和公式列出關(guān)于a1和公比q的方程，解出a1，q，即可寫出an與S2n，再將不等式S2n?ta5．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)函數(shù)k=tanα的單調(diào)性，可知k的取值范圍是(?3故答案為：C.

【分析】直接利用直線的傾斜角的范圍求出斜率的范圍.6．【答案】A【解析】【解答】解：因為1+ai1?i2023=1+ai故答案為：A.

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則以及純虛數(shù)的定義求解即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)題意，連接MN，因為A'N⊥平面BCM，CN，MN?平面BCM，

所以A'N⊥CN，A'N⊥MN，在Rt△A'CN中，A'C=AC=1，CN=73，

所以A'N=A'C2-CN2=1-79=23，所以在Rt△A'MN中，A'M>A'N=23，

因為在△ABC中，AC2+BC2=1+3=4=AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，A=60°，B=30°，

因為CN=73，所以點(diǎn)N在以點(diǎn)C為圓心，73為半徑的圓C上，作CD⊥AB于點(diǎn)D，

因為點(diǎn)C到直線AB的距離CD=ACsinA=32，且32<73<1，

所以圓C與線段AB交于兩點(diǎn)，記為N1和N2，記圓C與線段CB的交點(diǎn)為N3，如圖所示.

在△ACN1中，由余弦定理得cosA=AC2+AN12-CN122AC·AN1，代入數(shù)據(jù)，解得AN1=13，

同理，在△ACN2中，AN2=23，因為A'M=AM>23>13，所以點(diǎn)M在線段N1B上，

因為點(diǎn)N在△BCM內(nèi)部，所以點(diǎn)N在弧N2N3上(不含點(diǎn)N2和N3).設(shè)AM=A'M=t，

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)N2時，MN=MN故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意，尋找點(diǎn)N的臨界狀態(tài)，再利用余弦定理、勾股定理計算，最后判斷A'M的取值范圍.8．【答案】D【解析】【解答】解：f(x)=ax+bx，a>0且a≠1，b>0且b≠1，f'(x)=axlna+bxlnb，

令g(x)=f'(x)，則g'(x)=ax(lna)2+bx(lnb)2>0恒成立，

故f'(x)=axlna+bxlnb在(0，+∞)上單調(diào)遞增，

要想f(x)=ax+bx在(0，+∞)上單調(diào)遞增，只需f'(0)=lna+lnb≥0，即只需ab≥1.

A、ab=10ln1.1，令h(x)=x-1-lnx，x>1，則h'(x)=1-1x=x-1x>0在(1，+∞)上恒成立，

故h(x)=x-1-lnx在(1，+∞)上單調(diào)遞增，故h(1.1)>h(1)=0，即0.1>ln1.1>0，

故ab=10ln1.1<10×0.1=1，A錯誤；

B、由于In11<10，故ab=0.1ln11=ln1110<1，B錯誤；

C、ab=0.8e0.2，令q(x)=(1-x)ex，x∈(0，1)，則q'(x)=-ex+(1-x)ex=-xex<0恒成立，

故q(x)=(1-x)ex在(0，1)上單調(diào)遞減，故q(0.2)<q(0)=1，即0.8e0.2<1，C錯誤；故答案為：D.

【分析】二次求導(dǎo)得到f'(x)=axlna+bxlnb在(0，+∞)上單調(diào)遞增，要想f(x)=ax+bx在(0，+∞)上單調(diào)遞增，只需ab≥1，A選項，構(gòu)造h(x)=x-1-lnx，x>1，求導(dǎo)得到單調(diào)性，即可判斷：B選項，ab=0.1ln11=ln1110<1，即可判斷；C選項，令q(x)=(1-x)ex，x∈(0，1)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出0.8e0.29．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、因為2sin(2x+π3)≤2，故存在M=2使得|f(x)|≤2成立，A正確；

B、因為y=2x>0恒成立，且隨著x的增大，y=2x→+∞，故不存在M，使得對任意x∈D，都有|f(x)|≤M成立，B錯誤；

C、因為y=故答案為：AD.

【分析】結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，分析各選項中函數(shù)的值域，結(jié)含已知定義即可判斷.【解析】【解答】解：由題意，事件甲：第一次擲出的數(shù)字是1有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，

事件乙：第二次擲出的數(shù)字是2有：(1，2)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，

事件丙：兩點(diǎn)數(shù)之和為8的所有可能為：(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，

事件丁：兩點(diǎn)數(shù)之和為7的所有可能為：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，

其中P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=536，P(丁)=636=16，

A、事件甲與事件丙不能同時發(fā)生，所以事件甲與事件丙是互斥事件，A正確；

B、由P(甲丁)=136，P(甲)P(丁)=16×1故答案為：AB.

【分析】根據(jù)題意，利用列舉法得到事件甲，乙，丙，丁，再由事件的關(guān)系，以及獨(dú)立事件的判定方法，逐項判定，即可求解.11．【答案】A,C【解析】【解答】解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(xiàn)(0，2)，由B向準(zhǔn)線作垂線，垂足為M，由A向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，連接BM，AN，如圖：由題知，直線l的斜率存在且不為零，設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，

由y=kx+2x2=8y得：x2-8kx-16=0，△=64k2+64>0，x1+x2=8k，x1x2=-16.

A、因為B為AD的中點(diǎn)，所以△DBM~△ADN，所以|AN|=2|BM|，

因為|AF|=|AN|，|BF|=|BM|，所以AF=2FB，A正確；

B、因為AF=2FB，所以(-x1，2-y1)=2(x2，y2-2)，所以x1=-2x2，因為x1+x2=8k，x1x2=-16，所以16k×(-8k)=-16，解得k=±24，B錯誤；

C、y1+y2=k(x1+x2)+4=8k2+4=5，所以|AB|=y1+y2+4=9，C正確；

【分析】由B為AD中點(diǎn)和拋物線的定義可判斷A；將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可判斷B；利用弦長公式可判斷C，D.【解析】【解答】解：A、設(shè)∠AOB=a∈(0，π2)，作出單位圓，與x軸交于A點(diǎn)，則A(1，0)，

過點(diǎn)A作AC垂直于x軸，交射線OB于點(diǎn)C，連接AB，由三角函數(shù)定義可知AC=tana，AB^=a，

設(shè)扇形OAB的面積為S1，則S△OAC>S1，即12tanα>12α，故tana>a，

當(dāng)x∈(0，π2)時，有不等式tanx>x，A正確；

B、畫出y1=tanx，x∈{x|0<x<5π2，x≠π2且x≠3π2}與y2=x的函數(shù)圖象如下，

由圖象可知，x1∈(π，3π2)，x2∈(2π，5π2)，故x2+x1>3π，B錯誤；

C、y=tanx的最小正周期為π，由圖象可知x2＞x1+π，故x2-x1＞π，C正確；

D、不妨設(shè)x2>x1，則3π2>x2-π>x1>π，因為y=1cosx在(π，3π2)上單調(diào)遞減，

所以1cosx1>1cosx2-π=-1cos故答案為：ACD.

【分析】A選項，作單位圓，利用面積得到tana>a；BC選項，畫出y1=tanx與y2=x的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷；D選項，不妨設(shè)x2>x1，則3π2>x2-π>x1>π，根據(jù)y=1cosx在(π，313．【答案】129【解析】【解答】解：由(1+x)8=a0+a1x+a2x2+?+a8x8，

令x=1，可得a0+a1+a2+?+a8=28，即

(a0+a2+a4+a6+a8)+(a1+a3+a5+a7)=28，

令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+?+a8=0，即

(a故答案為：129.

【分析】分別令x=1和x=-1，聯(lián)立方程組求得a0+a2+a4+a6+a8=27=128，再令x=0，求得a0=1，即可求得2a0+a2+a4+a6+a8的值.14．【答案】-1【解析】【解答】解：因為3S3=S2+2S故答案為：-1.

【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式求得公差d.15．【答案】π【解析】【解答】解：作出示意圖形，如下圖所示，向量O1A與向量O2B的夾角為60°，結(jié)合O1A//O2C，得∠BO2C=60°，

所以△BO2C為等邊三角形，設(shè)點(diǎn)A在圓O2所在平面內(nèi)的射影為D，

連接AD、BD，則AD與O1O2平行且相等，且D為02C中點(diǎn)，

∠BAD(或其補(bǔ)角)就是異面直線AB與直線O1O2所成角，

Rt△BCD中，BD=42-22=23，

在Rt△ADB中，AD=O1O2=2，得tan∠BAD=BDAD=

【分析】設(shè)點(diǎn)A在圓O2所在平面內(nèi)的射影為D，連接AD、BD，可證出∠BAD(或其補(bǔ)角)就是異面直線AB與直線O1O2所成角，然后在Rt△ADB中算出AD、BD的長，利用三角函數(shù)的定義算出答案.16．【答案】y=±【解析】【解答】解：以A1A2所在的直線為y軸，線段A1A2的中垂線所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)|AD|=|BC|=m(m>0)，則|AB|=|CD|=2m，則有A-m,-m2，Bm,-m2，A10,-m2，A20,m2，Cm,m2，D-m,m2，設(shè)Mx0,m20<x0<m，N-m,y0-m2≤y0≤m2，所以|MA2|=x0，DN=m2-y0，

又因為MA2CD=DNAD，所以x02m=m2-y0m，所以x0=m-2y0或y0=m-x0

【分析】以A1A2所在的直線為y軸，線段A1A2的中垂線所在的直線為x軸，求出直線A1M，A2N的方程，聯(lián)立兩方程解出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)P所在雙曲線方程，由漸近線方程的求法求解.17．【答案】（1）解：由題意得a12當(dāng)n≥2時，a12由①-②得an2n又n=1時，a1綜上，an（2）解：由（1）可得bn故1b設(shè)數(shù)列{1bn?b所以T=1?1【解析】【分析】（1）利用錯位相減法求解即可；

（2）利用裂項相消法求解即可.18．【答案】（1）解：因為sinC=2sinB因為a2=3b2+由余弦定理可得cosA=在△ABC中，A∈(0，所以A=2π（2）解：由（1）問可知A=2π3，所以c=2bb+c=6，解得c=4設(shè)AD=x，由AD平分∠BAC，所以S△ABD即12解得：x=bc故AD的長度為43【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，找到邊的關(guān)系，借助余弦定理計算求解；

（2）結(jié)合（1），求解c=4b=2，利用S19．【答案】（1）證明：∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，又∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC，又ACCD=C，AC，∴BC⊥平面ACD，又AD?平面ACD，∴AD⊥BC．（2）解：設(shè)CD=a(a>0)，以CB，CA，CD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則C(0，0，0)，B(2，由（1）可得，AC⊥平面BCD，∴平面BCD的一個法向量是CA=(0設(shè)n=(x，y由條件得AB=(2，?2∴n?AB不妨令x=1，則y=33，∴n又二面角A?BD?C所成角θ的正切值是2，∴cos∴|cos∴|n?∴====8．∴該幾何體ABCDE的體積是8．【解析】【分析】（1）由圓的性質(zhì)可得AC⊥BC，由線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥BC，結(jié)合線面垂直的判斷定理有BC⊥平面ACD，故平面ADC⊥平面DCBE；

（2）設(shè)CD=a，以CB，CA，CD所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合(1)的結(jié)論可得平面BCD的一個法向量是CA=(0，23，20．【答案】（1）解：樣本中“閱讀愛好者”出現(xiàn)頻率為(0.“閱讀愛好者”的人數(shù)為200×160“讀書迷”人數(shù)為200×(0.所以32萬“閱讀愛好者”中，“讀書迷”約有6萬人．（2）解：由題意知至多有4500的成年人每天讀書時長少于即找到450又0.5×0.所以0.72×0.即參考標(biāo)準(zhǔn)a不能高于0.7小時（（3）解：“閱讀愛好者”中非“讀書迷”約有26(1?ln“讀書迷”約有6(1?ln令26(1?ln化簡得：13(解得：lnx≤?16513或ln所以會費(fèi)參數(shù)x至少定為e4時，才能使入會的人員不超過20【解析】【分析】(1)求出樣本中“閱讀愛好者”出現(xiàn)的頻率，從而求出“閱讀愛好者”的人數(shù)和“讀書迷”人數(shù)，由此能求出32萬“閱讀愛好者”中，“讀書迷”人數(shù).

(2)由題意可知至多有45%的成年人每天讀書時長少于a，即找到45%分位數(shù)，由此能求出參考標(biāo)準(zhǔn)a.

(3)“閱讀愛好者”中非“讀書迷”約有26(1?lnx10)萬人，“讀書迷”約有21．【答案】（1）解：由題意可知：2b=42e=c所以雙曲線C的方程為：x2（2）解：因為|AF1|=42，所以所以cos∠所以∠F1A（3）解：假設(shè)存在l滿足要求，當(dāng)l的斜率不存在時，l：x=?4，由