2024-2025學(xué)年山東省高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C．1 D．3．已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)是空間中的一個(gè)平面，是兩兩不重合的三條直線，則下列命題中，真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，，則6．已知，，，則(

)A． B． C． D．7．若正四棱錐的高為6，且所有頂點(diǎn)都在半徑為4的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．8．若是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題中，真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若.則D．若，則10．函數(shù)的圖象，如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．函數(shù)是奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．若在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則11．在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則（）A．平面 B．C．直線與直線所成角為 D．平面經(jīng)過棱的三等分點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．13．已知正數(shù)滿足，則的最小值為.14．一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知在中，角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角；(2)若為邊上一點(diǎn)，且，求的值．16．已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(2)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．如圖，在四棱錐中，且，底面是邊長為的菱形，(1)平面平面(2)若直線與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求二面角的正弦值的最小值18．已知函數(shù)．（其中e是自然對(duì)數(shù)的底，）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求整數(shù)的最大值．19．已知無窮數(shù)列，構(gòu)造新數(shù)列滿足滿足滿足，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列.(1)已知為二階等差數(shù)列，且，求的通項(xiàng)公式：(2)若數(shù)列為二階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列.證明：為三階等比數(shù)列：(3)已知，令的前項(xiàng)和為.證明.

答案1．【正確答案】D【詳解】由可得：，所以，所以.故選：D.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B.3．【正確答案】A【詳解】根據(jù)兩向量垂直，可得，解得或；可推出或,充分性成立，而或推不出，必要性不成立，即“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．【正確答案】C【詳解】依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，又，則，解得，則.故選：C.5．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A，由，，只有直線與相交時(shí)，可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，知或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可得，又因?yàn)?，所以，故D正確．故選：D.6．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，，，，故，且，故，所以．故選：D.7．【正確答案】C【詳解】如下圖，設(shè)在底面的投影為，易知正四棱錐的外接球球心在上，由題設(shè)，球體半徑，則，所以，，，中邊上的高為，故正四棱錐的側(cè)面積為.故選：C8．【正確答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，由題意知，在上恒成立，即在上恒成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，又因?yàn)?，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.9．【正確答案】BC【詳解】A選項(xiàng)，時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知其在R上單調(diào)遞增，，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，若，則，則，而，根據(jù)不等式的性質(zhì)，，從而，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，滿足，但無意義，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10．【正確答案】BCD【詳解】依題意，，由，得，解得，而，解得，，的最小正周期為，A錯(cuò)誤；是奇函數(shù)，B正確；，，故是的對(duì)稱中心，故關(guān)于對(duì)稱，C正確；，，當(dāng)時(shí)，，依題意，中恰好包含，于是，解得，D正確.故選：BCD11．【正確答案】ABD【詳解】在正方體中，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，對(duì)于A，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槠矫妫云矫?，A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，B正確；對(duì)于C，設(shè)直線與直線所成角為，則，又，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在棱上取一點(diǎn)，如下圖所示：則，設(shè)平面的法向量，平面的法向量，則，解得平面的一個(gè)法向量，又，解得平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?dāng)時(shí)，共面，此時(shí)，即解得，所以平面經(jīng)過棱的三等分點(diǎn)，可得D正確．故選：ABD．12．【正確答案】【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，顯然．由題意，得，即，所以．故答案為.13．【正確答案】【詳解】由，得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為.14．【正確答案】?2【詳解】設(shè)函數(shù)，，則，；在點(diǎn)處的切線方程為：，即在點(diǎn)處的切線方程為：即.由已知：可得：，化簡得：；代入所求式子.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，即，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，即．?）不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以為等邊三角形，則，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），所以．16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（2）當(dāng)時(shí)，，由已知，不等式恒成立，因?yàn)?，所以，以上不等式可化為：，所以，整理可得：，設(shè)，因?yàn)?，所以，上式可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接交于點(diǎn),連接,由于，是的中點(diǎn)，故,又,平面，故平面，平面，故平面平面（2）過作于點(diǎn)，由于平面平面，且兩平面的交線為,平面，故平面，因此為直線與平面所成角的平面角，故,平面，平面，故，又平面，故平面，平面，故，結(jié)合可知為的垂心，由于底面是邊長為的菱形，，故為等邊三角形，因此為的重心，,以建立軸，過平面的垂線作為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于，則,故，則設(shè),故，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，取，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)二面角的平面角為，則，令則,，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最大值為，因此的最小值為，18．【正確答案】(1)答案見解析(2)最大值為1【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?,+∞，．當(dāng)時(shí)，在0,+∞上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由f'x>0，解得由f'x<0所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在0,+∞上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．（2）由題意當(dāng)時(shí)，，整理得．令函數(shù)．則．令，則．當(dāng)時(shí)，?'x>0恒成立，所以?x又，所以，使得，即．故時(shí)，時(shí)，?x>0．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以．令函數(shù)．則，所以φx在單調(diào)遞增，因此．又，．因此整數(shù)的最大值為1．19．【正確答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以為公差為，首?xiàng)為4的等差數(shù)列，因此，即，所以（2）因?yàn)闉槎A等差數(shù)列，所以(為常數(shù))，因此，即，所以，