2024-2025學(xué)年天津市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)高二上學(xué)期第二次適應(yīng)性測試（12月）數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年天津市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)高二上學(xué)期第二次適應(yīng)性測試（12月）數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共10小題）1．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．2．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且它的一個(gè)方向向量為，則（）A．直線方程的點(diǎn)斜式為B．直線方程的截距式為C．直線方程的斜截式為D．直線方程的一般式為3．已知，，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．4．拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（

）A． B． C． D．5．若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．6．在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．7．已知F是雙曲線的下焦點(diǎn)，是雙曲線外一點(diǎn)，P是雙曲線上支上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．68．已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作圓的切線，若切線長為，則點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為（

）A．5 B．6 C．7 D．9．橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）A． B． C． D．10．若雙曲線與直線沒有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共2小題）11．已知圓，直線，則（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C．直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)D．若圓與圓恰有三條公切線，則12．已知方程，則下列說法中正確的有（

）A．方程可表示圓B．當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D．當(dāng)方程表示橢圓或雙曲線時(shí)，焦距均為10三、填空題（本大題共6小題）13．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.14．兩圓與上的點(diǎn)之間的最短距離是.15．將化簡為不含根式的形式為.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)A為上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，，則直線的斜率為.17．如圖所示，平行六面體中，，，，則線段的長度是.18．如圖，橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，直線與交于，且，則橢圓的離心率為.四、解答題（本大題共4小題）19．已知圓及直線.直線被圓截得的弦長為.(1)求的值；(2)求過點(diǎn)并與圓相切的切線的一般式方程.20．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線C上，且.（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)F作斜率為2的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，求的面積.21．已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，.是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)棱上是否存在點(diǎn)，使其到平面的距離為？若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.22．設(shè)橢圓的離心率為，上、下頂點(diǎn)分別為A、，.過點(diǎn)，且斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與橢圓相交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若，求的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使直線平行于直線？請證明你的結(jié)論.

答案1．【正確答案】A【分析】由橢圓的離心率和長軸長，結(jié)合可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓方程為：，故選：A.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且它的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率為，對于A選項(xiàng)，直線方程的點(diǎn)斜式為，A錯；對于D選項(xiàng)，直線方程的一般式為，D錯；對于B選項(xiàng)，直線方程的截距式為，B對；對于C選項(xiàng)，直線方程的斜截式為，C錯.故選：B.3．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐?biāo)是，故選D.4．【正確答案】A【分析】由已知可得，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得距離.【詳解】由，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又雙曲線漸近線方程為，即，則由點(diǎn)到直線的距離公式得.故選A.5．【正確答案】C【詳解】橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)都在軸，因?yàn)闄E圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則，解得.故選：C.6．【正確答案】C【詳解】在數(shù)列中，，，則，所以數(shù)列為常數(shù)列，故，可得，故，故選：C.7．【正確答案】A【詳解】解：∵F是雙曲線的下焦點(diǎn)，∴，c＝4，F(xiàn)（0，?4），上焦點(diǎn)為（0，4），由雙曲線的定義可得，當(dāng)A，P，H三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值9．故選：A．

8．【正確答案】A【分析】由圓的切線的性質(zhì)可求得，結(jié)合拋物線方程計(jì)算可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離.【詳解】如圖所示：設(shè)切點(diǎn)為Q，則，則，設(shè)，則由兩點(diǎn)間距離公式得到，解得，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈臏?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離PE為.故選A.9．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立消去，利用根與系數(shù)關(guān)系求出，然后代入即可求出直線的斜率．【詳解】設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為，則直線的方程為，即，由得，設(shè)所求直線與橢圓交于，，所以，所以，解得．故選：D本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，通常情況是采用“設(shè)而不求”、“整體代入”的方法求解．另外，本題也可采用“點(diǎn)差法”來求解．10．【正確答案】C【分析】由雙曲線可得漸近線方程為，對于與雙曲線無交點(diǎn)只需或，即可得，進(jìn)而求離心率的范圍.【詳解】由題設(shè)，雙曲線漸近線方程為，要使直線與雙曲線無交點(diǎn)，則，即，而.故選：C11．【正確答案】AD【詳解】對于A選項(xiàng)，直線，所以，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確.對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線為：，則圓心到直線的距離為，，所以圓上只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故B選項(xiàng)錯誤.對于C選項(xiàng)，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn).故C選項(xiàng)錯誤.對于D選項(xiàng)，由圓的方程可得，，所以圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，則，解得，故D選項(xiàng)正確.故選AD.12．【正確答案】BCD【分析】分別將的值代入各個(gè)命題，根據(jù)圓錐曲線方程的特點(diǎn)即可作出判斷．【詳解】對于A，當(dāng)方程可表示圓時(shí)，，無解，故A錯誤.對于B，當(dāng)時(shí)，，，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故B正確.對于C，當(dāng)時(shí).，，，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故C正確.對于D，當(dāng)方程表示雙曲線時(shí)，；當(dāng)方程表示橢圓時(shí)，，所以焦距均為10，故D正確.故選BCD.13．【正確答案】.【詳解】由題當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，①，則不滿足①式，所以.故答案為.14．【正確答案】【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓心距為，即兩圓外離，故兩圓上的點(diǎn)之間的最短距離為.故答案為.15．【正確答案】【詳解】記點(diǎn)、、，則，，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為，則，即，故橢圓的方程為.故答案為.16．【正確答案】/【詳解】由題可設(shè)，且拋物線焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線方程為，則，將代入得，所以，則直線的斜率為.故答案為.17．【正確答案】【詳解】由題意可得，，，由平行六面體法則可得，所以，，故.故答案為.18．【正確答案】【詳解】設(shè)左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，可得直線的斜率為，直線的斜率，因?yàn)?，直線與交于，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，解得：或（舍）所以橢圓的離心率為.故19．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）由已知圓，即圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以弦長為，解得或（舍）；（2）由（1）得，則圓，圓心，半徑，則點(diǎn)在圓外，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，此時(shí)，解得，則直線方程為，即；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)滿足直線與圓相切，綜上所述，切線方程為或.20．【正確答案】（1）

（2）【詳解】解：（1）,即C的方程為；（2）將點(diǎn)A代入方程：,即，.又直線，聯(lián)立方程,消y得：，設(shè),，則,，，又點(diǎn)到直線的距離，.21．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，與重合時(shí).【詳解】（1）四棱柱中，取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，得，且，由是的中點(diǎn)，得，且，則、，于是四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2）四棱柱中，平面，，則直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

有、、、、、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，取，得、，則，所以平面與平面的夾角余弦值為.（3）假定在棱上存在點(diǎn)，使其到平面的距離為，設(shè)，則，由（2）知，平面的法向量為，則，解得，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以在棱上存在點(diǎn)與點(diǎn)重合，，使其到平面的距離為.22．【正確答案】(1)；(2)；(3)不存在，證明見解析.【詳解】