【大學課件】有效數(shù)字及計算規(guī)則

有效數(shù)字及計算規(guī)則本課件將介紹有效數(shù)字的概念、有效數(shù)字的運算規(guī)則以及常見誤差分析方法，幫助你更好地理解和應(yīng)用有效數(shù)字。什么是有效數(shù)字1測量結(jié)果有效數(shù)字是指在測量結(jié)果中能確定的數(shù)字，以及用來表示測量結(jié)果精度的最后一位數(shù)字。2可靠程度有效數(shù)字的位數(shù)越多，表示測量結(jié)果越精確，可靠程度越高。3科學計算有效數(shù)字是科學計算中重要的概念，用于保證計算結(jié)果的準確性和可靠性。有效數(shù)字的定義測量結(jié)果有效數(shù)字是指實際測量或計算中可以確定其數(shù)值的數(shù)字，不包括估計的數(shù)字。計算結(jié)果在計算過程中，有效數(shù)字的位數(shù)取決于參與計算的數(shù)字的有效數(shù)字位數(shù)。判斷數(shù)字有效性的依據(jù)非零數(shù)字所有非零數(shù)字都是有效數(shù)字。零零在兩個非零數(shù)字之間，或在非零數(shù)字的右邊，是有效數(shù)字。零零在小數(shù)點左邊，但位于非零數(shù)字的左邊，則不為有效數(shù)字。加法和減法中的有效數(shù)字1對齊小數(shù)點將所有數(shù)字的小數(shù)點對齊2保留最短位數(shù)保留最短位數(shù)的小數(shù)點后位數(shù)3舍入規(guī)則根據(jù)舍入規(guī)則處理最后一位數(shù)字乘法和除法中的有效數(shù)字1有效數(shù)字乘除運算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與參與運算的有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)一致。2舍入規(guī)則根據(jù)舍入規(guī)則保留有效數(shù)字位數(shù)，確保結(jié)果精度。3示例例如，3.14159×2.71828≈8.53973，保留到小數(shù)點后三位，結(jié)果為8.540。常見計算規(guī)則總結(jié)加減法保留小數(shù)位數(shù)最少的那個數(shù)的位數(shù)。乘除法保留有效數(shù)字最少的那個數(shù)的位數(shù)?；旌线\算先計算加減法，再計算乘除法，最后保留最少的有效數(shù)字。數(shù)字修約的規(guī)則四舍五入當末位數(shù)字小于5時，舍去末位數(shù)字，其他數(shù)字不變。進位規(guī)則當末位數(shù)字大于或等于5時，舍去末位數(shù)字，向前一位進1，其他數(shù)字不變。向上修約和向下修約向上修約當舍棄的數(shù)字大于或等于5時，將前一位數(shù)字加1。例如，將3.14159修約到小數(shù)點后兩位，因為第三位數(shù)字為1，小于5，所以保留兩位小數(shù)，結(jié)果為3.14。向下修約當舍棄的數(shù)字小于5時，將前一位數(shù)字保持不變。例如，將3.14159修約到小數(shù)點后兩位，因為第三位數(shù)字為1，小于5，所以保留兩位小數(shù)，結(jié)果為3.14。有效數(shù)字的運用案例在科學研究、工程設(shè)計和日常生活中，有效數(shù)字的運用非常廣泛。例如，在測量物體長度時，如果測量結(jié)果為1.234米，那么它有四個有效數(shù)字。如果我們只保留三位有效數(shù)字，則需要進行修約，將其修約為1.23米。同樣，在計算物體的體積或質(zhì)量時，也需要根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)則進行運算，并保留相應(yīng)的有效數(shù)字。保留有效數(shù)字的重要性確保計算結(jié)果的準確性和可靠性。反映數(shù)據(jù)的真實性和可信度。避免因過多的數(shù)字造成誤解。科學記數(shù)法概念簡化表示科學記數(shù)法以簡潔的形式表示非常大或非常小的數(shù)字，方便閱讀和運算。統(tǒng)一格式將數(shù)字表示成a×10^n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)?？茖W記數(shù)法的表示方法標準形式將一個數(shù)表示成a×10^n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)。指數(shù)指數(shù)n代表將a乘以10的n次方。系數(shù)系數(shù)a是一個大于或等于1，小于10的數(shù)?？茖W記數(shù)法的優(yōu)勢1簡化表示用科學記數(shù)法可以簡潔地表示非常大或非常小的數(shù)字。2便于比較比較兩個用科學記數(shù)法表示的數(shù)的大小，只需比較其指數(shù)。3便于運算在科學計算中，使用科學記數(shù)法可以簡化運算，提高計算效率?？茖W計數(shù)法的轉(zhuǎn)換1標準形式轉(zhuǎn)換將一個數(shù)轉(zhuǎn)換為標準形式的科學計數(shù)法，需要將該數(shù)寫成a×10^n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)。2科學計數(shù)法轉(zhuǎn)換將一個數(shù)從科學計數(shù)法轉(zhuǎn)換為標準形式，需要將10^n的指數(shù)部分移動到小數(shù)點前或后，并相應(yīng)地調(diào)整小數(shù)點的位數(shù)。常見計算單位及換算長度單位米（m）、厘米（cm）、毫米（mm）、納米（nm）質(zhì)量單位克（g）、千克（kg）、毫克（mg）時間單位秒（s）、分鐘（min）、小時（h）溫度單位攝氏度（℃）、華氏度（℉）、開爾文（K）絕對誤差和相對誤差1絕對誤差測量值與真實值之間的差值，反映了測量結(jié)果的精確程度。2相對誤差絕對誤差與真實值之比，反映了測量結(jié)果的準確程度。絕對誤差的計算公式1公式絕對誤差=測量值-真實值2解釋絕對誤差反映了測量值與真實值之間的偏差大小，它是一個正數(shù)，表示測量值與真實值之間相差多少個單位。相對誤差的計算公式1相對誤差表示誤差與真值的比值2公式相對誤差=絕對誤差/真值相對誤差通常用百分數(shù)表示，它反映了誤差占真值的比例，可以更直觀地反映測量結(jié)果的精確程度。誤差傳遞原理測量誤差任何測量都存在誤差，這些誤差會累積并影響最終結(jié)果。計算誤差在計算過程中，誤差會根據(jù)不同的運算規(guī)則進行傳遞。誤差傳遞公式加減法若測量值分別為x1、x2，則測量結(jié)果的誤差為：

Δz=±(Δx1+Δx2)。乘除法若測量值分別為x1、x2，則測量結(jié)果的誤差為：

Δz/z=±(Δx1/x1+Δx2/x2)。乘方若測量值分別為x，則測量結(jié)果的誤差為：

Δzn/zn=±n(Δx/x)。如何判斷有效數(shù)字數(shù)字范圍確定數(shù)字中第一個非零數(shù)字的位置。從第一個非零數(shù)字開始，直到最后一個數(shù)字，所有數(shù)字都是有效數(shù)字。判斷有效數(shù)字的實例例如，測量一個物體的長度為12.345厘米，這個數(shù)字有5位有效數(shù)字。如果測量結(jié)果為12.3厘米，則只有3位有效數(shù)字。另一個例子，計算12.345+6.789的結(jié)果。按照有效數(shù)字的加減運算規(guī)則，應(yīng)該保留小數(shù)點后三位有效數(shù)字，即19.134。常見的計算錯誤誤用有效數(shù)字規(guī)則例如，將兩個有效數(shù)字的數(shù)相加得到一個三位有效數(shù)字的數(shù)。不正確地修約數(shù)字例如，在修約時沒有遵循正確的規(guī)則，導致最終結(jié)果出現(xiàn)偏差。忽略誤差傳遞在進行多步計算時，沒有考慮每個步驟的誤差累積，導致最終結(jié)果誤差過大。避免計算錯誤的技巧仔細閱讀題意理解題目要求，明確計算目標，避免遺漏或錯誤理解。書寫規(guī)范認真書寫數(shù)字和符號，避免潦草或混淆，確保計算過程清晰易懂。檢查計算結(jié)果使用估算或逆運算進行檢查，確保計算結(jié)果合理，減少錯誤的發(fā)生?？茖W計數(shù)法在科學計算中的應(yīng)用科學計數(shù)法在科學計算中至關(guān)重要，尤其在處理極大或極小的數(shù)值時。例如，宇宙的半徑約為1.5×1023千米，而一個氫原子的半徑約為5.3×10-11米。通過科學計數(shù)法，我們可以簡潔地表示這些數(shù)值，避免繁瑣的書寫。此外，科學計數(shù)法還能提高計算精度，避免因數(shù)字過大或過小而產(chǎn)生的誤差。在科學計算中，科學計數(shù)法通常與計算機結(jié)合使用，實現(xiàn)高效準確的計算。有效數(shù)字在其他學科中的應(yīng)用化學：計算化學反應(yīng)的產(chǎn)率、濃度等。物理：計算物體的速度、加速度、質(zhì)量等。工程學：設(shè)計和制造產(chǎn)品，進行工程計算。有效數(shù)字知識點小結(jié)1有效數(shù)字的定義測量值中所有可靠的數(shù)字，包括最后一位不確定的數(shù)字，稱為有效數(shù)字。2有效數(shù)字的判斷從左往右數(shù)，第一個非零數(shù)字開始，所有數(shù)字都是有效數(shù)字，包括不確定的最后一位。3有效數(shù)字的運算規(guī)則加減法以保留最小的位數(shù)為準，乘除法以保留最少的有效數(shù)字為準。4科學記數(shù)法將一個數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)。練習題1請計算下列算式的結(jié)果，并保留兩位有效數(shù)字：（1）1.234+5.678+9.012（2）23.45×6.789（3）100÷3.1415926練習題21.計算下列各式的值，并保留兩位有效數(shù)字:(1)12.34+5.678;(2)0.01234×567.8;(3)1.234÷567.82.將下列各數(shù)用科學記數(shù)法