第8章 波動學(xué)基礎(chǔ)

第八章波動學(xué)基礎(chǔ)◆本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解波的基本概念；2．掌握最基本的波動——平面間諧波的波動方程及運動規(guī)律；3．掌握波的能量特點；4．掌握波具有的基本現(xiàn)象——反射、折射、干涉和駐波；5．了解多普勒效應(yīng)；6．了解聲波、超聲波和次聲波?！舯菊陆虒W(xué)內(nèi)容1．機械波的產(chǎn)生及間諧波；2．波速、波長、周期和頻率；3．波動方程；4．波的能量和能流；5．惠更斯原理波的反射和折射；6．波的疊加原理波的干涉；7．駐波；8．多普勒效應(yīng)；9．聲波、超聲波、次聲波◆本章教學(xué)重點1．間諧波方程及運動規(guī)律；2．波的疊加及駐波?！舯菊陆虒W(xué)難點1．波方程的建立及其意義；2．駐波的運動特點；3．多普勒效應(yīng)。

§8.1機械波的產(chǎn)生和傳播簡諧波振動和波動是密切關(guān)聯(lián)又相互區(qū)別的兩種運動形式。任何波動都是有振動引起的，激發(fā)波動的振動系統(tǒng)稱為波源。波動分為兩大類：一類是機械振動在媒質(zhì)中的傳播，稱機械波。另一類是變化的電場和變化的磁場在空間的傳播，稱為電磁波。一、機械波的產(chǎn)生機械振動在彈性媒質(zhì)中的傳播過程稱為機械波。就每一質(zhì)點來說，只是做振動，就全部媒質(zhì)來說，振動傳播形成機械波。產(chǎn)生機械波的條件是：具有波源和彈性媒質(zhì)。二、橫波和縱波在波動中，如果質(zhì)點的振動方向和波的傳播方向相互垂直，這種波稱為橫波。如果質(zhì)點振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。各種復(fù)雜的波都可分解為橫波和縱波。在波動中真正傳播的是振動、波形和能量；波形傳播是現(xiàn)象，振動傳播是實質(zhì)，能量傳播是波動的量度。如果產(chǎn)生波動的波源作簡諧振動，在振動傳播過程中，從波源所在位置開始，媒質(zhì)中各質(zhì)點相繼開始做簡諧振動，如果媒質(zhì)是各向同性均勻且完全彈性的（即媒質(zhì)不消耗能量），則媒質(zhì)中各質(zhì)點的振動頻率和波源相同，且各質(zhì)點具有相同的振幅。這種波稱為簡諧波。三、波振面和波射線把波振面為球面的波動稱為球面波，點波源在均勻媒質(zhì)中產(chǎn)生的波就是球面波。把波振面為平面的波稱為平面波。波的傳播方向稱為波射線。顯然，在波振面上每一點，波射線總是和波陣面正交。圖8-1所示，畫出了這兩種典型波的波陣面和波射線。圖8-1波陣面和波射線圖8-1波陣面和波射線

§8.2波速波長波的周期和頻率一、波的傳播速度波速就是一定振動狀態(tài)（或相位）傳播的速度，即單位時間內(nèi)一定振動位相在傳播方向上所傳播的距離，也稱相速。波的傳播速度決定于媒質(zhì)的特性。對于彈性介質(zhì)波來說，波的傳播速度決定于媒質(zhì)的慣性和彈性，具體的說，就是決定于媒質(zhì)的密度和彈性模量。在均勻媒質(zhì)中，波速是一個恒量。液體和氣體只有容變彈性，在液體和氣體內(nèi)部只能傳播與容變有關(guān)的彈性縱波。在液體和氣體中縱波的傳播速度為（8-1）式中為媒質(zhì)的容變彈性模量，為媒質(zhì)的密度。需要指出的是，在液體表面可以出現(xiàn)一種由重力和表面張力所引起的波面波，這是一種由縱波和橫波疊加的波，傳播速度決定于重力加速度和表面張力系數(shù)。固體能產(chǎn)生切變、容變和長變等各種彈性形變，所以固體中既能傳播橫波又能傳播縱波。在固體中，恒波和縱波的傳播速度分別為橫波的波速（8-2）縱波的波速（8-3）式中G和Y分別為媒質(zhì)中的切變彈性模量和樣式彈性模量為媒質(zhì)的密度。（8-3）式是近似的，僅當(dāng)縱波在細(xì)長棒中沿棒的長度方向傳播才是準(zhǔn)確的。在一根張緊的柔軟繩索或弦線中，橫波的傳播速度為（8-4）式中T為繩索或弦線中的張力，是其單位長度的質(zhì)量。二、波長、波的周期和頻率波長：波動傳播時，同一波線上兩個相鄰的位相差為的質(zhì)點之間的距離，即一個完整波的長度。用表示。波峰：由于波動某一任意確定時刻在媒質(zhì)中具有最大位移的質(zhì)點位置。波谷：由于波動某一任意確定時刻在媒質(zhì)中具有最小位移的質(zhì)點位置。在橫波中，波長等于兩相鄰波峰或波谷之間的距離，在縱波中，波長等于兩相鄰密集部分或稀疏部分的中心之間的距離。波的周期：波傳過一個波長的時間，或一個完整波通過波線上某點所需要的時間。用T表示。（8-5）波的頻率：在單位時間內(nèi)波動推進(jìn)的距離中所包含的完整波長的數(shù)目，或單位時間內(nèi)通過波線上某點的完整波的數(shù)目。(8-5a）

§8.3波動方程波動方程就是描述在波動中，波射線上每一質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律。在此討論平面簡諧波的波動方程。如圖所示，設(shè)有一平面簡諧波，在完全彈性無限大均勻各向同性媒質(zhì)中沿射線r以波速c傳播。以r為坐標(biāo)軸，在軸上任取一點O，其上的質(zhì)點在其平衡位置做簡諧振動，振幅隨時間周期性變化，取振幅為某一最大值為計時時刻t=0，則O處質(zhì)點的振動方程為式中A為振幅，為角頻率，x為O點處質(zhì)點離開平衡位置在t時刻的位移。離O點的距離為r的波射線上另一任意點B的振動方成為圖8-2波動方程推導(dǎo)示意圖(8-6)圖8-2波動方程推導(dǎo)示意圖因為B為任意一點，上式表示了波射線上任一點處的質(zhì)點在任一時刻的位移，上式就是平面間諧波的波動方程。上式也可表示為(8-7)（1）如果給定r，那么位移x將只是t的函數(shù)，這時波動方程表示距原點r處的質(zhì)點作間諧振動的情況。如果r取一系列確定值，上式表明不同位置處的質(zhì)點都在做間諧振動。（2）如果t給定，上式表明在同一時刻觀察波射線上所有質(zhì)點離開其平衡位置的位移。如果波沿r軸負(fù)向傳播，上述B點的振動要比O點先開始一段時間，B點的振動方程為（8-8）

§8.4波的能量和能流一、能量及能量密度波動的本質(zhì)特征是能量以波速傳播。下面以平面余弦彈性縱波在棒中傳播為例說明波動能量的傳播。在棒中任取一體積元，其質(zhì)量為。當(dāng)波動傳播這個體積有時，它將具有動能和彈性勢能。如果棒中平面余弦波的波動方程為可以證明而體積元總機械能為可看出，在波動傳播過程中，體積元的動能和勢能是相同的，動能和勢能同時達(dá)到最大和最小。體積元的總機械能隨著時間在零和最大值之間作周期性變化。對于任一給定時刻，所有體積元的總能量又隨波射線的位置r周期性分布。這說明任一體積元都在不斷地接受和放出能量，這就是波動能量傳播的機制。媒質(zhì)中單位體積的能量，稱為波的能量密度能量密度在一個周期內(nèi)的平均值為這一公式對所有機械波都適用。二、能流及能流密度為了描述波動中能量傳遞的快慢，引入能流及能流密度的概念。cScS8-3體積cS內(nèi)的能量在一秒內(nèi)通過S面如圖，波射線和面S垂直，則平均能流為 單位時間內(nèi)通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能流，稱為能流密度或波的強度。用I表示三、聲強和聲強級聲波的能流密度，稱為聲強。最低聲強作為量度聲強的標(biāo)準(zhǔn)，以表示。由于聲強的變化范圍過大，直接使用它的數(shù)值不方便，引入聲強級L作為聲強的另一種量度。式中為比例常數(shù)，取，則聲強級的單位違貝爾或貝；若取，則相應(yīng)的聲強級的單位稱為分貝（）四、波的吸收平面波在均勻媒質(zhì)中傳播時，總有一部分能量被吸收，波的強度和振幅都將逐漸減小，這種現(xiàn)象稱波的吸收。設(shè)通過極薄的厚度為的一層媒質(zhì)后，振幅的減弱正比于此處的，也正比于，即積分便得式中和分別表示處的振幅，為媒質(zhì)的吸收系數(shù)。由于波強與振幅的平方成正比，所以平面波強度衰減規(guī)律是式中的和分別表示處的波的強度。

§8.5惠更斯原理波的反射和折射一、惠更斯原理惠更斯原理：媒質(zhì)中波動傳到的各點，都可以看作是發(fā)射子波的波源；在其后的任一時刻，這些子波的波跡就決定新的波振面。當(dāng)波動在均勻的各向同性的媒質(zhì)中傳播時，用上述作圖法所求的波陣面形狀總是不變的。當(dāng)波在不均勻的或是各相異向的媒質(zhì)中傳播時，在考慮波速可能發(fā)生變化的前提下，同樣可用上述作圖法求出波陣面，顯然，這時波陣面的幾何形狀和波的傳播方向都可能發(fā)生變化。二、波的反射和折射圖8-4波的折射當(dāng)波從一種媒質(zhì)進(jìn)入另一種媒質(zhì)時，部分波將被兩媒質(zhì)交界面反射，這部分波稱為反射波；而另一部分波則透過交界面進(jìn)入另一媒質(zhì)并改變了傳播方向，這部分波稱為折射波。圖8-4波的折射機械波和光波都滿足反射和折射定律：反射線和折射線都在由入射線與界面法線所組成的同一平面內(nèi)。反射角等于入射角。入射角的正弦與折射角的正弦之比等于兩種媒質(zhì)中的波速之比?，F(xiàn)在，利用惠更斯原理證明最后一條定律。如右圖所示，波以入射角從媒質(zhì)Ⅰ傳播到界面，OA為此時的波前。其后，部分波進(jìn)入媒質(zhì)Ⅱ而速度變?yōu)?，另一部分波繼續(xù)在媒質(zhì)Ⅰ中以速度傳播。設(shè)波從A點傳播至界面Q所經(jīng)歷的時間為，則。同一時間，O點的波在媒質(zhì)Ⅱ中傳播至B點，。在界面上各點作出相應(yīng)的次級子波，并畫出其包跡BQ,即折射波前，則垂直它的波射線為折射線，折射角為由得由以上兩式相除，即得折射定律又因于是，光的折射定律可以寫成

§8.6波的疊加原理波的干涉一、波的疊加原理一個波的振幅、頻率、波長、振動方向和傳播方向等，不因存在別的波而改變；或者說，在媒質(zhì)中的每一個波都保持其獨立的傳播特性，不因其它波的存在而改變，這叫做波的獨立傳播原理。因此，當(dāng)幾個波在媒質(zhì)中的某點相遇時，該點的振動位移必然是各個波單獨存在時在該點引起的位移的矢量和，這叫做波的疊加原理。二、波的干涉兩個頻率相通、振動方向相同、位相相同或位相差恒定的波源所發(fā)出的波的在空間任何一點相遇時，在空間某些點處，振動始終加強，而在另一些點處，振動始終減弱或完全抵消，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。相應(yīng)的波源稱為相干波源。設(shè)有兩個相干波源和，振動方程分別為設(shè)空間任一點P和兩波源的距離分別為和，并設(shè)兩列波到達(dá)P點時的振幅分別為，波長為，那么再P點的兩個分振動為因而在P點的合振動為式中當(dāng)合振幅最大，這時當(dāng)合振幅最小，如果，即對于同相位相干波源，上述條件可簡化為上式說明，當(dāng)兩個相干波源為同相位時，在兩列波的疊加區(qū)域內(nèi)，波程差等于零或波長的整數(shù)倍的各點，振幅最大；波程差等于半波長的奇數(shù)倍的各點，振幅最小。

§8.7駐波一、駐波同頻率、同振幅、同振動方向的兩列間諧波，在相反方向按同一速度傳播時，疊加而生成的波，稱為駐波。設(shè)有兩列同頻率、同振幅、同振動方向的間諧波和，他們的表達(dá)式為其中，沿y軸向右傳播，沿y軸向左傳播，上兩式表示任一時刻t兩列波分別引起任一點（坐標(biāo)為y）的位移，按波的疊加原理，合成波為此為駐波的表達(dá)式。因y和t出現(xiàn)在兩個因子中，所以合成波即不向左傳播也不向右傳播，全部質(zhì)點做同頻率的間諧振動。振幅最大的點稱為波腹，不動的點，稱為波節(jié)。駐波振動的特殊規(guī)律性，表現(xiàn)在振幅和位相的分布上。二、振幅分布波腹和波節(jié)由上式可見，駐波振幅分布由因子決定，因而y軸上任一點有恒定的合振幅，其值隨y的增加在空間作周期性變化，因振幅恒為正，故任一點的合振幅為若，則。表明坐標(biāo)為的點稱為波腹。顯然相鄰波腹相距為半波長。圖8-5駐波的位相圖8-5駐波的位相表明坐標(biāo)為的點，振幅為零，這些點就是波節(jié)。顯然相鄰波節(jié)相距也為半波長。三、駐波的位相分布為清楚駐波的位相分布，取k=-1,0,1的三個波節(jié)討論。如圖，此三點的y值和的值，可由上面對y點的合振幅討論得1．對于在之間的點，在第一、第四象限，為正，由式知，y坐標(biāo)在到之間的各點，振幅依次有0增加到2A，再由2A減小到0；在間的點振幅不同，但隨時間變化的因子是一樣的。所以各點同一時刻的振動位相都相同，即位移同時達(dá)到最大，同時過平衡位置向同側(cè)運動。2．對于在之間的各點，在第二、第四象限，為負(fù)則故坐標(biāo)在到之間的點，其初相位都等于，即同時刻振動位相也相同。由此可見在兩側(cè)，初相位各為0和，即位相相反。兩相鄰波節(jié)間各點振動位相相同，一波節(jié)兩側(cè)的點的振動位相相反，這側(cè)的振幅達(dá)最大，那側(cè)的振幅達(dá)最??；這側(cè)的質(zhì)點離開平衡位置向上運動，那側(cè)的質(zhì)點同時離開平衡位置向下運動。

§8.8多普勒效應(yīng)若波源或觀察者或它們兩者均對媒質(zhì)運動，則感覺到的頻率和真實頻率一般并不相同，這個現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。符號規(guī)定：以u表示波源對媒質(zhì)的速度，表示觀察者對媒質(zhì)的速度，V表示波的傳播速度若波源趨近觀察者，u為正，反之為負(fù)；若觀察者趨近波源，作為整，反之為負(fù)，V恒為正。一、波源和觀察者都對媒質(zhì)靜止單位時間內(nèi)波源振動次，發(fā)出的波分布在長度V上，共有個波長，觀察者感覺到的頻率，是單位時間通過觀察者所在處的波數(shù)，故表明在此情況下，感覺到的頻率與波源的頻率相同。二、波源對媒質(zhì)靜止，觀察者以速度對媒質(zhì)運動若為正，則波對觀察者的相對速度為,波長仍為，所以為正，表示觀察者向波源運動時，感覺到的頻率增加為波源頻率的倍。若為負(fù)，表示觀察者離開波源運動，可分兩種情況：若，觀察者隨波一起運動，應(yīng)無感覺；若，為負(fù)，表示若觀察者的前面已有波列存在，則觀察者將追過前面的波，他將感到波仿佛迎面而來，即波源好像在相反方向。三、觀察者和波源對媒質(zhì)運動圖8-6多普勒效應(yīng)設(shè)u為正，。如圖所示：設(shè)波源在B點時，開始發(fā)出一列搏，一周期后，“波頭”到達(dá)C點，若波源不動，波源不動，波形如虛線所事；事實上，一周